\noindent
Dans ce chapitre, $(\O,\cF,\PP)$ désignera un espace probabilisé et $\cG$ sera une sous-tribu de $\cF$. Nous donnerons pour simplifier la notion d'espérance conditionnelle en dimension $1$ (variables aléatoires réelles). Bien entendu, tout ceci se généralise sans peine au cas multidimmensionnel (vecteurs aléatoires).

\section{Introduction : variables aléatoires discrètes}

\noindent
On se donne deux variables aléatoires discrètes $X$ et $Z$ à valeurs dans $\ZZ$ à support fini. L'idée intuitive de probabilité conditionnelle nous amène à prendre pour valeur de la ``probabilité de $\{X=i\}$ sachant $\{Z=j\}$'' la quantité suivante
$$\PP(X=i | Z=j)=\cfrac{\PP(X=i, \; Z=j)}{\PP(Z = j)}$$
pour $j$ appartenant au support de $Z$. Si $j$ n'appartient pas au support de $Z$, cette définition n'a pas de sens. Par suite, l'espérance de $X$ sachant $\{Z=j\}$ sera définie comme
$${\mathbb E} (X | Z=j)=\sum_{i\in \ZZ} i \PP( X =i | Z=j)$$
Définissons maintenant l'espérance conditionnelle de $X$ sachant $Z$ comme la variable aléatoire $Y(\o)={\mathbb E} (X | Z) (\o)$ donnée par
$$Y(\o)=\sum_j \indic_{Z^{-1} (\{j\})}(\o){\mathbb E} (X |Z=j)$$
En particulier, si $\o$ n'appartient pas au support de $Z$, $Y(\o)=0$.\\
1) Remarquons que pour tout borélien $B \in \s (Z)$, c'est-à-dire $B\subset \cP(Z^{-1}(\{z\})\; ;\; z\in \text{Support}(Z))$, on a
$${\mathbb E} (Y\indic_B)={\mathbb E}(X\indic_B)$$
2) $Y$ est $\s (Z)$ mesurable.\\

La question qui se pose est de savoir comment généraliser cette notion d'espérance conditionnelle lorsque $Z$ n'est pas à valeurs discrètes. En particulier, on remarqura que si $Z$ est à densité, l'événement $\{Z=z\}$ est pour tout réel $z$ de probabilité nulle si bien que la définition même de probabilité conditionnelle devient délicate. La première idéee consisterait à approximer l'événement $\{Z=z\}$ par $\lim_{\e\rightarrow 0} \{Z\in (z-\e;z+\e)\}$ et l'on peut effectivement procéder ainsi mais cela devient assez vite compliqué. On va procéder tout autrement.

\section{Théorème d'existence et d'unicité}

\begin{thf}
\label{esp}
Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\O,\cF,\PP)$ intégrable. Il existe une variable aléatoire $Y$ telle que :\\
1) $Y$ est $\cG$-mesurable.\\
2) ${\mathbb E}(|Y|)<+\infty$.\\
3) $\forall G \in \cG, \; \int_G Yd\PP = \int_{G} Xd\PP$.\\

De plus, si $\tilde Y$ est une autre variable aléatoire vérifiant ces trois propriétés alors $Y=\tilde Y$ $\PP$ p.s. On parlera alors de $Y$ comme d'une version de l'espérance conditionnelle ${\mathbb E}(X|\cG)$ qui est un élément de $\LL^1(\O,\cG, \PP)$. Par abus de langage, on parlera de $Y$ (ou toute autre version) comme de l'espérance conditionnelle de $X$ sachant $\cG$.
\end{thf}

Avant d'entamer la preuve de l'existence de l'espérance conditionnelle, faisons quelques remarques.

\begin{remf}
Si l'on veut prouver $3)$, on peut se restreindre à montrer l'égalité pour des $G$ qui appartiennent à un $\pi$-système contenant $\O$ et générant ${\cal G}$ (Théorème de la classe monotone). D'autre part, si on a $3)$, par le théorème de la classe monotone, on a aussi que
$${\mathbb E}(Y U)={\mathbb E} (X U)$$
pour toute variable aléatoire $U$ qui est $\cal G$-mesurables bornée.\\
Dans la démonstration, nous aurons besoin de considérer les espaces quotients ${\mathbb L}^{2}(\O,\cG,\PP)$ et ${\mathbb L}^{2}(\O,\cF,\PP)$. On a bien sûr l'inclusion triviale $\cL^2 (\O,\cG,\PP) \subset \cL^{2} (\O,\cF,\PP)$. Cette inclusion passe au quotient puisque si $X, Y \in \cL^2 (\O,\cG,\PP)$ définissent le même élément dans ${\mathbb L}^{2}(\O,\cG,\PP)$, c'est que $\{Y\neq X\}\in \cG$ est de $\PP$ probabilité nulle donc que $X$ et $Y$ définissent aussi le même élément dans ${\mathbb L}^{2}(\O,\cF,\PP)$. D'autre part, ${\mathbb L}^{2}(\O,\cG,\PP)$ est fermé dans ${\mathbb L}^{2}(\O,\cF,\PP)$.
\end{remf}

