Cette section est un résumé des chapitres $1$ et $2$ de $\cite{LL}$.

\section{Le problème des options}

L'exposé est centré sur le problème des options. Une option est un titre donnant à son détenteur le droit, et non l'obligation, d'acheter ou de vendre (selon qu'il s'agit d'une option d'achat ou de vente) une certaine quantité d'un actif financier, à une date convenue et à un prix fixé d'avance. La description précise d'une option se fait à partir des éléments suivants :\\
- la nature de l'option : on parle de \textit{call} pour une option d'achat et de \textit{put} pour une option de vente.\\
- l'actif sous-jacent, sur lequel porte l'option : dans la pratique, il peut s'agir d'une action, d'une obligation, d'une devise etc.\\
- le montant, c'est-à-dire la quantité d'actif sous-jacent à acheter ou à vendre.\\
- l'échéance ou date d'expiration, qui limite la durée de vie de l'option; si l'option peut être exercée à n'importe quel instant précédent l'échéance, on parle d'option \textit{américaine}, si l'option ne peut être exercée qu'à l'échéance, on parle d'option \textit{européenne}.\\
- le prix d'exercice, qui est le prix (fixé d'avance) auquel se fait la transaction en cas d'exercice de l'option.\\

L'option elle-même a un prix appelé la prime. Lorsque l'option est cotée sur un marché organisé, la prime est donnée par le marché. En l'absence de cotation, le calcul de la prime se pose.\\

Examinons, pour fixer les idées, le cas d'un call européen, d'échéance $T$, sur une action, dont le cours à la date $t$ est donné par $S_t$. Soit $K$ le prix d'exercice. On voit qu'à l'échéance, la valeur du call est donnée par la quantité :
$$(S_T -K)_+ = \sup (S_T -K,0)$$

Pour le vendeur de l'option, il s'agit, en cas d'exercice, d'être en mesure de fournir une action au prix $K$ et, par conséquent de pouvoir produire à l'échéance une richesse égale à $(S_T -K)_+$. Au moment de la vente de l'option, que l'on prendra pour origine des temps, le cours $S_T$ est inconnu et deux questions se posent :\\
1) Combien faut-il faire payer à l'acheteur de l'option, autrement dit comment évaluer à l'instant $t=0$ une richesse $(S_T -K)_+$ disponible à la date $T$ ? C'est le problème du \textit{pricing}.\\
2) Comment le vendeur, qui touche la prime à l'instant $0$, parviendra-t-il à produire la richesse $(S_T - K)_+$ à la date $T$ ? C'est le problème de la \textit{couverture}.

\section{Le formalisme des modèles discrets}

L'hypothèse de base, retenue dans tous les modèles, est que, dans un marché suffisamment fluide, il est impossible de faire des profits sans prendre de risques. Nous traduirons dans la suite cette hypothèse en termes mathématiques. Dans la suite, $(\O,\cal{F},\PP)$ désignera un espace probabilisé fini que l'on munit d'une filtration (finie) $\{\emptyset,\Omega\}={\cal F}_0 \subset {\cal F}_1 \subset \ldots \subset {\cal F}_N={\cal F}={\cal P} (\O)$. ${\cal F}_n$ représente l'information dont on dispose au temps $n$. La date $N$ est la date d'échéance des options. On fera l'hypothèse que 
$$\forall \o \in \O, \; \PP (\{\o\})>0$$
On supose d'autre part qu'il y a sur le marché $d+1$ actifs financiers dont les prix à l'instant $n$ sont donnés par des variables aléatoires $S_n^0,S_n^1,\ldots,S_n^d$ qui sont ${\cal F}_n$-mesurables. Le vecteur $S_n=(S_n^0,S_n^1,\ldots,S_n^d)$ est le vecteur des prix à l'instant $n$. L'actif numéroté $0$ représente les placements sans risque avec un taux d'intérêt $r$ et on posera $S_0^0=1$. Ainsi $S_n^0 = (1+r)^n$ et $\beta_n=1/S_n^0$ est appel\'e le \textit{coefficient d'actualisation} : c'est la somme d'argent qui investie à l'instant $0$ dans l'actif sans risque permet de disposer de $1$ euro à l'instant $n$. Les autres actifs sont appelés les actifs à risque. Les actifs actualisés sont définis par
$$\tilde{S_n}=\beta_n S_n$$ 

