Dans ce chapitre, les mesures considérées sont des mesures sur $\RR^d$ mais tout ceci reste valable si on remplace $\RR^d$ par un espace métrique localement compact dénombrable à l'infini.

\section{Convergence des mesures bornées sur $\RR^d$}

\noindent
On commence par donner quelques notations utilisées tout au long du chapitre.\\

\vspace{0.25cm}
\noindent
Ensembles de mesures (sur $(\RR^d,\cB(\RR^d))$) :\\
$\cM$ : ensemble des mesures positives de masse finie.\\
$\cM_b$ : ensemble des mesures de masse positive inférieure ou égale à $b$.\\
$\cM^1$ : ensemble des probabilités.\\

\vspace{0.25cm}
\noindent
Ensembles de fonctions (sur $(\RR^d,\cB(\RR^d))$):\\
$C_K$ : ensemble des fonctions continues à support compact.\\
$C_0$ : ensemble des fonctions continues tendant vers $0$ à l'infini.\\
$C_b$ : ensemble des fonctions continues bornées.\\

\begin{remf}
$C_0, C_K$ munis de la norme uniforme sont séparables mais $C_b$ ne l'est pas.\\
$(C_b,\|\cdot\|_{\infty})$ est un espace de Banach dont $C_0$ est un sev fermé (mais pas $C_K$) et $C_K$ est dense dans $C_0$ (mais pas dans $C_b$).
\end{remf}

On rappelle que l'on dit qu'un sous-ensemble $H$ d'un espace vectoriel $E$ est \textit{total} ssi $Vect(H)$ est dense dans $E$.

\subsection{Topologies vague, faible et étroite}

Les topologies vague, faible et \'etroite sont respectivement les topologies les moins finies sur $\cM$ (celles qui contiennent le moins d'ouverts) rendant continues les applications $\mu \rightarrow \int fd\mu$ (avec $f\in C_K,C_0 \mbox{ et } C_b$ respectivement). En particulier, $(\mu_n)_n$ converge vers $\mu$ :\\
\begin{itemize}
\item
vaguement si $\forall f \in C_K, \lim_{n \rightarrow \infty}\mu_n (f)= \mu(f)$
\item
faiblement si $\forall f \in C_0, \lim_{n \rightarrow \infty}\mu_n (f)= \mu(f)$
\item
étroitement si $\forall f \in C_b, \lim_{n \rightarrow \infty}\mu_n (f)= \mu(f)$
\end{itemize}

\vspace{0.25 cm}
\noindent
On rappelle qu'une base de voisinages de $\mu$ pour ces topologies est composée des ensembles
$$V_{\e, f_1\ldots f_n}^{\mu}=\left\{\nu \in \cM, \forall i\in \NN_n, \; |\mu(f_i)-\nu(f_i)|\leq \e\right\}=\cap_{i=1}^{n}V_{\e,f_{i}}^\mu$$
où $\e>0$ et $f_1,\ldots,f_n$ appartiennent à l'espace considéré.\\
La topologie la plus fine est l'étroite, puis vient la faible et enfin la vague. Ainsi, une suite convergeant étroitement converge faiblement et une suite convergeant faiblement converge vaguement.

\begin{propf} On a les proptiétés suivantes :\\
1) Sur $\cM_b$, les topologies vagues et faibles coïncident avec la topologie la moins fine rendant continues les applications $\mu \rightarrow \int fd\mu$ lorsque $f$ parcourt un ensemble total $H$ de $C_K$ (resp. $C_0$).\\
2) Sur $\cM^1$, les trois topologies coïncident.\\
3) $\cM_b$ est métrisable compact pour la topologie faible.
\end{propf}

\begin{remf}
$1)$ n'a d'intérêt que si $H$ n'est pas trop gros,  typiquement dénombrable, ce qui permet de rendre $\cM_b$ métrisable. En fait, un résultat analogue à celui-ci pour la convergence étroite n'aurait pas d'intérêt car un ensemble $H$ total dans $C_b$ n'est pas dénombrable (et même très gros).
\end{remf}

