Ce td est issu du chapitre 1 de $\cite{KL}$. Il pourra servir à illustrer les leçons concernant la loi des grands nombres et le théorème limite central, les variables de Poisson et la transformée de Laplace.\\

Dans ce qui suit, nous modéliserons un fluide par un ensemble de particules indistingables qui évoluent de manière aléatoire et indépendante. Cette description est donc en premier lieu microscopique. Un état d'équilibre est un état statistique, c'est-à-dire décrit par une probabilité sur l'espace des phases des particules constituant le fluide. Dans l'étude des systèmes thermodynamiques hors équilibre (c'est-à-dire que les particules ne sont pas distribuées selon une mesure d'équilibre), une hypothèse fondamentale appelée l'hypothèse de l'équilibre local est souvent admise. Celle-ci consiste à supposer qu'à chaque instant $t$, on peut diviser le système étudié, qui dans son ensemble est hors équilibre, en ``cellules'' de taille intermédiaire - assez petites pour que les propriétés thermodynamiques du système y varient peu, mais assez grandes pour pouvoir être traitées comme des sous-systèmes thermodynamiques en contact avec leur environnement. On peut alors définir des grandeurs thermodynamiques locales, uniformes à l'interieur de chaque cellule, mais variant d'une cellule à l'autre. Notre fluide ne sera décrit au niveau macroscopique que par une seule variable thermodynamique, la densité de particules. D'autre part, à chaque valeur de la densité correspondra un équilibre. Partant d'une densité non uniforme (dans l'espace) sur ce système, on s'attend à ce qu'au cours du temps, la densité varie. Il faut en fait pour comprendre le concept d'équilibre local introduire deux échelles de temps distinctes. Le premier, et le plus petit de ceux-ci, est la durée (moyenne) d'une collision $\tau_0$. Le deuxième temps, beaucoup plus grand est le temps de ralaxation vers un équilibre local $\tau_R \gg \tau_0$. Celui-ci est en effet le résultat de très nombreuses collisions. Pour que l'hypothèse d'équilibre local soit valide, il faut donc que $\tau_0 \ll \tau_R$. Nous verrons dans la suite comment cette hypothèse apparaît naturellement et nous démontrerons (dans un cas très simple) l'hypothèse d'équilibre local.\\
 Si l'on veut faire rentrer le modèle proposé dans les thèmes du programme, on pourra toujours assimiler les particules à des individus, des bactéries où des paquets d'informations qui transitent d'un site à un autre... 


On utilisera les notations suivantes. Pour $N\geq 1$, $\mathbb T_N=(\ZZ/N\ZZ)$ est le tore à $N$ points, $\mathbb T_N^d=(\mathbb T_N)^d$ le tore à $N$ points $d$-dimensionnel et $\mathbb T^d$ le tore $d$-dimensionnel $[0,1)^d$. On se fixe une probabilité de transition $p$ sur $\ZZ^d$ à support fini et supposée de moyenne $m=\sum_{x\in \ZZ^d} p(x) x \neq 0$ (tout ce qui suit peut être établi avec $m=0$ mais le résultat obtenu est alors sans intérêt).\\

\section{Marche aléatoires à temps continu}

Une manière conventionnnelle de se représenter une marches aléatoire à temps continu sur $\ZZ^d$ est de considérer une famille $(Y_{n})_{n\geq 0}$ de variables aléatoires indépendantes sur$\ZZ^d$ de loi $\{p(z)\}_{z \in \ZZ^d}$, un processus de Poisson indépendants $(N_t)_{t\geq 0}$ de paramètre $1$ et indépendant des $Y_{n}$ et enfin une variable aléatoire indépendante du reste de variables aléatoires $X_0$ représentant la position initiale de la marche aléatoires. Le processus $(X_t)_{t\geq 0}$ est alors donné par :
$$X_{t} =X_{0} +\sum_{k=1}^{N_t} Y_{k}$$

On note $p_t(x)$ la probabilité de transition de la marche aléatoire, définie par
$$p_t (x)=\PP_{0}(X_t =x)$$

