
\section{Algèbres, tribus, $\pi$-systèmes, $\l$-systèmes et espaces mesurables}

Soit $\O$ un ensemble quelconque. On commence par définir toute une typologie de collections d'ensembles que l'on utilisera tout au long du cours.\\

\begin{deff}
1. Une classe $\cP $ de sous-ensembles de $\O$ est appelée un $\pi$-système ssi :
$$A,B \in \cP \Rightarrow A\cap B \in \cP$$
\noindent
2. Une classe $\cL$ de sous-ensembles de $\O$ est appelée un $\l$-système ssi :\\
i) $\O \in \cL$.\\
ii) Si $A,B \in \cL$ et $A\subset B$ alors $B\backslash A \in \cL$.\\
iii) Si $(A_n)_{n\in \NN}$ est une suite \textit{croissante} d'éléments de $\cL$ alors $\cup_{n \in \NN}A_n \in \cL$.\\
\noindent
3. Une classe $\cF$ de sous-ensembles de $\O$ est appelée une algèbre ssi :\\
i) $\O \in \cF$.\\
ii) $F \in \cF \Rightarrow F^c \in \cF$.\\
iii) $F,G \in \cF \Longrightarrow F\cup G \in \cF$.\\
\noindent
4. Une classe $\cF$ de sous-ensembles de $\O$ est une tribu (ou $\s$-algèbre) ssi :\\
i) $\cF$ est une algèbre.\\
ii) Si $F_n \in \cF$ pour tout $n \in \NN$ alors $\cup_{n\in \NN} F_n \in \cF$.\\
\newline
\end{deff}

\begin{remf}
Il est facile de voir que si $\cF$ est une algèbre alors $\cF$ est stable par réunion et intersection finie (mais pas forcément dénombrable) et que la définition d'une algèbre pourrait être donnée de manière équivalente si \`a la place de la stabilité par réunion finie, on impose la stabilité par intersection finie.\\
De même dans la définition d'une tribu, la propriété ii), compte-tenu de i), peut être remplacée par la stabilité par \textit{réunion dénombrable croissante} (c'est-à-dire en supposant que les $F_n$ forment une suite croissante au sens de l'inclusion) ou bien par \textit{réunion disjointe} (c'est-à-dire en supposant que les $F_n$ forment une suite d'éléments disjoints de $\cF$).
\end{remf}

\begin{propf}
Une collection de sous-ensembles de $\O$ est une tribu ssi c'est à la fois un $\l$-système et un $\pi$-système.
\end{propf}

En général, on ne dispose pas directement d'algèbres, tribus... et on les construit à partir ``d'éléments générateurs''. Ce qui permet de le faire, c'est la remarque suivante :\\
``Une intersection quelconque (dénombrable ou pas) de $\pi$-systèmes, $\l$-systèmes, d'algèbres ou de tribus est (respectivement) un $\pi$-système, un $\l$-système, une algèbre ou une tribu. ''\\
En effet, si $\cC$ est une collection de sous-ensembles de $\O$, puisque $\cP (\O)$ (ensemble de toutes les parties de $\O$) est une tribu (donc un $\pi$-système, $\l$-système et une algèbre) contenant $\cC$, l'intersection de tous les $\pi$-systèmes (resp. $\l$-systèmes, algèbres, tribus) contenant $\cC$ est un $\pi$-système (resp. $\l$-système, algèbre, tribu) contenant $\cC$. Et c'est le plus petit $\pi$-système (resp. $\l$-système, algèbre, tribu) contenant $\cC$. On l'appelle alors $\pi$-système (resp. $\l$-système, algèbre, tribu) engendré par $\cC$ et on le note $\pi(\cC)$ (resp. $\l(\cC)$, $\a(\cC)$, $\s(\cC)$).