\begin{demo}
1) On traite uniquement le cas de la convergence vague, le cas de la convergence faible étant semblable. Soit $H$ un ensemble total de $C_K$. On peut toujours supposer que $H$ est un espace vectoriel quitte à considérer $Vect(H)$. Soit alors $f\in C_K$ et $g \in H$ telle que $\|f-g\|_{\infty}\leq \e$. Si $\nu,\mu \in \cM_b$, on a
\begin{eqnarray*}
|\mu(f)-\nu(f)|&\leq& |\mu(f)-\mu(g)|+|\mu(g)-\nu(g)|+|\nu(g)-\nu(f)|\\
&\leq& 2b\e +|\nu(g)-\mu(g)|
\end{eqnarray*}
et par suite $V_{\e,g}^{\mu} \subset V^{\mu}_{(2b+1)\e,f}$
donc puisque la topologie vague est celle qui contient le moins d'ouverts, les deux topologies coïncident.\\
2) Il nous suffit donc de montrer maintenant que sur $\cM^1$, les topologies vagues et étroites coïncident. Il suffit pour cela de montrer que $\forall \; \PP \in \cM^1, \forall\e >0, \forall f \in C_b$, $V_{\e,f}^{\PP}$ contient un voisinage pour la topologie vague.\\
Soit $ (h_p)_p$ une suite de fonctions positives de $C_K$ qui convergent vers $1$ simplement et en croissant. Pour toute probabilité $\QQ$, on a
\begin{eqnarray*}
|\PP (f) - \QQ (f)|&\leq& |\PP(f-fh_p)|+|\PP(fh_p)-\QQ(fh_p)|+|\QQ(fh_p-f)|\\
&\leq & \|f\|_{\infty}\left\{\QQ(1-h_p)+\PP(1-h_p)\right\}+|\PP(fh_p)-\QQ(fh_p)|\\
&=&\|f\|_{\infty}\left\{2-\QQ(h_p)-\PP(h_p)\right\}+|\PP(fh_p)-\QQ(fh_p)|\\
&\leq &\|f\|_{\infty}\left\{2\PP(1-h_p)+\PP(h_p)-\QQ(h_p)\right\}+|\PP(fh_p)-\QQ(fh_p)|\\
\end{eqnarray*}
Remarquons maintenant que par le théorème de la convergence monotone, $\lim_{p\rightarrow \infty} \PP(1-h_p)=0$. On fixe alors $p$ tel que $2\PP(1-h_p)\leq \e$. Il est aisé de voir que l'inégalité précédente ne dit rien d'autre que
$$ \cM^1\cap V_{\e,h_p}^{\PP}\cap V_{\e, fh_p}^{\PP} \subset {\cM}^{1}\cap V^{\PP}_{(2\epsilon \| f\|_{\infty} +\epsilon),f}$$
autrement dit, que tout voisinage de la topologie étroite sur $\cM^1$ contient un voisinage ouvert de la topologie vague sur $\cM^1$, c.q.f.d.\\
3) On prend $(f_n)_n$ une suite d'éléments de $C_K$ dense dans $C_0$. On définit une distance $d$ sur $ \cM_b$ par
$$d(\mu, \nu)=\sum_{n\geq 1}\cfrac{1}{2^n \|f\|_{\infty}}|\mu(f_n)-\nu(f_n)|$$
Il est aisé de montrer que c'est bien une distance. D'après 1), la topologie induite par $d$ coïncide avec la topologie faible.\\
Montrons maintenant que $\cM_b$ est faiblement compact. On peut se restreindre à montrer que $\cM_b$ est sequentiellement compact (car métrisable). Soit donc $(\mu_p)_p \in \cM_b^{\NN}$. On veut en extraire une sous-suite faiblement convergente. Or
$$\forall n\in \NN,\; |\mu_p (f_n)|\leq b\|f_n\|_{\infty}$$
Par un procédé d'extraction diagonale, on peut extraire une sous-suite $(\mu_{p_k})_k$ telle que
$$\lim_{k \rightarrow \infty}\mu_{p_k} (f_n)=\Psi (f_n),\;\; n\in \NN$$
Par densité, il existe pour tout $f$ de $C_K$, un réel $\Psi(f)$ tel que
$$\mu_{p_k}(f)\rightarrow_{k\rightarrow \infty} \Psi(f)$$
Le théorème de Riesz assure l'existence d'une unique mesure $\mu$ telle que $\mu(f)=\Psi(f)$ pour tout $f\in C_K$.\\
(Attention, $\cite{O}$ ne d\'etaille pas ce passage : il passe à $C_0$ directement). Il reste à montrer que $\mu \in \cM_b$. On prend alors une suite $h_p \in C_K$, $0\leq h_p \leq 1$ tendant simplement en croissant vers $1$. On a pour tout $k$, $\mu_{p_k}(h_p)\leq b$ donc $\mu(h_p)\leq b$ donc $\mu(\RR^d)\leq b$. Ceci conclut la preuve.
\end{demo}