Ici la notation $\PP_{z}$ désigne la loi de la marche aléatoire partant de $z$ (c'est-à-dire $X_0 =z$).\\

\quest 1) Montrer que 
$$p_t (x) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{-t} \cfrac{t^k}{k!} p^{\star k} (x)$$
où $p^{\star k}$ est le produit de convolution $k$-ième de $p$.\\

\quest 2) Le but de cette question est d'établir la loi (faible) des grands nombres pour les marches aléatoires à temps continu.On se propose donc de montrer que 
$$\lim_{t\rightarrow \infty}\cfrac{X_t}{t}=m \text{   p.s.}$$
\subquest a) Montrer que cette propriété impliquera que pour tout $\epsilon >0$, et tout $t>0$ fixé,
$$\lim_{N\rightarrow \infty} \PP\left[\left|\cfrac{X_{tN}}{N}-mt\right|\leq \epsilon\right]=1$$
\subquest b) Montrer que $\PP$ p.s. $\lim_{t\rightarrow +\infty} N_t=+\infty$.\\
\subquest c) En utilisant la loi des grands nombres, montrer que $\PP$ p.s.,
$$ \lim_{t\rightarrow \infty}\cfrac{N_t}{t}=1$$
\subquest d) Conclure par la loi des grands nombres.

\quest 3) On considère $N$ un entier fixé. Soit $(Z_t)_t$ une marche aléatoire partant de $z\in \ZZ^d$ de probabilité de transition $p$. Une marche aléatoire $(X_t)_t$ sur $\mathbb T^d_N$ est définie par
$$X_t = Z_t \; \text{mod} \; N$$
  
Montrer que pour une marche aléatoire $(X_t)_t$ sur le tore $\mathbb T_N^d$ partant de $0$, la probabilité de transition $p_t^N$ est donnée par
$$p_t^N (z)=\PP_0 (X_t = z)=\sum_{u\in \ZZ^d}p_t (z+Nu)$$ 

\section{Système de particules libres}

Le processus que l'on cherche à modéliser est un système de particules évoluant de manière indépendantes selon des marches aléatoires sur $\mathbb T_N^d$. Les particules sont supposées indistingables et seules leur localisation importe. La dynamique est construite de manière à conserver le nombre de particules mais rien ne nous empêche de considérer au départ un nombre aléatoire de particules.\\  
Soit donc $K$ une variable aléatoire à valeurs dans $\NN$. On se donne $(X^{i},\ldots,X^{n}_0,\ldots)_{n\geq 1}$ une suite de marches aléatoires indépendantes de $K$ à valeurs dans $\mathbb T_N^d$ de même probabilité de transition $p_t^N$.\\ 
Le processus $(\eta_t^K)_{t\geq 0}$ est alors défini par
$$\eta_t^K (x)=\sum_{i=1}^{K} \indic_{\{X_t^i=x\}}$$
L'espace des configurations (ou états) de ce processus est $\NN^{\mathbb T_N^d}$. A chaque instant $t$, et pour chaque site $x$ de $\mathbb T_N^d$, $\eta_t (x)$ est le nombre de particules situées sur le site $x$. Nous appelerons ce processus un système de particules libres sur le tore.\\

\quest 1) Montrer que la loi du nombre de particules $\sum_{x\in \mathbb T_N^d} \eta_t (x)$ est une constante dans le temps. \\

Ainsi, si initialement, on a un nombre déterministe $K$ de particules alors au temps $t$, on aura encore $K$ particules (la dynamique ne cconnaît ni création, ni destruction de particules).\\

\section{Mesures invariantes}

\begin{deff}
Pour une fonction $\rho : \mathbb T^d \rightarrow \RR_+$ lisse, on appelle mesure de Poisson sur $\NN^{\mathbb T_N^d}$ associée à la fonction $\rho$ la probabilité produit $\nu_{\rho}^N=\otimes_{x\in \mathbb T_N^d} \mu_x$ sur $\NN^{\mathbb T_N^d}$ telle que la marginale $\mu_x$ soit une loi de Poisson de paramètre $\rho(x/N)$.\\ 
Pour tout $\alpha>0$ fixé, on notera $\nu_\alpha$ la mesure produit sur $\NN^{\ZZ^d}$ dont les marginales sont des mesures de Poisson de paramètre $\alpha$.\\
\end{deff}