\begin{demo}(du théorème $\reff{esp}$).\\
\noindent
\textit{Existence} :  On commence par traiter le cas où $X$ admet un moment d'ordre $2$. ${\mathbb L}^{2}(\O,\cG,\PP)$ est un sev complet de ${\mathbb L}^2(\O,\cF,\PP)$ pour la norme $\|\cdot\|_2$ dérivant du produit-scalaire noté $<\cdot,\cdot>$. On désigne alors par $Y$ la projection orthogonale de $X$ sur ${\mathbb L}^{2}(\O,\cG,\PP)$. Par définition de la projection orhogonale,
$$\forall Z\in {\mathbb L}^{2}(\O,\cG,\PP), \; \; <X-Y,Z>=0$$
donc ${\mathbb E}(X\indic_G)={\mathbb E}(Y\indic_G)$ pour tout $G\in \cG$.
Ceci prouve l'existence de l'espérance conditionnelle pour les variables aléatoires ayant des moments d'ordre $2$. Passons maintenant au cas général.\\
Soit $X\in {\mathbb L}^1(\O,\cF,\PP)$. En l'écrivant comme différence de sa partie positive et de sa partie négative : $X=X^{+}-X^{-}$, il est clair que l'on peut se ramener au cas où $X$ est positive. On suppose donc maintenant que $X$ est positive. Soit pour tout entier $n$, $X_n =X\wedge n \in {\mathbb L}^2$. On peut donc par ce qui précède prendre son espérance conditionnelle par rapport à $\cG$, $Y_n={\mathbb E}(X_n | \cG)$. D'autre part, $X_n$ tend simplement en croissant vers $X$ et on va voir que de même, $(Y_n)_n$ tend en croissant vers une certaine limite $Y$.\\
\begin{lemf}
$0\leq Y_n\leq Y_{n+1}$, $\PP$ p.s.
\end{lemf}

\begin{demo}
On prouve que si $U\geq 0$ admet un moment d'ordre $2$ alors $W={\mathbb E}(U | \cG)\geq 0$. Si $\PP (W <0) >0$ alors il existe $n$ tel que $\PP (W <-1/n)>0$ et $\{W<-1/n\}\in \cG$ donc
$$0\leq {\mathbb E}(U \indic_{W<-1/n})={\mathbb E}(W \indic_{W<-1/n})\leq -1/n$$
ce qui est exclu.\\
On en déduit immédiatement le lemme (par linéarité de l'espérance conditionnelle sur ${\mathbb L}^{2}(\O,\cF,\PP)$).
\end{demo}

On pose $Y=\limsup Y_n$ qui est $\cG$-mesurable. Pour tout $G \in \cG$,
\begin{eqnarray*}
{\mathbb E}(Y\indic_G)&=&\lim_{n\rightarrow \infty} {\mathbb E}(Y_n \indic_G) \mbox{ par convergence monotone}\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty} {\mathbb E} (X_n \indic_G)\\
&=&{\mathbb E} (X \indic_G) \mbox{ par convergence monotone}
\end{eqnarray*}
En particulier, avec $G=\O$, ${\mathbb E}(Y)={\mathbb E}(X)<+\infty$.\\
\noindent
\textit{Unicité} : Soit $Y$ et $\tilde Y$ deux variables aléatoires vérifiant $1), 2)$ et $3)$. On veut montrer que $Y=\tilde Y$,\;  $\PP$ presque sûrement. On a donc :
$$\forall G \in \cG, \; {\mathbb E}(\indic_G (Y-\tilde{Y}))=0$$
Si $\PP(Y=\tilde{Y}) <1$ alors quitte à permuter $Y$ et $\tilde{Y}$, on a
$$\PP(Y>\tilde{Y})>0$$
Or $\lim_{n\rightarrow\infty} \PP(Y-\tilde{Y} >1/n)=\PP(Y>\tilde{Y})$ et il existe donc $n$ tel que $\PP (Y-\tilde{Y} >1/n) >0$. Mais $G_n=\{Y-\tilde{Y}>1/n\}\in \cG$ par $1)$ donc
$${\mathbb E}(\indic_{G_n} (Y-\tilde{Y}))=0 \Rightarrow \cfrac{1}{n}\PP(Y-\tilde{Y} >1/n)\leq 0\; \; \text{ : exclu}$$
Ceci conclut la preuve de l'unicité et du théorème.
\end{demo}