\noindent
\textbf{Notation :} On notera le fait que $(\mu_n)_n$ converge étroitement vers $\mu$ par $\mu_n\Rightarrow \mu$.

\begin{remf}
Si $(\mu_n)_n$ est une suite de probabilités, pour que $(\mu_n)_n$ converge étroitement vers une mesure $\mu\in \cM$, il suffit que $(\mu_n(f))_n$ converge vers $\mu(f)$ pour $f$ appartenant à un ensemble total $H$ de $C_K$.\\
Mais si $(\mu_n)_n$ est une suite de probabilités telle que pour tout $f\in C_K$, $\mu_n(f)\rightarrow_{n\rightarrow\infty}\Psi(f)$ alors $(\mu_n)_n$ converge faiblement vers une mesure $\mu$ de masse inférieure ou égale à $1$ mais ce n'est pas forcément une probabilité (``perte de masse''). La propriété suivante précise un peu ce phénomène.
\end{remf}

\begin{propf}\label{convergencevagueetconservationmasse}
Soit $(\mu_n)_n\in \cM_b^{\NN}$ et $\mu \in \cM_b$ telles que $(\mu_n)_n$ converge vers $\mu$ vaguement (ou faiblement puisque les deux notions coïncident sur $\cM_b$). Alors $(\mu_n)_n$ converge étroitement vers $\mu$ ssi $\lim_{n\rightarrow \infty}\mu_n (\RR^d)=\mu(\RR^d)$.
\end{propf}

\noindent
La preuve de cette propriété est facile et donc admise.\\

\begin{remf}
Sur $(\RR,\cB(\RR))$, $\delta_{1/n}\Rightarrow \delta_{0}$ mais $\delta_{1/n}(\{0\})=0$ ne converge pas vers $\delta_{0}(\{0\})=1$. Aussi, $\mu_n \Rightarrow \mu$ n'implique pas que $(\mu_{n}(A))$ converge vers $\mu(A)$ pour tout borélien $A$.
\end{remf}

\begin{deff}
Soit $\mu$ une mesure sur $\RR^d$. On dira qu'un borélien $A$ est de $\mu$-continuité ssi $\mu(\partial A)=0$ ($\partial A$ d\'esigne la frontière de $A$).
\end{deff}