\section{Les stratégies}

Une stratégie de gestion est définie par un processus aléatoire $\phi=((\phi_n^0,\ldots,\phi_n^d))_{0\leq n\leq N}$ à valeurs dans $\RR^{d+1}$. A chaque instant $n$, elle donne les quantités $\phi_n^0,\ldots,\phi_n^d$ des différents actifs détenues en portefeuille. On supposera que le processus $\phi$ est prévisible (le portefeuille $\phi_n$ à la date $n$ est constitué au vu des informations disponibles à la date $(n-1)$ et conservé tel quel au moment des cotations à la date $n$).\\
La valeur du portefeuille à l'instant $n$ est donnée par le produit scalaire :
$$V_n (\phi)=\phi_n\cdot S_n=\sum_{i=0}^{d+1} \phi_n^i S_n^i$$

Une stratégie sera dite \textit{auto-financée} si il n'y a ni apports, ni retraits de fonds. La variation de la valeur du portefeuille est donc uniquement due aux gains procurés par l'agitation des cours. Cette condition d'autofinancement se traduit par
$$\phi_n \cdot S_n = \phi_{n+1} \cdot S_n$$


%\begin{propf}
%Pour tout processus prévisible $((\phi_n^1,\ldots,\phi_n^d))_{0\leq n \leq N}$ et toute variable $V_0$ qui est ${\cal F}_0$-mesurable, il existe un et un seul processus prévisible $(\phi_n^0)_{0\leq n \leq N}$ tel que la stratégie $\phi=(\phi^0,\phi^1,\ldots,\phi^d)$ soit autofinancée et de valeur initiale $V_0$. 
%\end{propf}

\section{Marché viable}

Pour l'instant, rien n'interdit aux quantités d'actifs $\phi_n^i$ d'être négatives, c'est-à-dire que l'on a des dettes libellées en actifs à risques. Les emprunts et ventes à découverts sont autorisés dans notre modèle mais on impose néanmoins qu'à tout instant, la valeur du portefeuille soit positive.\\

Une stratégie sera dite \textit{admissible} si elle est autofinancée et si à tout instant, la valeur du portefeuille correspondant est positif ou nul. Une \textit{stratégie d'arbitrage} est une stratégie admissible de valeur initiale nulle et de valeur finale non nulle.\\

D'apr\`es l'hypothèse de base qui consiste à dire que l'on ne peut pas gagner sans prendre de risque, on doit refuser aux stratégies d'arbitrage le droit à l'existence (ce qui est une hypoth\`es de droite). Un tel marché est alors appelé un \textit{marché viable}. Cette hypothèse maintenant mathématiquement formulée conduit assez simplement au théorème suivant :

\begin{thf}
Le marché est viable ssi il existe une probabilité $\PP^*$ équivalente à $\PP$ sous laquelle les prix actualisés des actifs $\tilde{S}$ sont des martingales.
\end{thf} 

\begin{demo}
La démonstration de ce théorème est élémentaire et g\'eom\'etrique mais demande un peu de travail.
\end{demo}

\section{Marché complet et évaluation des options}

On définit une option européenne d'échéance $N$ comme une variable aléatoire $h\geq 0$ $\cF_N$-mesurable et qui représente le profit que permet l'exercice de l'option. Ainsi pour un call sur une unité d'actif $1$, au prix d'exercice $K$, on a
$$h=(S_N^1 - K)_+$$
et pour une option de vente ou put sur une unité d'actif $1$ au prix d'exercice $K$, on a
$$h=(K-S_N^1)_+$$ 