\begin{remf}
1) Quand on considère au lieu de $\cG$ la tribu engendrée par une variable aléatoire $Z$ (resp. une famille de variables aléatoires $(Z_i)_{i\in I}$), il est d'usage de noter l'espérance conditionnelle de $X$ sachant $\s (Z)$ par ${\mathbb E}(X|Z)$ (resp. ${\mathbb E}(X|Z_i, \; i\in I)$).\\
2) On remarquera que ${\mathbb E}(X|Z)$ est $\s (Z)$-mesurable donc elle s'écrit sous la forme $f(Z)$ où $f$ est une certaine fonction borélienne.
\end{remf}

\section{Variables à densité}
Soit $X$ et $Z$ deux variables aléatoires réelles (pour simplifier les écritures) telles qu'elles aient une densité jointe $f_{X,Z}(x,z)$. On rappelle que $X$ (resp. $Z$) a alors une densité notée $f_Z (z)=\int f_{X,Z} (x,z)dx$ (resp. $f_X (x)=\int f_{X,Z} (x,z)dz$). On pose alors
$$f_{X|Z}(x|z)=\indic_{f_Z (z)\neq 0}\cfrac{f_{X,Z}(x,z)}{f_{Z}(z)}$$
Soit $h$ une fonction borélienne (bornée pour simplifier); quelle est l'espérance conditionnelle de $h(X)$ sachant $Z$ ?\\
Si $g$ est une fonction borélienne bornée, par le théorème de Fubini, on a la suite d'égalités suivantes :
\begin{eqnarray*}
{\mathbb E}(h(X)g(Z))&=&\int h(x)g(z)f_{X,Z} (x,z)dxdz\\
&=&\int_{\RR^2}g(z)f_Z (z)f_{X|Z}(x,z)h(x)dxdz\\
&=& \int_{\RR} g(z)f_Z (z) \left(\int_\RR f_{X|Z} (x,z) h(x)dx\right)\\
&=&{\mathbb E} (g(Z)\theta (Z))
\end{eqnarray*}
où $\theta(z)=\int_\RR f_{X|Z} (x,z)h(x)dx$. On a donc prouvé que
$${\mathbb E} (h(X)|Z)(\o)=\theta (Z(\o))=\int_{\RR} f_{X|Z} (x,Z(\o))h(x)dx$$

\section{Variables discrètes}
En se reportant à la section $1$, on vérifiera sans peine que si $X$ et $Z$ sont deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\ZZ$, on a :
$${\mathbb E} (X|Z)= \sum_j j \left(\sum_i \indic_{Z=i} \PP (X=j|Z=i)\right)$$

\noindent
Le terme
$$\sum_{j} j \indic_{\{Z=i\}}\PP(X=j|Z=i)$$
est souvent noté
$${\mathbb E}(X|Z=i)$$

\section{Noyaux et lois conditionnelles}
\noindent
Ce paragraphe est tiré de $\cite{O}$ et donné sans la démonstration des propriétés. On s'y reportera pour de plus amples détails (mais ce qui est ici doit être su). La notion de loi conditionnelle est plus profonde que celle d'espérance conditionnelle qui n'est d'ailleurs que ``l'espérance par rapport à la loi conditionnelle''.\\
\noindent
$(E,{\cal E})$ et $(F,{\cal F})$ sont deux espaces probabilis\'es (qui seront ici en fait des $({\mathbb R}^{k},{\cal B}({\mathbb R}^{k}))$).

\begin{deff}
$\nu : E\times{\cal F}\rightarrow [0,1]$ est un noyau (ou probabilit\'e) de transition si il satisfait :\\
1. $\; \forall x\in E, \; \nu(x, \cdot)$ est une probabilit\'e sur $(F,{\cal F})$.\\
2. $\; \forall B \in {\cal F}, \; \nu(\cdot, B)$ est $\cal E$-mesurable.
\end{deff}

\begin{deff}
Si $X\in{{\mathbb R}}^{d}$ et $Y\in {\mathbb R}^{k}$ sont deux variables al\'eatoires, on appelle loi conditionnelle de $Y$ sachant $X$ un noyau $\nu$ sur $({\mathbb R}^d \times {\cal B}({\mathbb R}^k))$ tel que :
$$\PP_{(X,Y)}={\PP}_{X}\cdot\nu$$
c'est-\`a-dire
$$\PP(X\in A;Y\in B)=\int_{x\in A}\nu(x,B)d\PP_{X}(x)$$
\end{deff}

\noindent
On notera, \textbf{et ce n'est qu'une notation}, un tel noyau $\nu$ de la mani\`ere suivante:
$$\nu(x,B)=\PP(Y\in B|X=x) \; \text{  ou   } \; \nu(x,B)=\PP_{Y}(B|X=x)$$
Remarquer par exemple que si $X$ est \`a densit\'e, $\{X=x\}$ est un ensemble de probabilit\'e nulle. Il est donc hors de question de la d\'efinir par:
$$\PP(Y\in B|X=x)=\cfrac{\PP(Y \in B; X=x)}{\PP(X=x)}$$
Cependant cette formule est vraie dans le cas o\`u $\PP(X=x)\neq 0$.