\quest 2) \subquest a) Montrer que la loi d'une variable aléatoire $\eta$ à valeurs dans $\NN^{\mathbb T_N^d}$ est caractérisée par sa transformée de Laplace multi-dimensionnel
$$L(\lambda)={\mathbb E}\left[\exp\left\{-\sum_{x\in \mathbb T_N^d}\lambda(x)\eta(x)\right\}\right]$$
où $\lambda :\mathbb T_N^d \rightarrow \RR_+$ fonction quelconque.\\

\subquest b) Montrer que l'on a la propriété suivante :\\

\begin{propf}
Si les particules sont initialement distribuées selon une mesure de Poisson associée à une fonction constante $\alpha>0$ alors au temps $t\geq 0$, elles sont distribuées selon la même mesure de Poisson associée à la fonction constante $\alpha$. Autrement dit, les mesures de Poisson sont invariantes pour le système de particules.
\end{propf}

\textit{ind. : on calculera la transformée de Laplace de $(\eta_t (x))_{x\in \mathbb T_N^d}$}

\quest 3) Quelle est la densité de particules lorsque le système est à l'équilibre sous une mesure de Poisson associée à la fonction $\alpha$ ?\\

\quest 4) Existe-t-il d'autres mesures invariantes pour le système de particules libres ($N$ fixé)?\\

{\textit{La réponse nécessite un peu de connaissance sur les chaînes de Markov à temps continu. Le processus des particules libres est en fait un processus de Markov (à temps continu!) à espace d'états dénombrable. Supposons que $p$ soit irréductible, c'est-à-dire que $\{z; p(z)>0\}$ génère (en tant que groupe additif) tout $\ZZ^d$ (sinon la réponse à la question est délicate). Alors, vu que le nombre de particules est conservées, partant d'une configuration initiale déterministe fixée, le nombre de particules $K$ est une constante (non aléatoire fixée). Il y a un ensemble dénombrable de classe irréductibles (au moins) indexé par $K\in \NN$ (représentant le nombre de particules) que l'on note $({\cal C}_K)_{K}$.\\
Puisque $p$ est supposée irréductible, sur chacune des classes précédentes ${\cal C}_K$, le système de particules libres est lui-même un processus markovien à espace d'états fini et irréductible (l'espace d'état du processus est alors en fait $\{0,\ldots,K\}^{\mathbb T_N^d}$ qui est fini). Chaque classe irréductible ${\cal C}_K$ possède donc une seule mesure invariante $\mu_K$.\\
Les mesures invariantes du système sont donc données par les combinaisons convexes des $(\mu_{K})_{K\in \NN}$. Les mesures de Poissons précédentes ne sont que des cas particuliers. Cependant, l'ensemble des mesures invariantes forment un ensemble convexe et on peut montrer que les point extrémaux de cet ensemble sont les mesures de Poisson.}}

\section{Equivalence des ensembles}

On a vu dans la section précédente que les mesures de Poisson étaient invariantes pour la dynamique. Néanmoins, puisque le nombre de particules est conservées, les mesures de Poissons conditionnées à un nombre de particules fixé sont aussi invariantes. Néanmoins, les deux points de vue sont équivalents lorsque l'on regarde ce qui se passe pour $N$ tend vers l'infini.\\

Cette équivalence est connue, dans un contexte plus général, sous le terme de ce que les physiciens appellent l'équivalence des ensembles. L'équivalence des ensembles établit une correspondance entre les mesures dites grand-canonique (les mesures de Poisson pour nous) et les mesures canoniques (les mesures de Poisson conditionnées à un nombre fixé de particules).\\


On considère une fonction constante notée $\alpha$ égale à $\alpha$ et on considère la mesure $\mu^N_{\alpha, K}$ sur $\{\eta\in\NN^{\mathbb T_N^d};\; \sum_{x\in \mathbb T_N^d} \eta (x) =K\}$ donnée par
$$\mu_{\alpha, K}^{N} = \nu_{\alpha}^N (\cdot |\sum_{x\in \mathbb T_N^d} \eta(x)=K)$$