\begin{propf}
Soit $(\mu_n)_n \in \cM_b^{\NN}$ et $\mu \in \cM_b$. Il y  a équivalence entre :\\
a) $\mu_{n}\Rightarrow \mu$\\
b) Pour tout fermé $F$, $\limsup \mu_n (F)\leq \mu (F)$ et $\lim_{n\rightarrow \infty} \mu_n (\RR^d)=\mu (\RR^d)$.\\
c) Pour tout ouvert $O$, $\liminf \mu_n (O) \geq \mu (O)$ et $ \lim_{n\rightarrow \infty} \mu_n (\RR^d)=\mu (\RR^d)$.\\
d) Pour tout borélien $A$ de $\mu$-continuité, $\mu_n (A)\rightarrow_{n \rightarrow \infty} \mu (A)$.
\end{propf}

\begin{demo}
Nous ne donnons ici que la d\'emonstration de quelques implications. Pour plus de d\'etails, se reporter \`a $\cite{O}$.\\
$a) \Rightarrow b)$ : La deuxième partie de b) découle de la proposition précédente. Passons à la première. Soit $\phi_j : \RR \rightarrow [0,1]$ continue définie par $\phi_j (x)=1$ si $x \leq 0$, $\phi_j (x)=0$ si $x\geq 1/j$ et $\phi_j$ affine sur $[0,1/j]$. On définit alors $f_j \in C_b$ par $f_j (x)=\phi_j (d(x,F))$ qui tend en décroissant vers la fonction caractéristique $1_F$ de $F$ (car $F$ fermé). D'après le théorème de convergence monotone décroissante,
$$\mu (F)=\lim_{j\rightarrow \infty} \mu (f_j)$$
donc pour tout $\e>0$, il existe un entier $j_0$ tel que $\mu(F)\leq \mu (f_{j_0}) \leq \mu (F)+\e$.\\
Or pour tout $ n\in \NN$, $\mu_{n}(F)\leq \mu_{n} (f_{j_0})$ donc
$$\limsup \mu_n (F)\leq \limsup \mu_n (f_{j_0})=\mu(f_{j_0})\leq \mu(F)+\e$$
$b)\Longleftrightarrow c)$ : Passer au complémentaire.\\
$ c) \Rightarrow d)$ : On a $A^{\circ} \subset A \subset \bar{A}$ et on sait b) et c) car $b \Longleftrightarrow c$. Donc on a :
$$\mu(A^{\circ}) \leq \liminf \mu_n (A^{\circ}) \leq \liminf \mu_n (A) \leq \limsup \mu_n (A) \leq \limsup \mu_n (\bar{A}) \leq \mu (\bar{A})$$
or $\mu (\partial A)=0$ et par conséquent, toutes les inégalités sont en fait des égalités.\\
$c) \Rightarrow a)$ On rappelle qu'une application classique du th\'eor\`eme de Fubini permet d'\'ecrire que pour toute fonction $f\in C_b$ positive et pour toute mesure $\mu\in \cM_b$,
$$\int_{\RR^d}f(x)d\mu (x)=\int_{0}^{\|f\|_{\infty}}\mu(f\geq u)du$$
et
$$\int_{\RR^d}f(x)d\mu (x)=\int_{0}^{\|f\|_{\infty}}\mu(f>u)du\;\;\; (*)$$
Soit alors $f\in C_{b}$ positive. Par le th\'eor\`eme de Fatou, on a
\begin{eqnarray*}
\limsup_{n}\int_{\RR^d}f(x)d\mu_{n}(x)&=&\limsup_{n}\int_{0}^{\|f\|_{\infty}}\mu_{n}(f\geq u)du\\
&\leq&\int_{0}^{\|f\|_{\infty}}\limsup_{n} \mu_{n} (f\geq u)du
\end{eqnarray*}
Or $\{f\geq u\}$ est ferm\'e et on a suppos\'e $b)$ vraie (car $b)\Leftrightarrow c)$) donc on a
$$\limsup_{n}\int_{\RR^d}f(x)d\mu_{n}(x)\leq \int_{0}^{\|f\|_{\infty}}\mu(f\geq u)du=\int_{\RR^d}fd\mu$$
On a de m\^eme, en utilisant $(*)$ et $c)$, que
$$\liminf_{n}\int_{\RR^d}f(x)d\mu_{n}(x)\geq \int_{\RR^d}fd\mu$$
On a donc montr\'e que $\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{\RR^d} f(x)d\mu_{n}(x)=\int_{\RR^d}f(x)d\mu (x)$ pour toute fonction continue born\'ee et positive. Par lin\'earit\'e, on en d\'eduit le r\'esultat pour toute fonction $f$ continue born\'ee de signe quelconque.
\end{demo}