On dira que l'actif conditionnel défini par $h$ est \textit{simulable} (ou atteignable) s'il existe une stratégie admissible dont la valeur à l'instant $N$ est égale à $h$. On dira que le marché est \textit{complet} si tout actif conditionnel est simulable. Imposer qu'un marché est complet est une hypothèse restrictive dont la justification économique n'est pas claire. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein, que nous étudierons en détail, est un exemple de marché viable et complet.

\begin{thf}
Un marché viable est complet si, et seulement si, il existe une seule probabilité $\PP^*$ équivalente à $\PP$ sous laquelle les prix actualisés des actifs soient des martingales.
\end{thf}

On suppose le marché viable et complet et on note $\PP^*$ l'unique probabilité sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Soit un actif conditionnel défini par une variable aléatoire $h$ positive et ${\cal F}_N$-mesurable et soit $\phi$ une stratégie admissible simulant $h$, c'est-à-dire vérifiant 
$$\forall n \in \{0,\ldots, N\},\; V_n (\phi)\geq 0,\; \phi_n\cdot S_n=\phi_{n+1}\cdot S_n,\; V_N (\phi)=h$$
La suite des valeurs de portefeuilles actualisées $(\tilde{V}_n)_{0\leq n\leq N}$ définie par
$$\tilde{V}_n(\phi) = \beta_n V_n (\phi)$$
est une martingale sous $\PP^*$ (en tant que transformée de martingale). On a donc
$$V_n (\phi) = (1+r)^{n-N}{\mathbb E}^* \left(h|{\cal F}_n\right),\;\; n=0,\ldots,N$$
Il est alors naturel d'appeler $V_n (\phi)$ la valeur de l'option au temps $n$ : c'est la richesse qui, détenue à l'instant $n$, permet, en suivant la stratégie $\phi$ à partir de l'instant $n$, de produire exactement la richesse $h$ à l'instant $N$.\\
Si à l'instant $0$, un investisseur vend l'option au prix 
$${\mathbb E}^*( (1+r)^{-N} h)$$
il a la possibilité, en suivant une stratégie simulante $\phi$, de restituer la richesse promise $h$ à l'instant $N$, c'est-à-dire qu'il peut se couvrir parfaitement.

\section{Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein}

C'est une version discrétisée du modèle de Black-Scholes (modèle continu) dans lequel il y a un seul actif à risque, de prix $S_n$ à l'instant $n$ et un actif sans risque de rendement certain $r$ sur une periode si bien que $S_n^0=(1+r)^n$. On fait les hypothèses suivantes sur l'évolution du cours de l'actif risqué : entre deux periodes consécutives, la variation relative des cours est soit $a$, soit $b$, avec $-1<a<b$ :
\begin{equation*}
S_{n+1}=
\begin{cases}
S_n (1+a)\\
S_n (1+b)
\end{cases}
\end{equation*}
Le cours initial $S_0$ est donné. On a ici $\Omega=\{1+a,1+b\}^{N}$, chaque $N$-uple représentant les valeurs successives de $T_n=S_{n}/S_{n-1}$. ${\cal F}_n=\sigma(S_1,\ldots,S_n)$. On suppose que la probabilité considérée dans ce modèle $\PP$ assure une probabilité strictement positive à tous les singletons.\\

1) Sous l'hypothèse de viabilité, on montre que le modèle dépend en fait d'un paramètre $r\in (a,b)$ et que le marché est complet. La valeur d'un call d'échéance $N$ et de prix d'exercice $K$ à l'instant $n$ peut être calculé et est donné par $C_n=c(n,S_n)$ où
$$c(n,x)=(1+r)^{(N-n)}\sum_{j=0}^{N-n} C_{N-n}^j p^j (1-p)^{N-n-j} (x(1+a)^j (1+b)^{(N-n-j)} -K)_+$$
Ici $p=(b-r)/(b-a)$. On peut aussi établir la relation dite de parité entre un call $C_n$ et un put $P_n$ de prix d'exercice $K$ et d'échéance $N$
$$C_n - P_n = S_n -K(1+r)^{-(N-n)}$$

