 \section{TD Probabilit\'es : Optimisation d'une vente ($\cite{GS}$ p. 511)}

Un \'etudiant ayant brillament  r\'eussi l'agr\'egation d\'esire se
d\'ebarasser de son Williams en en tirant le maximum de profit. Pour
cela, il ouvre le Grimmett et cherche si il n'y aurait pas moyen
d'optimiser cette vente. Toutes les semaines, il passe donc une
annonce dans ``La Sauce'' o\`u il propose de le vendre. Il sait que
chaque semaine, il lui sera fait une offre dont le prix est
mod\'elis\'e par une variable al\'eatoire $X_{n}$ ($n$ pour indiquer
que c'est la $n$-ème semaine). On supposera les $(X_{n})_{n}$ i.i.d.
ayant une fonction de densit\'e $f$ et une moyenne finie $p>0$.
D'autre part, le fait de stocker ce livre sacr\'e l'oblige \`a louer
une pi\`ece dans laquelle il l'entrepose et qui lui co\^ute chaque
semaine un prix constant $c$. On supposera de plus que notre petit
agr\'eg\'e, en bon petit \'epargnant qu'il est, place son argent
d\`es qu'il en a sur un compte avec un taux d'int\'er\^et par
semaine constant \'egal \`a
$\alpha$.\\

\quest 1) Expliquer pourquoi il est raisonnable de vendre le livre la semaine $T$ o\`u $T$ est un temps d'arr\^et (par rapport \`a la filtration naturelle asssoci\'ee aux $X_{i}$) qui maximise :
\begin{equation*}
\label{max}
\mu(T)=\E\left((1+\alpha)^{-T}X_{T}-\sum_{n=1}^{T}(1+\alpha)^{-n}c \right)
\end{equation*}


\dsolution{} Si l'\'etudiant avait vendu son livre d\`es
l'agr\'egation en poche, il aurait \`a la date $n$ empoch\'e,
gr\^ace \`a l'\'epargne, une somme \'egale \`a
$X_{0}(1+\alpha)^{n}$. Supposons maintenant qu'il ait attendu pour
le vendre la date $n$ : la premi\`ere semaine, il aura non
seulement perdu le prix de la location de la pi\`ece mais aussi
l'int\'er\^et qu'il aurait pu gagner en \'epargnant cet argent
soit $c(1+\alpha)$; au bout de la deuxi\`eme semaine, il aura de
la m\^eme mani\`ere perdu $c(1+\alpha)$ mais aussi l'argent de la
premi\`ere semaine qu'il aurait plac\'e depuis le d\'ebut et qui
lui aurait donc rapport\'e $c(1+\alpha)^2$;... et finalement \`a
la semaine $n$, (vu qu'il ne louera pas la pi\`ece cette semaine),
tout se passe comme s'il avait perdu
$\sum_{k=0}^{n-1}c(1+\alpha)^{k}$. D'un autre c\^ot\'e, il aura
gagn\'e $X_n$. Pour estimer quantitativement l'int\'er\^et de
vendre au temps $n$ plut\^ot qu'au temps $0$, on calcule   le
b\'en\'efice fait au temps $n$ si la vente s'est faite au temps
$n$.  Mais ce bénéfice n'est exercé qu'au temps $n$. Pour comparer
les différentes opérations possibles, les bénéfices sont
actualisés au temps 0, à savoir que gagner la quantité $C$ au
temps $n$ représente une valeur actualisée au temps 0 de
$(1+\alpha)^{-n}C$. C'est en effet ce dernier capital qui rendrait
$C$ au temps $n$ pour un taux constant de $\alpha$. La valeur
actualisée à   maximiser est donc
$$\cfrac{X_{n}+\sum_{k=0}^{n-1}c(1+\alpha)^{k}}{(1+\alpha)^n}=
(1+\alpha)^{-n}X_n -\sum_{k=1}^{n}(1+\alpha)^{-k}c.$$
\fsolution\\

\quest 2) On pose $Z_{n}=X_{n}+c/\alpha$. Montrer qu'il existe un unique $\gamma$ ayant la propri\'et\'e
$$\alpha\gamma=\int_{\gamma}^{\infty}\Pro(Z_{n}>y)dy$$
\dsolution{}
La fonction $h:\gamma \rightarrow \alpha\gamma-\int_{\gamma}^{\infty}\Pro(Z_{n}>y)dy\;$ est continue et strictement croissante avec $h(0)=-\E(Z_{n})$ (calcul classique consistant \`a \'ecrire $\Pro(Z_{n}>y)=\E(1_{Z_{n}>y})$ et \`a utiliser Fubini). Donc $h(0)<0$ puisque les $X_{i}$ sont positives. D'autre part, $h$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ (puisque toujours en utilisant Fubini, $\int_{\gamma}^{\infty}\Pro(Z_{n}>y)dy=\E((Z_{n}-\gamma)^{+})$). Le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires permet de conclure.
\fsolution\\