\subsection{Tension}
La propriété de tension est une propriété qui permet de limiter les phénomènes de perte de masse.

\begin{deff}
Une suite $(\mu_n)_n$ de mesures de $\cM_b$ est tendue ssi pour tout $\e>0$, il existe un compact $K$ de $\RR^d$ tel que
$$\sup_n \mu_n (K^c) \leq \e$$
\end{deff}

\begin{propf}
\label{prop1-HB}
1) Si $(\mu_n)_n \in \cM_b$ converge étroitement vers $\mu \in \cM_b$ alors $(\mu_n)_n$ est tendue.\\
2) Si $(\mu_n)_n$ est tendue et si $(\mu_n)_n \in (\cM^1)^{\NN}$ alors il existe une sous-suite $(\mu_{n_k})_k$ de $(\mu_n)_n$ et une probabilité $\mu\in \cM^1$ telle que $\mu_{n_k} \Rightarrow \mu$.
\end{propf}

\begin{demo}
1) Soit $\e>0$ fixé. Il existe une boule ouverte $O$ telle que $\mu(O)\geq \mu (\RR^d)-\epsilon$. D'autre part, par la propriété précédente, $\liminf \mu_n (O) \geq \mu (O)$. Donc il existe un entier $N_2$ tel que pour $n\geq N_2$,
$$\mu_n (O)\geq \mu (\RR^d) -\epsilon$$
D'autre part, toujours par la propriété précédente, $\lim_{n\rightarrow \infty} \mu_n (\RR^d)=\mu (\RR^d)$ donc il existe un rang $N_1 \geq N_2$ tel que pour $n\geq N_1$, $\mu_n (\RR^d) \leq \mu (\RR^d) +\epsilon$.\\
On en déduit que $\forall n\geq N_1, \mu_n ({\bar{O}}^c)\leq \mu_n (O^c) \leq 2\epsilon$.\\
$N_1$ est maintenant fixé. Pour chaque $n\leq N_1$, il existe un compact $K_n$ tel que $\mu_n (K_n^c) \leq \epsilon$. Donc si on pose $K=\cup_{n\leq N_1} K_n\cup {\bar{O}}$, $K$ est un compact et pour tout $n$,
$$\mu_n (K^c)\leq 2\epsilon$$
ce qui prouve la tension de la suite $(\mu_n)_n$.\\
2) Réciproquement, si $(\mu_n)_n$ est une suite de mesures tendue, on sait déjà qu'il existe une mesure $\mu$ de masse inférieure ou égale à $1$ et une sous-suite $(\nu_n)_n$ de $(\mu_n)_n$ telle que $(\nu_n)_n$ converge faiblement vers $\mu$. Pour montrer que $\nu_n \Rightarrow \mu$ et que $\mu \in \cM_1$, il suffit de montrer que $\mu(\RR^d)=1$.\\
Or pour tout $\e>0$, il existe un compact $K_{\epsilon}$ tel que $\mu_n(K_{\epsilon})\geq 1-\e$ pour tout $n$. Soit alors $f_\e \in C_0$ une fonction telle que :
$$ 1\geq f_\e \geq 1_{K_\e}\geq 0 $$
On a $\mu_n (f_\e)\geq \mu_n (K_\e)\geq 1-\e$ et quand $n\rightarrow \infty$, on obtient donc $\mu(f_\e)\geq 1-\e$. Puisque $\mu(\RR^d)\geq \mu(f_\e)$, en faisant maintenant tendre $\e$ vers $0$, il en résulte que $\mu(\RR^d)\geq 1$ et puisque l'on sait déjà que l'on a l'inégalité inverse, $\mu$ est une probabilité.
\end{demo}