2) On peut aussi calculer la stratégie de couverture parfaite d'un call. Elle est définie par une quantité d'actif risqué $H_n =\Delta (n,S_{n-1})$ à détenir à l'instant $n$ , où $\Delta$ est la fonction définie par
$$\Delta (n,x)=\cfrac{c(n,x(1+b))-c(n,x(1+a))}{x(b-a)}$$

3) On peut ``rendre continu'' ce modèle. Pour cela, on fait tendre $N$ vers l'infini en imposant les relations suivantes
\begin{equation*}
\begin{cases}
r_N =RT/N\\
\log((1+a_N)/(1+r_N))=-\sigma/\sqrt{N}\\
\log((1+b_N)/(1+r_N))=\sigma/\sqrt{N}
\end{cases}
\end{equation*} 

$R$ s'interprète comme le taux d'intérêt instantanné entre les instants $0$ et $T$ et $\sigma^2$ comme la variance limite de $\log(S_N)$ quand $N$ tend vers l'infini, $S_N$ représentant le cours de l'action à la date $T$.
On obtient alors une valeur limite pour la valeur du put à l'instant $0$ donnée par
$$P_0=Ke^{-RT}F(-d_2)-S_0 F(-d_1)$$
où $F$ est la fonction de répartition d'une gaussienne standard et $d_1,d_2$ sont deux fonctions connues dépendant de $K, R,T$ et $\sigma$. On obtient une formule similaire pour le call ainsi qu'une version continue de la relation de parité call-put. On remarquera que le seul paramètre non directement observable sur le marché est $\sigma$. Son évaluation se fait souvent par des méthodes statistiques.

\section{Enveloppes de Snell et options américaines}

Le but de cette section est de traiter l'évolution et la couverture des options américaines. Un lien avec le problème d'arrêt optimal sera mis en évidence. On se place dans le cadre d'un marché complet et viable et on note $\PP^{*}$ l'unique probabilité sous laquelle les cours actualisés $\tilde{S_n}$ sont des martingales. A la différence des options européennes, une option américaine peut êtr exercée à tout moment entre les instants $0$ et $N$. Nous la définissons comme une suite $Z_n$ positive et adaptée à la filtration $(\cF_n)_n$. $Z_n$ représente le profit que permet l'exercice de l'option à l'instant $n$. Par exemple, pour un call américain au prix d'exercice $K$ sur une unité d'actif dont le cours est donné par $(S_n)_n$, on a $Z_n= (S_n -K)_{+}$. 
Quelle est la valeur de l'option américaine associée ? Raisonnons par récurrence en marche arrière. Au temps $N$, $U_N=Z_N$. Pour calculer $U_{N-1}$, mettons nous à la place de celui qui vend l'option. Si le client exerce l'option au temps $N-1$, le vendeur doit être capable de fournir une richesse $Z_{N-1}$. Si par contre, le client exerce au temps $N$, le vendeur doit être capable de fournir une richesse $Z_N$. Le vendeur doit donc encaisser au temps $N-1$ une richesse au moins égale à $Z_{N-1}$ et à partir de cette richesse être capable de fournir l'instant d'après une richesse égale à $Z_N$. La somme qui, disponible à l'instant $N-1$, permet d'obtenir à l'instant $N$ une richesse $Z_N$, c'est la valeur à l'instant $N-1$ d'une stratégie admissible de valeur finale $Z_{N-1}$, c'est-à-dire $S_{N-1}^{0} \mathbb{E}^{*} (Z_{N}/S_{N}^{0}| {\cF}_{N-1})$. La valeur de l'option à l'instant $N-1$ est donc donnée par:
$$U_{N-1} =\max \left( Z_{N-1}, S_{N-1}^{0} {\mathbb E}^{*}({\tilde Z}_N | {\cF}_{N-1})\right)$$
où ${\tilde Z}_N= Z_{N}/S_N^0$ est la valeur actualisée de $Z_N$. On rappelle que $S_n^0=(1+r)^n$. En raisonnant de même aux temps antérieurs, on en déduit que la valeur de l'option au temps $n$ est donnée par:
$$U_{n-1} =\max \left(Z_{n-1}, S_{n-1}^{0} {\mathbb E}^{*} \left(U_n/S_{n}^{0}|{\cF}_n\right)\right)$$
On est alors naturellement amené à définir la notion d'enveloppe de Snell. On passe dans un cadre un peu plus abstrait et on suppose désormais que $(\Omega, \cF, (\cF_n)_{0\leq n \leq N}, \PP)$ est un espace filtré sur un ensemble $\Omega$ fini avec ${\cF}_0$ la tribu triviale et ${\cF}_N = {\cF}$.