Le lemme suivant est fondamental dans tout ce qui suit et notamment dans la démonstration du théorème de Carathéodory dont nous parlerons plus loin.

\begin{lemf}(Dynkin)\\
Si $\cP$ est un $\pi$-système contenu dans un $\l$-système alors ce $\l$-système contient la tribu engendrée par ce $\pi$-système.
\end{lemf}

\begin{demo}
Voir TD.
\end{proof}

\begin{deff}
Une paire $(\O,\cF)$, où $\O$ est un ensemble et $\cF$ est une tribu sur $\O$, est appelée un espace mesurable. Un élément de $\cF$ est appelé un ensemble $\cF$-mesurable.
\end{deff}

Passons maintenant à un exemple fondamental d'espace mesurable. Soit $S$ un espace topologique muni de sa famille $\cS$ d'ouverts. On appelle tribu borélienne sur $S$ la tribu engendrée par $\cS$. On la note $\cB(S)$ et ses éléments sont appelés les boréliens de $\cS$. Les éléments de $\cB(\RR^d)$ par exemple peuvent être très compliqués et il est possible de construire des ensembles non boréliens (voir TD). Néanmoins, il est facile d'exhiber des classes assez simples engendrant la tribu borélienne de $\RR^d$. La tribu borélienne de $\RR^d$ est en effet engendrée (par exemple) par l'une des classes suivantes (voir TD) :\\
$$\left\{\prod_{i=1}^{d} [a_i;b_i]; a_i,b_i \in \RR \right\},\left\{\prod_{i=1}^{d} (-\infty;b_i]; b_i \in \RR \right\},\left\{\prod_{i=1}^{d} [a_i;+\infty); a_i \in \RR \right\}$$

\section{Mesure}

\begin{deff}
Soit $\O$ un ensemble muni d'une algèbre $\cF$ et soit $\mu$ une fonction d'ensemble positive pouvant prendre la valeur $+\infty$.\\
On dira qu'une telle fonction est additive ssi :\\
1. $\mu(\emptyset)=0$\\
2. Si $F,G \in \cF$ et si $F\cap G=\emptyset$ alors $\mu (F\cup G)=\mu(F)+\mu(G)$.\\
On dira qu'elle est $\s$-additive (ou dénombrablement additive) ssi :\\
1. $\mu(\emptyset)=0$.\\
2. Pour toute suite d'éléments disjoints $F_n \in \cF$ tels que $\cup_n F_n \in \cF$, $\mu(\cup_n F_n)=\sum_{n} \mu(F_n)$.\\
\end{deff}

\begin{remf}
Attention à la définition donnée ici. Il est important de noter que $\mu$ est définie sur une algèbre et qu'à priori, une réunion dénombrable d'éléments de $\cF$ n'est pas obligatoirement dans $\cF$. D'autre part, on a bien sûr que toute fonction d'ensemble positive dénombrablement additive est additive. Enfin, il est aisé de montrer que $\mu$ est dénombrablement additive ssi 1) est vérifiée et si pour toute suite croissante $(F_n)_n$ d'éléments de $\cF$ telle que $F=\cup_n F_n \in \cF$, $\mu(F)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mu (F_n)$.
\end{remf}

\begin{deff}
Soit $(\O,\cF)$ un espace mesurable. Une application $\mu$ de $\cF$ dans $[0,+\infty]$ est appelée mesure sur $(\O,\cF)$ ssi $\mu$ est dénombrablement additive. Le triplet $(\O,\cF,\mu)$ est appelé un espace de mesure (ou espace mesur\'e).\\
On dira que la mesure $\mu$ est finie (ou de masse finie) ssi $\mu(\O)<+\infty$.\\
On dira qu'elle est $\s$-finie ssi il existe une suite $(\O_n)_n$ d'ensembles mesurables tels que $\mu(\O_n)<+\infty$ et $\O=\cup_n \O_n$.\\
On appelera probabilité toute mesure $\mu$ de masse $\mu(\O)$ égale à $1$. $(\O,\cF,\mu)$ est alors appelé un espace probabilisé.
\end{deff}

\subsection{Complétion d'un espace mesuré}
Soit $(\O, \cF,\mu)$ un espace mesuré. On définit $\cN$ la classe des ensembles négligeables de $\O$ par :
$$N\in \cN \mbox{\; ssi \;} \exists Z\in \cF, \; \mu(Z)=0 \; \mbox{et \;} N\subset Z$$
On définit alors $\cF^*$ la classe des parties $F$ de $\O$ telles qu'il existe $E,G \in \cF, \; E\subset F \subset G$ et $\mu(G\backslash E)=0$. Il est assez facile de voir que $\cF^*$ est effectivement une tribu qui plus est engendrée par $\cF$ et $\cN$. De plus, les ensembles négligeables obtenus à partir de $\cF^*$ sont les mêmes que ceux obtenus à partir de $\cF$.\\
Sur $\cF^*$, on définit alors une fonction $\mu^*$ par $\mu^*(F)=\mu(E)=\mu(G)$ (remarquer que cette définition a bien un sens). Il n'est alors pas difficile de montrer que $(\O,\cF^*,\mu^*)$ est un espace mesuré qui ``étend'' l'espace mesuré de départ. On l'appelle la complétion de $(\O,\cF,\mu)$. En particulier, la tribu complétée $\cB(\RR)$ pour $\l$, la mesure de Lebesgue (cf après), est appelée la tribu des Lebesguiens. En ce qui nous concerne, nous n'aurons pratiquement jamais à travailler avec la tribu des Lebesguiens et on se contentera des Boréliens...\\