\section{Rappel sur les différents types de convergence}

\noindent
On rappelle les principales notions de convergence. Ici $(X_n)_n$ est une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\RR^d$ et $X$ une variable aléatoire à valeur dans $\RR^d$ toutes définies sur un même espace probabilisé $(\O,\cF,\PP)$.\\
\begin{itemize}
\item
Convergence presque sûre : $X_n \rightarrow X$ ${\PP \mbox{p.s.}}$ ssi $\Pro(\lim_{n\rightarrow \infty} X_n =X)=1$.
\item
Convergence en probabilité : $X_n \rightarrow X$ en probabilit\'e ssi $\forall \e >0, \; \PP(|X_n -X|>\e)\rightarrow_{n\rightarrow \infty} 0$.
\item
Convergence $\LL^p$ : $X_n \rightarrow X$ dans $\LL^p$ ssi ${\mathbb E}(|X_n -X|^p)\rightarrow_{n\rightarrow \infty} 0$.
\item
Convergence en loi : $X_n \rightarrow X$ en loi ssi ${\mathbb E}(f(X_n))\rightarrow_{n\rightarrow \infty} {\mathbb E}(f(X))$ pour tout $f\in C_b$.
\end{itemize}

La convergence en loi est juste la transcription de la convergence faible en termes de variables aléatoires. Les liens qui existent entre ces différentes notions de convergence sera vu en TD.

\section{Convergence en loi}

\begin{deff}
Soit $X_n : (\O_n, \cF_n, \PP^{n}) \rightarrow (\RR^d, \cB (\RR^d))$ une suite de variables aléatoires non nécessairement définies sur le même espace de probabilité. On dira que les $X_n$ convergent en loi vers la variable aléatoire $X$ (définie sur un certain espace de probabilité $(\O,\cF,\PP)$) ssi
$$\PP^{n}_{X_n} \Rightarrow \PP_X$$
c'est-à-dire
$$\forall f \in C_b, \lim_{n\rightarrow \infty}{\mathbb E}^n\left[f(X_n)\right] ={\mathbb E}\left[f(X)\right]$$
\end{deff}

\begin{remf}
1) Puisque les topologies faibles, vagues et étroites coïncident sur $\cM^1$, dans la définition ci-dessus, on peut en fait remplacer $C_b$ par $C_K$ ou $C_0$.\\
2) On dira aussi parfois que $X_n$ converge en loi vers une certaine probabilité $\mu$ et non pas vers une variable aléatoire. Ceci est à comprendre dans le sens $(\mu_n)_n$ converge faiblement vers $\mu$ (où $\mu_n$ est la loi de $X_n$).
\end{remf}

\noindent
\textbf{Notation :} On utilise indifférement la notation $\displaystyle X_n \rightarrow_{n\rightarrow \infty}^{\cL} X$ ou bien $X_n \Rightarrow X$.\\

\noindent
Exemple : Si $X_n$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\cB(n,\l/n)$ où $\l >0$ est un paramètre alors $(X_n)_n$ converge en loi vers une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ (Cf. $\cite{O}$).\\

\noindent
Ce qui suit sera démontré en TD.\\

\begin{propf}
Si $(X_n)_n$ converge en loi vers $X$ et si $f :\RR^d \rightarrow \RR^k$ est continue alors $(f(X_n))_n$ converge en loi vers $f(X)$.
\end{propf}