Il reste à savoir quand on a l'existence de lois conditionnelles. La réponse à cette question est apportée par le théorème non trivial suivant.

\begin{thf} : \textbf{th\'eor\`eme de Jirina}\\
Si $X$ et $Y$ sont deux variables al\'eatoires \`a valeurs dans des $({\mathbb R}^k, {\cal B}({\mathbb R}^k))$ alors il existe toujours une loi conditionnelle de $Y$ sachant $X$.
\end{thf}

\noindent
Le théorème suivant est une généralisation du théorème de Fubini dans le cadre conditionnel.

\begin{thf}
Soit $(X,Y)$ une variable aléatoire à valeurs dans un espace probabilisable quelconque $(E\times F, {\cal E}\otimes {\cal F})$ telle qu'existe une loi conditionnelle $\PP(Y\in\cdot|X=\cdot)$ de $Y$sachant $X$. Soit $f$ une application mesurable de l'espace probabilisable $(E\times F, {\cal E}\otimes{\cal F})$ dans $({\bar \RR},{\cal B}(\bar{\RR}))$.\\
a) Si $f$ est positive, l'application $x\rightarrow \int_{F} f(x,y)d\PP_{Y}(dy|X=x)$ est $\cal E$-mesurable et on a :
$$\int_{E\times F} f(x,y) d\PP_{(X,Y)}(x,y)=\int_{E}\left[\int_F f(x,y)d\PP_Y (dy|X=x)\right]d\PP_{X} (x)$$
b) Si $f$ est de signe quelconque et $\PP_{(X,Y)}$-intégrable, pour $\PP_X$ presque tout $x$, l'application partielle $f(x,\cdot)$ est $\PP_Y(\cdot|X=x)$-intégrable, et l'application définie $\PP_X$-presque sûrement par $x\rightarrow \int_{F} f(x,y)d\PP_{Y}(dy|X=x)$ est $\PP_X$-intégrable et l'égalité précédente est encore vraie.
\end{thf}

\noindent
Il est alors aisé d'établir le corrolaire suivant.

\begin{propf}
(Propri\'et\'e de transfert conditionnel)\\
Si $X\in{\mathbb R}^p$ et $Y\in{\mathbb R}^{k}$ sont deux variables al\'eatoires et $f: {\mathbb R}^{p+k}\rightarrow {\mathbb R}^{q}$ bor\'elienne, alors
$$\PP(f(X,Y)\in \cdot|X=x)=\PP(f(x,Y)\in \cdot|X=x)$$
En particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a 
$$\PP(f(X,Y)\in \cdot|X=x)=\PP(f(x,Y)\in \cdot)$$
\end{propf}

\noindent
Terminons par une définition avant de faire le lien avec l'espérance conditionnelle.

\begin{deff}
Soit $Y$ une variable aléatoire et $(X_1,\ldots,X_n)$ une suite finie de variables aléatoires. On dira que relativement à $Y=y$ les variables aléatoires $(X_1,\ldots,X_n)$ ont pour loi $\mu_y$ (probabilité sur $\RR^n$ dépendant de $y$) ssi il existe une loi conditionnelle de $(X_1,\ldots,X_n)$ relativement à $Y$ telle que $\PP_Y$ p.s.
$$\PP_{(X_1,\ldots,X_n)}(\cdot|Y=y)=\mu_y(\cdot)$$
En particulier, on dira que $(X_1,\ldots,X_n)$ sont indépendantes conditionnellement à $Y=y$ ssi la loi conditionnelle de $(X_1,\ldots,X_n)$ relativement à $Y$ est une loi produit.
\end{deff}

L'espérance conditionnelle de la variable aléatoire $X$ relativement à une autre variable aléatoire $Y$ est
$${\mathbb E}(X|Y)(\omega)=\int_{\RR} x d\PP_X (dx|Y=Y(\o))$$
Il suffit en effet de remarquer que la fonction définie par le membre de droite vérifie les propriétés caractéristiques de l'espérance conditionnelle. L'espérance conditionnelle apparaît donc comme ``l'espérance relativement à la loi conditionnelle''.