\begin{deff}
Soit $(Z_n)_{0\leq n \leq N}$ une suite adaptée à la filtration $(\cF)_n$. On appelle enveloppe de Snell de la suite $(Z_n)_n$ le processus adapté $(U_n)_{n\leq n \leq N}$ défini par :
\begin{equation}
\begin{cases}
U_N =Z_N\\
U_n = \max\left( Z_n, {\mathbb E} (U_{n+1}| {\cF}_n\right)
\end{cases}
\end{equation}
\end{deff}

\begin{propf}
L'enveloppe de Snell $(U_n)_n$ d'une suite $(Z_n)_n$ est la plus petite surmartingale majorant $(U_n)_n$.
\end{propf}

\begin{demo}
Par définition, $(U_n)_n$ est une surmartingale majorant $(Z_n)_n$. Si $(T_n)_n$ est une autre surmartingale majorant $(Z_n)_n$ alors $T_N \geq U_N$ et si $T_n \geq U_n$, on a:
$$T_{n-1}\geq {\mathbb E}(T_n |{\cF}_{n-1})\geq \mathbb E (U_n |{\cF}_{n-1})$$
et donc 
$$T_{n-1} \geq \sup \left( Z_{n-1}, {\mathbb E} (U_n | {\cF}_{n-1}\right)$$
ce qui démontre la proposition. 
\end{demo}

Ceci suggère que si l'on arrête convenablement la suite $(U_n)_n$, on obtient une martingale. C'est effectivement le cas puisque l'on a la propriété suivante.

\begin{propf}
La variable aléatoire $\nu_0$ définie par $\nu_0= \inf \{ n\geq 0 | U_n = Z_n\}$ est un temps d'arrêt et la suite arrêtée $(U_{n\wedge \nu_0})_{0\leq n\leq N}$ est une martingale.
\end{propf}

\begin{demo}
TRès facile. 
\end{demo}


Dans la suite, on notera ${\cT}_{n,N}$ l'ensemble des temps d'arrêt qui prennent leurs valeurs dans $\{n,n+1,\ldots, N\}$. 

\begin{corf}(\textit{arrêt optimal})\\
Le temps d'arrêt $\nu_0$ vérifie :
$$U_0= {\mathbb E} (Z_{\nu_0} | {\cF}_0)=\sup_{\nu \in {\cT_{0,N}}} {\mathbb E}( Z_ \nu | {\cF}_0) $$
On appelle alors temps d'arrêt optimal pour la suite $(Z_n)_n$ tout d'arrêt $\nu$ qui vérivie
$$ {\mathbb E} (Z_{\nu} | {\cF}_0)=\sup_{\mu \in {\cT_{0,N}}} {\mathbb E}( Z_ \mu | {\cF}_0) $$
\end{corf} 

\begin{demo}
$U^{\nu_0}$ est une martingale et si $\nu \in {\cT}_{0,N}$ alors $U^{\nu}$ est une surmartingale. On a donc
$$U_{0} \geq {\mathbb E}(U_N^{\nu} |{\cF}_0)={\mathbb E} (U_{\nu} | {\cF}_0) \geq {\mathbb E} (Z_{\nu} | {\cF}_0)$$
Or $U_0=U_0^{\nu_0}={\mathbb E}(U_{N}^{\nu_0} | {\cF}_0)={\mathbb E} (Z_{\nu_0}|{\cF}_0)$ et le résulatat tombe. 
\end{demo}