\subsection{Evénements}
Soit $(\O,\cF,\PP)$ un espace probabilisé. Les éléments de $\cF$ sont appelés les \textit{événements}. Une propriété $\cP(\o)$dépendant de $\o \in \O$ sera dite vraie presque sûrement (notée p.s.) ssi l'ensemble (non nécessairement mesurable) $\{\o \in \O; \cP (\o) \mbox{ fausse } \}$ est un ensemble négligeable. On utilisera fréquemment dans la suite les deux événements asymptotiques d\'efinis de la mani\`ere suivante. Soit $E_n$ une suite d'événements. Les événements $\limsup E_n$ et $\liminf E_n$ sont donn\'es par :
$$\limsup E_n =\cap_{n}\cup_{k\geq n}E_k=\{\mbox{$E_n$ ont lieu infiniment souvent}\}$$
$$\liminf E_n =\cup_{n}\cap_{k\geq n}E_k=\{\mbox{$E_n$ ont toujours lieu sauf un nombre fini de fois}\}$$

\subsection{Probl\`eme pos\'e}
Le problème posé est le suivant et est bien illustré par le cas de la mesure de Lebesgue. On cherche à définir une mesure $\l$ sur $(\RR,\cB(\RR))$ telle que pour tous réels $a<b$, $\l((a,b))=b-a$. Première question : existe-t-il une telle mesure? Si oui, est-elle unique ? La réponse à la première question est apportée par le théorème de Carathéodory, la r\'eponse \`a la deuxi\`eme par le lemme de Dynkin.



\section{Unicité des extensions}

\begin{propf} (d'unicit\'e des prolongements de mesures)\\
Soit $\O$ un ensemble muni d'un $\pi$-système $\cP$ et soit $\cF=\s(\cP)$. Supposons que l'on ait deux mesures $\mu_1$ et $\mu_2$ sur $\cF$ de même masse finie, $\mu_1(\O)=\mu_2(\O)$, qui coïncident sur $\cP$. Alors
$$\mu_1=\mu_2$$
\end{propf}

\begin{demo}
On définit la classe $\cD=\{F\in \cF; \mu_1(F)=\mu_2(F)\}$. Il est facile de voir que c'est un $\l$-système donc par le théorème de Dynkin, $\cD$ contient $\cF$. On remarquera que l'on a utilisé le fait que les deux mesures étaient de même masse pour montrer que $\O\in \cD$ et que les masses étaient finies pour montrer que $\cD$ était stable par différence propre.
\end{demo}

Comme corollaire, on obtient que deux probabilités qui coïncident sur un $\pi$-système coïncident aussi sur la tribu qu'engendre ce $\pi$-système.

\section{Théorème de Carathéodory}
\begin{thf} (Carathéodory)\\
Soit $\O$ un ensemble muni d'une algèbre $\cF_0$ et soit $\cF$ la tribu engendrée par cette algèbre. Si $\mu_0$ est une appliction dénombrablement additive $\mu_0 : \cF_0 \rightarrow [0;+\infty]$ alors il existe une mesure $\mu$ sur $(\O,\cF)$ telle que
$$\mu=\mu_0 \mbox{ sur } \cF_0$$
Si $\mu_0 (\O)<+\infty$ alors cette extension est unique.
\end{thf}