\quest 1) Montrer que cette mesure ne dépend pas de $\alpha$ et est en fait la mesure multiniomiale sur $\{0,\ldots,K\}^{\mathbb T_N^d}$.\\

\quest 2) Montrer que c'est une mesure invariante du système de particules libres (c'est en fait ce que l'on a noté $\mu_K^N$).\\

\quest 3) Soit $\beta>0$ un paramètre positif fixé. Montrer que pour tout entier $r>0$ fixé, pour toute suite $(k_1,\ldots, k_r)\in \NN^r$ et $(x_1,\ldots, x_r) \in \ZZ^r$,
$$\lim_{N\rightarrow \infty} \mu_{\alpha, N^d \beta} (\eta (x_1)=k_1,\ldots, \eta (x_r)=k_r )=\nu_\beta (\eta (x_1)=k_1,\ldots,\eta (x_r)=k_r)$$
 
On a un résultat similaire assez simple d'équivalence des ensemble dans un cadre continu (ici entre les mesures micro-canoniques et les mesures canoniques). On considère des particules libres $1,\ldots,x, \ldots,N$ indiscernables. La particule $x$ possède la quantité de mouvement $p_x$, et n'interagit pas avec les autres. L'énergie de l'ensemble des particules est donc uniquement donnée par son énergie cinétique $\sum_{x=1}^{N} p_x^2$ qui est conservée lors du mouvement des particules. Supposons que notre système soit isolé et à l'équilibre. Soit $E$ l'énergie du système. Le principe d'équirépartition de l'énergie nous dit que les vitesses $(p_{x})_{x=1,\ldots, N}$ se répartissent de manière uniforme sur la surface d'énergie. On cherche à savoir ce qui se passe pour une observable locale à la limite thermodynamique (i.e. $N$ tend vers l'infini). En termes mathématiques, la question est la suivante.\\
Soit $f:\RR^{k} \rightarrow \RR$ une foncton continue bornée avec $k$ un entier fixé et $E>0$ un réel. Pour tout $N$ plus grand que $k$, on introduit $\nu_{N,E}$ la mesure uniforme sur la sphère $S^{N-1}_E$ de $\RR^N$ de rayon $\sqrt{NE}$:
$$S_E^{N-1} =\{(x_1,\ldots,x_N); \qquad \sum_{i=1}^{N} x_i^2 =NE\}$$
On rappelle que cette mesure est l'unique probabilité sur $S_E^{N-1}$ stable par les rotations de $\RR^N$.\\

\quest 1) Soit $(\zeta_1,\ldots,\zeta_N)$ $N$ variables normales standard uniformes. Montrer à l'aide de cette caractérisation que la loi de $Y=\cfrac{\sqrt{NE}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N} \zeta_i^2}} (\zeta_1,\ldots,\zeta_N)$ est $\nu_{N,E}$.\\
\quest 2) A l'aide de la loi des grands nombres, montrer que 
$$\lim_{N\rightarrow \infty} \nu_{N,E} (f(x_1,\ldots, x_k))= \mu_{k,E} (f)$$
où $\mu_{k,E}$ est une loi Gaussienne sur $\RR^k$ de moyenne nulle et de matrice de covariance $E^{-1} Id$ (i.e. la distributionde Maxwell avec température $E$). \\

\section{Equilbre local}

\begin{deff}
Soit $(\mu_N)_{N\geq 1}$ une suite de probabilités sur $\NN^{\mathbb T_N^d}$. On dit que c'est un équilibre local de profil $\rho_0: \mathbb T^d \rightarrow \RR_+$ (fonction lisse) ssi pour tout $u\in \mathbb T^d$, et toute fonction $f:\NN^{\ZZ^d} \rightarrow \RR$ ne dépendant que d'un nombre fini de sites,
$$\lim_{N\rightarrow \infty} {\mathbb E}_{\mu^N}[f(\tau_{[uN]}\eta)]={\mathbb E}_{\nu_{\rho_0 (u)}}(f)$$ 
\end{deff}