Remarquer que tout revient maintenant avec ces notations \`a
maximiser sur les temps d'arr\^et finis (on suppose que l'on veut
absolument vendre le Williams) la quantit\'e
$$\E\left\{(1+\alpha)^{-T}Z_{T}\right\}$$ Cette quantit\'e a
toujours un sens d\`es que $T$ est fini (mais elle peut-\^etre
infinie a priori).\\

\dsolution{} On a
$$(1+\alpha)^{-T}X_T-\sum_{k=1}^T(1+\alpha)^{-k}c=
(1+\alpha)^{-T}(X_T+\frac c\alpha) -\frac c\alpha.$$ Donc
$$\mu(T)=E((1+\alpha)^{-T}(X_T+\frac c\alpha))-\frac c\alpha=E(Z_T(1+\alpha)^{-T})-
\frac c\alpha.$$

\fsolution

\quest 3)
Montrer que $(V_{n})_{n}$ d\'efinie par
$V_{n}=(1+\alpha)^{-n}\sup(Z_{n},\gamma)$ est une surmartingale.\\

\dsolution{}

\quest Remarquons que les $(V_n)_{n}$ sont indépendantes et qu'il
suffit donc de prouver que les $V_{n}$ v\'erifient
$\E(V_{n+1})\leq V_{n}$. Or
$\E(\sup(Z_n,\gamma))=\gamma+\int_{\gamma}^{\infty}\Pro(Z_{n}>y)dy$
(toujours Fubini), ce qui est \'egal par choix de $\gamma$ \`a
$(1+\alpha)\gamma$.  Donc $E(V_n)=(1+\alpha)^{-n+1}\gamma$ qui est
bien décroissante avec $n$. Détail du calcul :
$$\gamma+\int_\gamma^{+\infty}\Pro(Z_n>y)dy=
\gamma+\int_\gamma^{+\infty}\E\indic_{Z_n>y}dy=$$
$$
\gamma+\E\int_{\gamma}^{+\infty}\indic_{Z_n>y}dy=\gamma+\E(Z_n-\gamma)^+=
\E\sup(Z_n,\gamma).$$
\fsolution\\

\quest 4) Remarquer que $\frac c\alpha$ est le coût du loyer
jusqu'à la fin des temps. Une strat\'egie sera dite bonne si elle
consiste \`a prendre un prix d\'eterministe fix\'e $\tau$ dans le
support de $Z_{1}$ (c'est-\`a-dire $\tau-c/\alpha$ dans le support
de $X_{1}$) et prendre pour $T_{\tau}$ le temps d'arr\^et qui
consiste \`a vendre d\`es que le prix offert d\'epasse
$\tau-c/\alpha$ (on suppose $\tau\geq c/\alpha$), c'est-\`a-dire
d\`es que $Z_{n}$ d\'epasse $\tau$. Trouver le $\tau$ pour lequel
parmi toutes les bonnes
strat\'egies, $\mu(T_{\tau})$ est maximal.\\