On a le théorème suivant qui caractérise plus ou moins les temps d'arrêt optimaux.
\begin{thf}
Untemps d'arrêt $\nu$ est optimal ssi  :
\begin{equation}
\begin{cases}
Z_\nu = U_{\nu}\\
U^\nu \mbox{\qquad est une martingale}
\end{cases}
\end{equation}
\end{thf}

\begin{demo}
Si la suite $U^{\nu}$ est une martingale alors $U_0= {\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_0)$ et par conséquent si $Z_\nu =U_\nu$, on a $U_0 = {\mathbb E} (Z_\nu | {\cF}_0)$ ce qui entraîne l'optimalité de $\nu$ par le corrolaire précédent.\\
Réciproquement, si $\nu$ est optimal, on a 
$$U_0 = {\mathbb E} (Z_\nu | {\cF}_0) \leq {\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_0)$$
Mais puisque $U^{\nu}$ est une surmartingale, on a aussi l'inégalité inverse et donc ${\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_0) = {\mathbb E} (Z_\nu | {\cF}_0)$. Puisque $U_\nu \geq Z_\nu$, on a $U_\nu = Z_\nu$.
D'autre part, puisque $U^{\nu}$ est une surmartingale, on a 
$$U_0 \geq {\mathbb E} (U_n^\nu | {\cF}_0) \geq {\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_0)$$
Or ce qui précède montre que ${\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_0) = U_0$. Il en résulte que
$${\mathbb E} (U^{nu}_n | {\cF}_0) = {\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_0) ={\mathbb E} ({\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_n)| {\cF}_0)$$
Mais on a $U_n^\nu \geq {\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_n)$ et donc $U^{\nu}_n = {\mathbb E} (U_\nu | {\cF}_n)$, ce qui prouve que $U^{\nu}$ est une martingale.
\end{demo}

On rappelle la propriété suivante de décomposition des surmartingales (ou ``décomposition de Doob''). Soit $(U_n)_{0\leq n\leq N}$ une surmartingale. Il existe alors une martingale $(M_n)_{0\leq n \leq N}$ et un processus prévisible croissant nul en $0$ noté $(A_n)_{0\leq n \leq N}$ tel que
$$U_n = M_n -A_n$$
Cette décomposition est de plus unique. Supposons maintenant que $(U_n)_n$ soit l'enveloppe de Snell d'une suite adaptée $(Z_n)_n$. Cette propriété permet de caractériser le plus grand temps d'arrêt optimal pour $(Z_n)$ à l'aide du processus croissant $(A_n)_n$ intervenant dans la décomposition de Doob de $(U_n)_n$.
\begin{propf}
Le plus grand temps d'arrêt optimal pour la suite $(Z_n)_n$ est donné par:
\begin{equation}
\nu_{max}=\begin{cases}
N \mbox{\qquad si $A_N=0$}\\
\inf\{n, \; A_{n+1} \neq 0\} \mbox{\qquad si $A_N \neq 0$}
\end{cases}
\end{equation}
\end{propf}  

