 
\noindent
Dans la suite, $(\O,\cal{F},\PP)$ désignera un espace probabilisé muni d'une filtration $({\cal F}_n)_n$.\\

On considère un processus adapté $X$ et $a<b$ deux réels, $N$ un entier non nul. La suite finie de réels, pour $\o$ donné, $\{X_0(\o),\ldots,X_N(\o)\}$ est appelée la trajectoire de $X$ entre les instants $0$ et $N$. Nous introduisons quelques notations.\\

\noindent
$\star$) $U_N^{[a,b]}(\o)$ est défini comme le plus grand entier $k\geq 1$ tel qu'il existe deux suites d'entiers non nuls $(s_1,\ldots, s_k)$ et $(t_1,\ldots,t_k)$ avec
$$0\leq s_1 <t_1 <\ldots < s_k< t_k \leq N$$
$$\forall i \in \{1,\ldots,k\},\; X_{s_i} (\o) <a \mbox{    et   } X_{t_i}(\o) >b$$
$U_N^{[a,b]}$ apparaît comme le nombre de passages croissants de $a$ à $b$ par la trajectoire de $X$ entre $0$ et $N$.\\

\noindent
$\star$) On définit  le processus prévisible $(C_n)_n\in \{0,1\}^{\mathbb N}$ de la manière suivante :\\
\begin{equation*}
\begin{split}
&C_1 = 1_{\{X_0 <a\}}\\
&C_n =1_{\{C_{n-1}=1\}}1_{\{X_{n-1}\leq b\}} + 1_{\{C_{n-1}=0\}}1_{\{X_{n-1}<a\}}
\end{split}
\end{equation*}

\noindent
$\star$) On notera enfin par $Y=(C\cdot X)$ la transformée de $X$ par $C$, c'est-à-dire le processus donné par
$$Y_n(\o)=\sum_{k=1}^{n} C_k(\o) (X_k (\o) - X_{k-1} (\o) )$$

Le théorème de convergence des martingales bornées dans $\LL^1$ est basé sur la remarque suivante facile à démontrer :
$$Y_N (\o) \geq (b-a) U_N^{[a,b]} (\o) - \left[X_N (\o) -a\right]^{-}$$

\begin{lemf}\textbf{ (de passage de Doob)}\\
Si $X$ est une sur-martingale alors, avec les notations introduites précedemment, on a
$${\mathbb E} (U_N^{[a,b]})\leq \cfrac{{\mathbb E}((X_N -a)^{-})}{b-a} $$
\end{lemf}

\begin{demo}
$C$ est un processus prévisible positif borné et $X$ est une sur-martingale donc $Y=C\cdot X$ est une sur-martingale (cf la section pr\'ec\'edente). Donc
$${\mathbb E} (Y_N)\leq {\mathbb E} (Y_0)=0$$
On reporte dans l'inégalité précédente et on obtient le résultat.
\end{demo}

\begin{corf}
Soit $X$ une surmartingale bornée dans ${\cal L}^1$ dans le sens où $M=\sup_n {\mathbb E}(|X_n|)<+\infty$. On note
$$U_\infty^{[a,b]}=\lim_{n\rightarrow \infty} U_n^{[a,b]}$$
On a : $(b-a){\mathbb E}_{\infty}^{[a,b]}\leq |a|+M$ et par suite
$$\PP (U_{\infty}^{[a,b]}=\infty)=0$$
\end{corf}

On obtient alors le théorème principal de cette section sur la convergence des martingales.

\begin{thf}\textbf{(de convergence de Doob)}\\
Soit $X$ une sur-martingale bornée dans ${\cal L}^1$. $\PP$ presque sûrement, la limite notée $X_{\infty} (\o)$ de $(X_n (\o))_n$ existe et est finie. De plus, la variable aléatoire $X_\infty$ est ${\cal F}_{\infty}$-mesurable et dans ${\cal L}^1$.
\end{thf}

\begin{demo}
Soit $\Lambda=\left\{\o \in \O;\; (X_n (\o))_n \mbox{   ne converge pas dans $\mathbb R$} \right\}$. On veut montrer que cet ensemble est de probabilité nulle.\\
Or $\Lambda=\cup_{\substack{a,b \in \QQ\\a<b}}\Lambda_{a,b}$ où
$$\Lambda_{a,b}=\left\{\o \in \O; \; \liminf X_{n}(\o) <a<b<\limsup X_n (\o)\right\}$$
et
$$\Lambda_{a,b} \subset \{\o \in \O; \; U_{\infty}^{[a,b]}(\o)=\infty\}$$
donc $\PP(\Lambda_{a,b})=0$ par le lemme de passage de Doob et par $\sigma$-additivité de $\PP$, $\PP (\Lambda)=0$.\\
D'autre part, par le lemme de Fatou,
$${\mathbb E}(|X_{\infty}|)={\mathbb E} (\liminf|X_n|)\leq \liminf {\mathbb E} (|X_n|)<+\infty$$
\end{demo}

\begin{remf}
Pour l'instant, rien ne garantit qu'il y ait convergence dans $\LL^1$.
\end{remf}

\begin{corf}
Si $X$ est une sur-martingale positive alors $X_{\infty} =\lim X_n$ existe $\PP$ p.s.
\end{corf}

\begin{demo}
$0\leq {\mathbb E}(|X_n|)={\mathbb E}(X_n)\leq {\mathbb E} (X_0) <+\infty$ et il suffit d'appliquer le théorème de convergence de Doob.
\end{demo}