\dsolution{}
\quest Soit $G$ la fonction de r\'epartition des $Z_{n}$. Par d\'efinition de $T_{\tau}$ et puisque les $X_{i}$ sont i.i.d. la loi de $T_{\tau}$ est donn\'ee par :
$$\Pro(T=n)=G(\tau)^{n}(1-G(\tau))$$
(ne pas oublier que l'on commence \`a la semaine $0$ et $\{T=n\}=\{Z_{0}\leq\tau,\ldots, Z_{n-1}\leq\tau, Z_{n}>\tau\}$)
Remarquer que $T$ n'est jamais infini car $\tau$ a \'et\'e pris dans le support de $Z_{1}$ si bien que $G(\tau)\neq 1$.
\begin{eqnarray*}
\mu(T_{\tau})+c/\alpha
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\E\left((1+\alpha)^{-T}Z_{T}\indic_{T=n}\right)\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}(1+\alpha)^{-n}\E\left(Z_{n}\indic_{Z_{n}>\tau}
\indic_{\{Z_{0}\leq\tau,\ldots,Z_{n-1}\leq\tau\}}\right)\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}(1+\alpha)^{-n}\E\left(Z_{n}\indic_{\{Z_{n}>\tau\}}\right)\Pro(Z_{0}\leq \tau)\ldots\Pro(Z_{n-1}\leq \tau)\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}(1+\alpha)^{-n}G(\tau)^{n} \E\left(Z_{1}
\indic_{\{Z_{1}>\tau\}}\right)\\
&=&\cfrac{1+\alpha}{1+\alpha-G(\tau)}
\left\{\tau(1-G(\tau))+\int_{\tau}^{\infty}(1-G(y))dy\right\}(=\varphi(\tau)).
\end{eqnarray*}
La derni\`ere \'egalit\'e r\'esulte une fois de plus de
l'utilisation de Fubini en \'ecrivant :
$$\E(Z_{1}1_{\{Z_{1}>\tau\}})=\E\left(\int_{0}^{\infty}(1_{y<Z_{1}}1_{\tau<Z_{1}})dy\right)$$
En effet
$$\E(Z_1\indic_{Z_1>\tau})=
\E(\sup(Z_1,\tau))-\tau\Pro(Z_1\leq\tau)=$$
$$
\tau+\int_{\tau}^{+\infty}\Pro(z_1>y)dy-\tau\Pro(z_1\leq \tau)=
\tau(1-G(\tau))+\int_\tau^{+\infty}(1-G(y))dy.$$

La fonction $\varphi(\tau)$ malgr\'e son aspect repoussant
s'\'etudie bien.  On pose $G^{'}=f$. On a
$$\varphi'(\tau)=\frac{1+\alpha}{(1+\alpha-G(\tau))^2}f(\tau)
(\tau(1-G(\tau))+\int_\tau^{+\infty}(1-G(y))dy)
+\frac{1+\alpha}{1+\alpha-G(\tau)}(1-G(\tau)-\tau
f(\tau)-1+G(\tau))=$$
$$\frac{1+\alpha}{(1+\alpha-G(\tau))^2}f(\tau)(\tau(1-G(\tau))+
\int_\tau^{+\infty}(1-G(y))dy-\tau(1+\alpha-G(\tau)))=$$
$$=-\frac{1+\alpha}{(1+\alpha-G(\tau))^2}f(\tau)h(\tau).$$
Le signe de la d\'eriv\'ee est le m\^eme que celui de
$-f(\tau)h(\tau)$, où $h$ est définie dans le 2),  et donc la
fonction est maximale pour $\tau=\gamma$. On a alors
$$\mu(T_{\gamma})=\gamma(1+\alpha)-c/\alpha. $$
En effet,
$$\frac c\alpha+\mu(T_\gamma)=\frac{1+\alpha}{1+\alpha-G(\gamma)}
(\gamma(1-G(\gamma))+\int_\gamma^{+\infty}\Pro(Z_1>y)dy)=$$
$$
\frac{1+\alpha}{1+\alpha-G(\gamma)}(\gamma(1-G(\gamma))+\alpha\gamma)=
\gamma(1+\alpha).$$ Donc $\mu(T_\gamma)=\gamma(1+\alpha)-\frac
c\alpha.$
\fsolution\\

\quest 5)
 Consid\'erer maintenant une strat\'egie quelconque telle que
 $T<+\infty$. Montrer  en utilisant le th\'eor\`eme de
 convergence des surmartingales UI que cette strat\'egie est moins
 bonne que la meilleure des bonnes strat\'egies et conclure.\\

\dsolution{} \quest Consid\'erons une strat\'egie g\'en\'erale
avec un temps d'arr\^et $T$ fini. On sait que $(V_{T\wedge
m})_{m}$, définie à la question  3), est une surmartingale et que
$\E(V_{T\wedge m})\leq \E(V_{0})=\gamma(1+\alpha)$ car $V$ est une
surmartingale arr\^et\'ee. Mais cette surmartingale arr\^et\'ee
est en fait UI car :
$$|V_{T\wedge m}|\leq \sum_{i=0}^{\infty}|V_{i}| \; , \sum_{i}\E(|V_{i}|)<+\infty$$
Donc $\lim_{m \rightarrow \infty}V_{T\wedge m}=V_{T}$ dans ${\cal L}^{1}$ d'o\`u :
$$\E(V_{T})\leq \E(V_{0})$$
Or $\mu(T)\leq \E(V_{T})-c/\alpha\leq \mu(T_{\gamma})$.\\
La strat\'egie de la question pr\'ec\'edente est donc la meilleure.
\fsolution\\