\begin{demo}
Il est facile de voir que $\nu_{max}$ est un temps d'arrêt. Du fait que $A_j=0$ pour $j\leq \nu_{max}$, on en déduit que $U^{\nu_{max}} = M^{\nu_{max}}$ ce qui entraîne que $U^{\nu_{max}}$ est une martingale. Pour avoir l'optimalité, il suffit de montrer l'égalité :
$$U_{\nu_{max}} = Z_{\nu_{max}}$$
Or 
\begin{eqnarray*}
U_{\nu_{max}}&=&\sum_{j=0}^{N-1} \indic_{\{\nu_{max}=j\}}U_j + \indic_{\{\nu_{max} =N\}}U_N\\
&=&\sum_{j=0}^{N-1} \indic_{\{\nu_{max} =j\}} \sup \left\{Z_j , {\mathbb E} (U_{j+1} | {\cF}_j)\right\}+\indic_{\{\nu_{max}=N\}}Z_N
\end{eqnarray*}
On a ${\mathbb E} (U_{j+1} | {\cF}_j) =M_j -A_{j+1}$ et sur l'ensemble $\{\nu_{max} = j\}$, $A_j =0$ et $A_{j+1} >0$ donc $U_j = M_j$ et ${\mathbb E} (U_{j+1} | {\cF}_j) = M_j - A_{j+1} < U_j$. Par suit $U_j = Z_j$ sur cet ensemble. On a donc démontré l'égalité voulue.\\

Pour démontrer que c'est le plus grand temps d'arrêt optimal, on utilise le fait que si $\PP( \nu >  \nu_{max})>0$ alors on a
$${\mathbb E} (U_\nu) = {\mathbb E} (M_\nu) - {\mathbb E} (A_\nu) ={\mathbb E} (U_0) -{\mathbb E}(A_\nu) < {\mathbb E} (U_0)$$
et par conséquent $U^\nu$ ne peut pas être une martingale.
\end{demo}



Voyons maintenant comment ces résultats sur le contrôle optimal donnent des informations sur l'exercice et la couverture des options américaines. Pour simplifier les notations, on note $\PP$ l'unique probabilité sous laquelle les actifs actualisés sont des martingales. Nous avons vu que la valeur actualisée $(\tilde{U}_n)_n$ d'une option américaine décrite par une suite $(Z_n)_n$ était l''enveloppe de Snell de la suite actualisée $({\tilde Z}_n)_n$.\\
Question : Comment le vendeur de l'option peut-il se couvrir parfaitement ?
Réponse : On peut écrire ${\tilde U}$ sous la forme ${\tilde M}-{\tilde A}$ où ${\tilde M}$ est une martingale et ${\tilde A}$ est un processus croissant prévisible nul en $0$. Puisque le marché est complet, il existe une stratégie autofinancée $\phi$ telle que:
$$V_N (\phi) = S_N^{0} {\tilde M}_N$$
c'est-à-dire ${\tilde V}_N (\phi) = {\tilde M}_N$. Comme la suite $({\tilde V}_N (\phi))$ est une martingale (en tant que transformée de martingale), on a 
$${\tilde V}_n (\phi)={\tilde M}_n$$
et donc 
$$U_{n}=V_n (\phi)-A_n$$
A partir de cette expression, on voit comment le vendeur de l'option peut se couvrir. A l'instant $0$, il doit encaisser la prime $U_{0}=V_{0}(\phi)$ et suivre la stratégie $\phi$. A l'instant $n$, il est capable de produire une richesse $V_n (\phi)$ qui majore $U_n$ donc $Z_n$.\\
Dans le cadre du modèle de Cox-Ross-Rubinstein, on peux calculer assez facilement la strtégie $\phi$ dans le cas d'un put américain (exercice $4$, Ch.2, p.37-38 de \cite{LL}).\\
Question : Quelle est la date d'exercice optimale pour l'acheteur de l'option ?\\ 
Réponse : La date d'exercice est à choisir parmi les temps d'arrêt. Le détenteur de l'option n'a pas intérêt à exercer à un temps $n$ où $U_n > Z_n$ car il perdrait un actif de valeur $U_n$ (l'option) contre une richess égale à $Z_n$. Donc une date $\tau$ d'exercice optimal est telle que $U_\tau = Z_\tau$. Par ailleurs, il n'a pas intérêt à exercer après l'instant $\nu_{max}$ car à cet instant, en vendant l'option, il peut se constituer une richesse égale à $U_{nu_{max}}=V_{\nu_{max}}(\phi)$ et, en suivant à partir de cet instant la stratégie$\phi$, il se constitue un portefeuille dont la valeur est strictement plus grande que celle de l'option aux instants $\nu_{max} +1, \ldots, N$. La seconde condition est donc $\tau \leq \nu_{max}$, donc ${\tilde U}_\tau$ est une martingale. En conclusion, $\tau$ doit être un temps d'arrêt optimal. 