L'unicité a été traitée dans la section précédente. Avant de passer à la preuve de ce théorème, examinons d'un peu plus près le cas de la mesure de Lebesgue sur $(0,1]$. On définit la classe $\cF_0$ des sous ensembles $F$ de $(0,1]$ qui peuvent se mettre sous la forme :
$$F=(a_1,b_1]\cup\ldots\cup(a_r,b_r]$$
avec $r\in \NN$ et $0\leq a_1\leq \ldots \leq a_r\leq b_r\leq 1$. On montre facilement que $\cF_0$ est une algèbre et que la tribu qu'elle engendre est la tribu des boréliens sur $(0,1]$. Sur $\cF_0$, on définit l'application $\lambda$ par
$$\l (F)=\sum_{k=1}^{r}(b_k -a_k)$$
si $F$ s'écrit sous la forme donn\'ee ci-dessus. Il faut bien entendu vérifier que cette définition est cohérente (i.e. ne dépend pas de l'écriture de $F$ choisie). On démontre alors, et ce n'est pas totalement triviale, que $\l$ est $\s$-additive sur $\cF_0$. Par le théorème d'extension de Carathéodory, $\l$ s'étend en une mesure encore notée $\l$ et appelée \textit{mesure de Lebesgue} sur $((0,1],\cB((0,1]))$.\\

Passons maintenant à la preuve du théorème de Carathéodory.\\
\begin{demo}
Nous n'indiquerons que les principales étapes, les détails étant parfaitement expliqués dans le Williams.\\

\noindent
\textbf{Etape 1 : } Soit $\cG=\cP(\O)$ la tribu composée de toutes les parties de $\O$. Pour un $G\in \cG$, on définit
$$\l (G)=\inf \left\{\sum_n \mu_0 (F_n)\right\}$$
où l'infimum est pris sur toutes les suites $(F_n)_n$ d'éléments de $\cF_0$ qui recouvrent $\G$, i.e. $G\subset \cup_n F_n$. $\l$ n'est pas une mesure mais est ce que l'on appelle (improprement) une ``\textit{mesure exterieure}'', c'est-à-dire qu'elle jouit des propriétés suivantes :\\

\noindent
a) $\l(\emptyset)=0$.\\
b) $\l$ est croissante : $G_1 \subset G_2 \Rightarrow \l(G_1) \leq \l(G_2)$.\\
c) $\l$ est dénombrablement sous-additive : si $(G_k)_k$ est une suite d'éléments de $\cG$ alors
$$\l \left(\cup_k G_k\right)\leq \sum_k \l (G_k)$$
Seule c) mérite d'être expliquée. Soit $(G_n)_n$ une suite supposée telle que pour chaque $n$, $\l(G_n)<+\infty$ (sinon c'est trivial). On se donne $\e>0$ et pour chaque $n$, on se donne une suite d'éléments $(F_{n,k})_k$ de $\cF_0$ pour lesquels
$$G_n \subset \cup_k F_{n,k} \; \; , \; \; \sum_{k} \mu_{0}(F_{n,k})\leq \l (G_n)+\e 2^{-n}$$
Alors $G\subset \cup_{n,k} F_{n,k}$ et on a :
$$\l (G) \leq \sum_{n,k} \mu_0 (F_{n,k}) \leq \sum_{n} \l (G_n) +\e$$
Puisque $\e$ est arbitraire, en le faisant tendre vers $0$, on obtient c).\\
\textbf{Etape 2 : } On introduit alors la notion de $\l$-ensembles. Un élément $L$ de $\cG$ est appelé un $\l$-ensemble ssi ``il décompose tout élément de $\cG$ proprement'', c'est-à-dire :
$$\l (L\cap G)+\l (L^{c} \cap G)=\l(G), \; \; \forall G \in \cG$$
\begin{lemf}
Les $\l$-ensembles forment une tribu $\cL$ sur laquelle $\l$ est dénombrablement additive si bien que $(\O,\cL, \l)$ est un espace mesuré.
\end{lemf}
\begin{demo} (du lemme). On commence par montrer que $\cL$ est une algèbre qui jouit de la propriété suivante :\\
si $L_1,L_2,\ldots,L_n$ sont des éléments de $\cL$ disjoints et $G\in \cG$ une partie quelconque de $\O$ alors
$$\l\left(\cup_{k=1}^{n} (L_k \cap G)\right)=\sum_{k=1}^{n}\l (L_k \cap G) \; \; \; (*)$$
Nous admettons ceci et nous avons donc à démontrer que si $L_k$ est une suite d'éléments disjoints de $\cL$ et $L=\cup_k L_k$ alors $L\in \cL$ (cf. la remarque après la définition de la notion de tribu) et de plus
$$\l (L)=\sum_{k} \l (L_k)$$
Par sous-additivité de $\l$, pour $G\in \cG$, on a
$$\l(G)\leq \l (L\cap G) +\l (L^c\cap G)$$
Passons maintenant à l'inégalité inverse. Soit $M_n =\cup_{k\leq n} L_k$. Puisque $\cL$ est une algèbre (cf ce qui précède et qui est admis), $M_n \in \cL$ donc
$$\l (G)=\l (M_n\cap G) +\l (M_n^c \cap G)$$
Or $L^c \subset M_n^c$ si bien que
$$\l(G)\geq \l (M_n \cap G) + \l (L^c \cap G)$$
et par (*),
$$\l (G)\geq \sum_{k=1}^{n} \l (L_k \cap G) + \l (L^c \cap G)$$
Par passage à la limite quand $n \rightarrow +\infty$, on obtient
$$\l(G)\geq \sum_{k=1}^{\infty} \l (L_k \cap G) + \l (L^c \cap G)\geq \l (L\cap G)+\l (L^c \cap G)$$
la deuxième inégalité étant une conséquence de la sous-additivité de $\l$. On en déduit que $L \in \cL$. D'autre part, puisque la dernière inégalité est en fait une égalité, on voit qu'il en est de même des autres et que finalement
$$\l (L \cap G)=\sum_k \l (L_k \cap G)$$
Il suffit maintenant de prendre $G=\O$ pour conclure.
\end{demo}
Il nous reste à voir que $\cF_0 \subset \cL$ et $\l=\mu_0$ sur $\cF_0$ pour achever la preuve du théorème.\\