On se propose de démontrer le théorème suivant, dit de conservation de l'équilibre local :\\

\begin{thf}
On considère une fonction $\rho_0 : \mathbb T^d \rightarrow \RR_{+}$ lisse. Soit $(\mu^N)_{N\geq 1}$ un équilibre local associé au profil $\rho_0$. Pour tout $t\geq 0$, on note $\mu^N_t$ la loi du processus $\eta_t$ initialement distribué selon $\mu^N$. Pour tout $t\geq 0$, $(\mu_{tN}^N)_{N\geq 1}$ est un équilibre local de profil $\rho_t=\rho(t,\cdot)$ où $\rho$ est solution de l'équation aux dérivées partielles suivantes
$$\partial_t \rho +m\cdot \nabla \rho = 0$$
avec condition initiale $\rho_0$.
\end{thf}  

\quest 1) Montrer que 
$${\mathbb E}_{\nu_{\rho_0}^N}\left(\exp -\sum_{x\in \mathbb T_N^d} \lambda (x) \eta_{t} (x) \right)=\exp \left(\sum_{y\in \mathbb T_N^d} (e^{-\lambda (y)}-1)\psi_{N,t} (y)\right)$$
où
$$\Psi_{N,t} (y)=\sum_{x\in \mathbb T_N^d} p_{t}^{N} (y-x) \rho_{0} (x/N)$$

\quest 2) Montrer que 
$$\lim_{N\rightarrow \infty} \psi_{N,t} ([uN])=\rho_0 (u)$$

Cette propriété montre que le temps microscopique est trop court pour atteindre un équilibre local et est à relier à l'hypothèse $t\sim\tau_{0}\ll \tau_{R}$.\\

\quest 3) Montrer que pour tout $\epsilon>0$,
$$\lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{x;\; |x/N -mt|\leq \epsilon}p_{tN}(x)=1$$    
\quest 4) Conclure.

\section{Quelques remarques}

Nous avons ici traité le cas de marches aléatoires de moyenne non nulle, non pas parce que pour $m=0$, le résultat est faux mais parce que pour $m=0$, il ne dit rien d'intéressant (le profil ne change pas dans l'échelle de temps $tN$). Pour le cas $m=0$, il faut considérer une échelle de temps plus grande en $tN^2$. Dans ce cas, le profil qui apparaît est décrit par une équation aux dérivées partielles du second ordre. Plus exactement, on introduit la matrice $\sigma$ définie par
$$\sigma_{i,j} = \sum_{x\in \ZZ^d} x_{i}x_{j}p(x)$$ 

En utilisant un théorème limite centrale pour les marches aléatoires à temps continu, on obtient le théorème suivant. 

\begin{thf}
Supposons qu'un système de particules évolue selon des marches aléatoires indépendantes avec une moyenne $m=0$ et qu'initialement on ait un équilibre local asssocié à un profil lisse $\rho_0$. Dans une échelle de temps diffusive (c'est-à-dire en $tN^2$), il y a conservation de l'équilibre local et l'évolution du profil est donné par la solution de l'équation aux dérivées partielles suivantes :
\begin{equation*}
\begin{cases}
\partial_{t} \rho = \sum_{1\leq i,j \leq d} \sigma_{i,j} \partial_{u_i, u_j}^2 \rho\\
\rho(0,u)=\rho_{0} (u)
\end{cases}
\end{equation*}
\end{thf}

Dans la théorie des limites hydrodynamiques, l'équation qui apparaît ici est appelée l'équation hydrodynamique du système. On peut considérer des cas plus complexes que celui-ci. Par exemple, on peut imposer aux particules d'évoluer comme des marches aléatoires à temps continu mais refuser que plus d'une particule occupe un site (on parle alors du processus d'exclusion simple). Là aussi, une équation hydrodynamique peut-être établie. Selon que $p$ est à moyenne nulle ou pas, les échelles de temps à considérer ne sont pas les mêmes (échelle diffusive en $N^2$ ou Eulérienne en $N$) et les équations hydrodynamiques obtenues sont différentes (équation type équation de la chaleur ou équqtion de Burgers).  










































