\noindent
Exemple : Si $(X_n, Y_n)$ converge en loi vers $(X,Y)$ alors $(X_n+Y_n)_n$ converge en loi vers $X+Y$. Mais il n'est pas vrai que si $(X_n)_n$ (resp. $(Y_n)_n$) converge en loi vers $X$ (resp. $Y$) alors $(X_n+Y_n)_n$ converge en loi vers $X+Y$. C'est cependant vrai si $X_n$ est indépendante de $Y_n$ pour tout $n$ et $X$ indépendante de $Y$.\\

\begin{propf}
La convergence en probabilités implique la convergence en loi. La réciproque est fausse mais vraie si la limite est une constante.
\end{propf}

\noindent
Pour les variables aléatoires discrètes, on a un critère très simple de convergence en loi.
\begin{propf}
Soit $(X_n)_n,X$ des variables aléatoires sur $(\O,\cF,\PP)$ à valeurs dans $\ZZ$. Alors
$$X_n \Rightarrow X \mbox{ ssi } \forall r \in \ZZ, \; \lim_{n\rightarrow +\infty} \PP(X_n =r)=\PP(X=r)$$
\end{propf}

\vspace{0.25cm}
\noindent
\textbf{Convergence en loi en termes de fonctions de répartition (dimension $d=1$)}\\
\begin{thf}
\label{thm1-HB}
$(X_n)_n$ converge en loi vers $X$ ssi $\lim_{n \rightarrow \infty}F_{X_n}(x)= F_X(x)$ en tout point de continuité $x$ de $F_X$.
\end{thf}

\begin{demo}

$\Rightarrow$ : Si $x$ est un point de continuité de $F_X$, alors $(-\infty;x]$ est un ensemble de continuité de $\PP_X$ donc $$\lim_{n\rightarrow \infty}F_{X_n}(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} \PP_{X_n} ((-\infty;x])=\PP_{X}((-\infty;x])=F_{X}(x)$$
$\Leftarrow$ : On rappelle qu'il n'y a au plus qu'un nombre dénombrable de points de discontinuité de $F_X$ (car il ne peut y avoir pour chaque $\e >0$ qu'un nombre fini de sauts de taille plus grande que $\e$ puisque $F_X$ est bornée et croissante). Soit donc $f\in C_0 (\RR)$. Pour chaque $\e>0$, on peut trouver (voir TD pour plus de détails) une fonction $g$ de la forme
$$g=\sum_{j=1}^{k}\a_j 1_{(a_j;b_j]},\;\; a_j<b_j\leq a_{j+1}<b_{j+1}$$
avec $a_j$ et $b_j$ qui ne sont pas des points de discontinuité de $F_X$ et
$$\|f-g\|_{\infty} \leq \e$$
On a alors
$$\int g d\PP_{X_n} \rightarrow_{n\rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{k} \a_j (F_X (b_j)-F_X (a_j))=\int gd\PP_X$$
Il fuffit maintenant d'appliquer l'inégalité triangulaire pour obtenir
$$\left|\int fd\PP_{X_n} -\int fd\PP_X\right|\leq 2\e + \left| \int g d\PP_{X_n} -\int g d\PP_X\right|\leq 3\e$$
dès que $n$ est assez grand.
\end{demo}

Nous donnons maintenant le th\'eor\`eme d'Helly-Bray dont on pourra trouver une preuve \'el\'ementaire dans $\cite{W}$ mais, qui vu le travail pr\'ec\'edent, appara\^it comme une simple cons\'equence du th\'eor\`eme $\ref{thm1-HB}$ et de la proposition $\ref{prop1-HB}$.

\begin{thf}\textbf{(Helly-Bray)}\\
Soit $(F_n)_n$ une suite de fonctions de r\'epartition tendue (c'est-\`a-dire dont la suite de mesures de probabilit\'e associ\'ees est tendue). Il existe alors une fonction de r\'epartition $F$ et une sous-suite $(F_{n_k})_k$ de $(F_n)_n$ telle que
$$\lim_{k\rightarrow \infty} F_{n_k} (x)=F(x)$$
en tout point de continuit\'e $x$ de $F$.
\end{thf}