\noindent
\textbf{Etape 3 : } Preuve que $\l=\mu_0$ sur $\cF_0$.\\
Soit $F \in \cF_0$. On a bien entendu $\l (F) \leq \mu_0 (F)$. Supposons maintenant que $F \subset \cup_{n} F_n$ où $F_n \in \cF_0$. On définit une suite $(E_n)_n$ d'éléments de $\cF_0$ disjoints par :
$$E_1=F_1, \; \; E_n=F_n\cap \left(\cup_{k<n}F_k\right)^c$$
si bien que $E_n\subset F_n$ et $F \subset \cup_n F_n =\cup_n E_n$. En utilisant la $\s$-additivité de $\mu_0$ sur $\cF_0$, on a
$$\mu_0 (F)=\mu_0 (\cup_{n} (F\cap E_n) )=\sum_{n} \mu_0 (F\cap E_n)$$
Donc
$$\mu_0 (F)\leq \sum_n \mu_0 (E_n) \leq \sum_n \mu_0 (F_n)$$
si bien que $\l (F) \geq \mu_0 (F)$ ce qui conclut la troisième étape.\\

\noindent
\textbf{Etape 4 : } Preuve de $\cF_0 \subset \cL$.\\
Il nous faut voir que si $E$ est un élément de $\cF_0$ alors $E$ décompose proprement les éléments de $\cG$. Soit donc $G\in \cG$ et soit pour $\e>0$ quelconque une suite $(F_n)_n$ d'éléments de $\cF_0$ tels que $G \subset \cup_n F_n$ et
$$\sum_{n} \mu_0 (F_n) \leq \l(G) + \e$$
Par définition de $\l$,
\begin{eqnarray*}
\sum_{n} \mu_{0} (F_n)&=& \sum_{n} \mu_{0}(E\cap F_n) +\sum_{n} \mu_{0}(E^c \cap F_n)\\
&\geq& \l (E\cap G) +\l (E^c \cap G)
\end{eqnarray*}
car $E\cap G \subset \cup (E\cap F_n)$ et $E^c \cap G \subset \cup (E^c \cap F_n)$. Puisque $\e$ est aussi petit que l'on veut,
$$\l (G) \geq \l (E \cap G)+\l (E^c \cap G)$$
Puisque $\l$ est sous-additive,
$$\l (G)\leq \l (E\cap G) + \l (E^c \cap G)$$
Donc $E$ est un $\l$-ensemble.
\end{demo}

\section{Mesures complexes}

Dans cette section, nous donnons un r\'esum\'e de ce que l'on trouve dans le chapitre $6$ du Rudin concernant les mesures complexes. $(\O,\cF)$ est toujours un espace mesurable.\\
Une mesure complexe $\mu$ sur $\cF$ est une application de $\cF$ dans $\CC$ telle que $\mu(\emptyset)=0$ et pour tout $A\in \cF$ et toute partition mesurable d\'enombrable $(A_i)_i$ de $A$, on ait
$$\mu (A)=\sum_i \mu(A_i)$$
On d\'efinit alors la variation totale de $\mu$ par
$$|\mu| (A)=\sup \sum_i |\mu (A_i)|$$
o\`u le supremum est pris sur toutes les partitions d\'enombrables mesurables de $A$.