\dexer
Soit $E$ un ensemble fini et $(X_n)_{n\geq 0}$ une chaîne de Markov sur $E$ de matrice de transition $P$. Sooit $(Z_n)_n$ une suite adaptée définie par $Z_n=\psi (n,X_n)$ où $\psi$ est une fonction de $\NN \times E$ dans $\RR$. Montrer que l'enveloppe de Snell $(U_n)_n$ de la suite $(Z_n)_n$ est donnée par $U_n =u(n,X_n)$ où $u$ est la fonction définie par les relations suivantes :
$$u(N,x)=\psi (N,x)$$
$$u(n,\cdot)=\max (\psi(n,\cdot),Pu (n+1,\cdot)), \qquad n \leq N-1$$
\fexer

\dexer (exercice 4, Ch. 2, \cite{LL})\\
On considère le modèle de Cox-Ross-Rubinstein et on adopte les notations de la précédente section.\\
\quest 1) Montrer que le prix $\cP_n$ à l'instant $n$ du put américain d'échéance $N$, de prix d'exercice $K$ sur une action peut s'écrire:
$${\cP}_n=P_{am} (n,S_n)$$
où $P_{am}(n,x)$ est définie par $P_{am}(N,x)=(K-x)_+$ et, pour $n\leq N-1$,
$$P_{am} (n,x)= \max \left((K-x)_{+}, \cfrac{f(n+1,x)}{(1+r)}\right)$$
avec $f(n+1, x)=p P_{am} (n+1, x(1+a)) + (1-p) P_{am} (n+1, x(1+b))$ et $p=\cfrac{b-r}{b-a}$.\\
\quest 2) Montrer que la fonction $P_{am} (0,\cdot)$ peut se mettre sous la forme :
$$P_{am} (0,x) = \sup_{\nu \in {\cT}_{0,N}} {\mathbb E}^{*} ((1=r)^{-\nu} (K-xV_{\nu})_{+})$$
où la suite de variables aléatoires $(V_n)_{0\leq n \leq N}$ est définie par : $£V_0 =1$ et, pour $n\geq 1$, $V_n =\prod_{i=1}^{n} U_i$ où les $U_i$ sont des variables aléatoires dont on préisera la loi conjointe sous $\PP^{*}$.\\
\quest 3) A partir de la formule de la question précédente, montrer que la fonction $x \rightarrow P_{am} (0,x)$ est convexe et décroissante.\\
\quest 4) On suppose $a<0$. Montrer qu'il existe un réel $x^{*} \in [0,K]$ tel que pour $x\leq x^{*}$, $P_{am}(0,x)=(K-x)_+$ et pour $x \in (x^{*}, K/(1+a)^N)$, $P_{am} (0,x) > (K-x)_+$.\\
\quest 5) Un agent détient le put américain à l'instant $0$. Pour quelles valeurs du cours spot $S_0$ a-t-il intérêt à exercer immédiatement son option?\\
\quest 6) Montrer que la stratégie de couverture du put américain est définie par une quantité d'actif risqué $H_n = \Delta (n, S_{n-1})$ à détenir à l'instant $n$ où $\Delta$ est une fonction que l'on exprimera à partir de la fonction $P_{am}$.  
\fexer 