\begin{thf}
La variation totale $|\mu|$ d'une mesure complexe $\mu$ sur $\cF$ est une mesure positive de masse finie sur $\cF$.
\end{thf}

Il est d'autre part facile de voir que l'ensemble des mesures complexes sur $\cF$ forme un espace vectoriel (on d\'efinira sans peine ce qu'est la somme de deux mesures complexes et la multiplication par un complexe d'une mesure complexe). La notion de variation totale d'une mesure permet de d\'efinir une norme sur cet espace vectoriel : la norme d'une mesure complexe $\mu$ est donn\'ee par $\|\mu\|=|\mu|(\O)<+\infty$. On obtient donc une structure d'espace vectoriel norm\'e.\\

Dans le cas o\`u l'on s'int\'eresse uniquement aux mesures complexes \`a valeurs dans $\RR$, on parle de \textit{mesures sign\'ees}. On d\'efinit la variation totale d'une mesure sign\'ee comme pr\'ecedemment puis on d\'efinit respectivement les variations positives et n\'egatives de $\mu$ par :
$$\mu^+ = \cfrac{1}{2}(|\mu|+\m), \; \; \m^- = \cfrac{1}{2}(|\m|-\m)$$
Ce sont des mesures positives de masses finies telles que
$$\m = \m^+ - \m^-$$
On appelle cette d\'ecomposition la d\'ecomposition de Jordan de $\m$. On a en fait une propri\'et\'e de minimalit\'e de ces mesures.

\begin{propf}
Si $\mu$ est une mesure sign\'ee qui s'\'ecrit $\mu=\l_1 - \l_2$ o\`u $\l_1 ,\l_2$ sont deux mesures positives alors $\l_1 \geq \m^+$ et $\l_2 \geq \m^-$.
\end{propf}

Cette propri\'et\'e d\'ecoule du th\'eor\`eme de d\'ecomposition de Hahn qui dit que $\mu^+$ et $\mu^-$ ont leurs masses respectivement concentr\'ees sur $A\in \cF$ et $B\in \cF$ tels que $A\cap B=\emptyset$ et $A\cup B=\O$. Ce th\'eor\`eme est lui-m\^eme une cons\'equence du th\'eor\`eme de Radon-Nykodym.\\

\section{Mesures de Borel}


Pour cette section, on se reportera au chapitre $2$ du Rudin. On suppose ici que $\O$ est un espace topologique s\'epar\'e localement compact et $\cF$ est la tribu des bor\'eliens sur $\Omega$.

\begin{deff}
Une mesure (complexe ou positive) $\mu$ d\'efinie sur la tribu des bor\'eliens $\cF$ d'un espace $\O$ s\'epar\'e localement compact est appel\'ee une mesure bor\'elienne sur $\O$.
\end{deff}

Une mesure de Borel positive sera dite r\'eguli\`ere si elle satisfait :\\
\noindent
1. $\forall E\in \cF, \mu (E)=\inf\left\{\mu(V); \; E\subset V,\; V \mbox{ ouvert }\right\}$.\\
2. $\forall E\in \cF \mbox{ tel que } \m (E)<+\infty, \mu (E)=\inf\left\{\mu(K); \; K\subset E,\; K \mbox{ compact }\right\}$.\\

On dira de m\^eme d'une mesure complexe qu'elle est r\'eguli\`ere si sa variation totale $|\m|$ qui est une mesure positive est r\'eguli\`ere.\\

On \'enonce maintenant le th\'eor\`eme de repr\'esentation de Riesz tel qu'on le trouve dans le Rudin dans le chapitre sur les mesures complexes et le chapitre sur les mesures de Borel positive. Il est relativement g\'en\'eral. Sa d\'emonstration n\'ecessite des pr\'eliminaires topologiques longs. Ce th\'eor\`eme anticipe sur la suite puisqu'il fait appel \`a la notion d'int\'egrale relativement \`a une mesure mais on supposera que le lecteur est familier avec la th\'eorie de l'int\'egration relativement \`a une mesure complexe ou tout du moins relativement \`a une mesure sign\'ee.\\

On note $C_{c}$ l'espace des fonctions continues sur $\O$ \`a support compact et $C_0$ l'espace des fonctions de $\O$ dans $\CC$ s'annulant \`a l'infini que l'on munit de la norme uniforme. $C_{c}$ est dense dans $C_{0}$ pour la norme uniforme. Le th\'eor\`eme de repr\'esentation de Riesz caract\'erise toutes les formes lin\'eires positives (non necessairement born\'ees) et les formes lin\'eaires born\'ees sur $C_{c}$ muni de la topologie de la convergence uniforme. Bien entendu, toute forme lin\'eaire born\'ee sur $C_c$ se prolonge de mani\`ere unique en une forme lin\'eaire continue sur $C_{0}$.\\

\begin{thf} (de repr\'esentation de Riesz)\\
1. Soit $\Phi$ une forme lin\'eaire positive sur $C_{c}$.  Il existe une unique mesure positive  bor\'elienne r\'eguli\`ere $\mu$ sur $(\O,{\cal F})$ telle que
$$\Phi (f)=\int_{\O} f d\mu, \; \; \; (f\in C_c)$$
\noindent
2. Soit $\Phi$ une forme lin\'eaire born\'ee sur $C_0$. Il existe une unique mesure de Borel $\m$ complexe r\'eguli\`ere telle que
$$\Phi (f)=\int_{\O} f d\mu, \; \; \; (f\in C_0)$$
De plus, $\|\Phi\|=|\m|(\O)$
\end{thf}

\section{Absolue continuit\'e}

L\`a aussi, nous anticipons en supposant connue la notion d'int\'egrale relativement \`a une mesure. $(\O,\cF)$ est un espace mesurable quelconque.\\

\begin{deff}
Soit $\m$ une mesure positive sur $\cF$ et $\l$ une mesure quelconque sur $\cF$, positive ou complexe. On dit que $\l$ est absolument continue par rapport \`a $\m$ et on note $\l \ll \mu$ si
$$\m (E)=0 \Longrightarrow \l (E)=0$$
\end{deff}

\noindent
A l'oppos\'e de cette notion existe celle de mesures mutuellement singuli\`eres.\\

\begin{deff}
Soit $\l$ et $\m$ deux mesures quelconques (positives ou complexes). On dit qu'elles sont mutuellement singuli\`eres (et on note $\l \perp \m$)  s'il existe deux ensembles mesurables disjoints $A$ et $B$ tels que pour tout $E\in \cF$,
$$\l (E)=\l (E\cap A), \; \mbox{ et } \; \m (E)=\m (E \cap B)$$
\end{deff}

On a le th\'eor\`eme de Radon-Nikodym, dont une partie de la preuve peut \^etre d\'emontr\'e via les martingales (voir TD).\\

\begin{thf}
Soit $\l$ et $\mu$ deux mesures positives born\'ees sur la tribu $\cF$.\\
1. Il existe un couple unique de mesures $\l_a$ et $\l_s$ tel que
$$\l = \l_a + \l_s, \; \l_a \ll \m, \; \l_s \perp \m$$
2. Ces mesures sont positives born\'ees et $\l_a \perp \l_s$.\\
3. Il existe un unique $h \in \LL^{1} (\m)$ tel que
$$d\l_a =h d\m$$
Le couple $(\l_a, \l_s)$ s'appelle la d\'ecomposition de Lebesgue de $\l$ relativement \`a $\m$.
\end{thf}

\noindent
L'id\'ee de la preuve de ce th\'eor\`eme repose essentiellement sur le th\'eor\`eme de repr\'esentation de Riesz des applications lin\'eaires continues dans les espaces de Hilbert. La preuve n'est pas tr\`es longue.\\
Le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent reste encore vrai dans le cas d'une mesure $\mu$ positive $\s$-finie et d'une mesure complexe (donc born\'ee). Dans le cas enfin $\l,\m$ positives et $\s$-finies, la majeure partie du th\'eor\`eme reste valable mais maintenant, $h\notin \LL^{1} (\mu)$ mais seulement \`a $\LL^{1}_{loc} (\mu)$. En revanche, s'il n'y a plus d'hypoth\`es de $\s$-finitude, on ne peut plus rien dire (cf. Rudin pour un contre exemple).



























