\section{Le théorème de base de convergence des martingales de ${\cal L}^2$}

\noindent
Dans la suite, $(\O,\cal{F},\PP)$ désignera un espace probabilisé muni d'une filtration $({\cal F}_n)_n$. Dans cette section, nous consid\'ererons des martingales dans ${\cal L}^2$. La structure particuli\`ere d'espace de Hilbert de ${\cal L}^2$ facilitera de beaucoup notre \'etude.\\

\subsection{Martingales de ${\cal L}^2$ : orthogonalité des accroissements}

\begin{deff}
On dira qu'une martingale $(M_n)_n$ est bornée dans ${\cal L}^2$ ssi $\sup_n \| M_n \|_2 <+\infty$.
\end{deff}

\noindent
\textbf{Notation : } On note $<X,Y>={\mathbb E}(XY)$ le produit scalaire sur $\LL^2 (\O,{\cal F},\PP)$ et $\|\cdot\|_2$ la norme associée.\\

Une propriété fondamentale des martingales est \textit{ l'orthogonalité de ses accroissements}, c'est-à-dire que si l'on a des entiers tels que $s\leq t\leq u\leq v$ alors
$$<M_t -M_s, M_v -M_u>=0$$
En effet, on a 
\begin{eqnarray*}
{\mathbb E} ((M_t -M_s)M_v)&=&{\mathbb E} ({\mathbb E}((M_t -M_s)M_v|{\cal F}_u))\\
&=&{\mathbb E} ((M_t -M_s){\mathbb E}(M_v | {\cal F}_u))={\mathbb E}((M_t-M_s)M_u)
\end{eqnarray*} 
et la formule
$$M_n= M_0 +\sum_{k=1}^{n} (M_k -M_{k-1})$$
exprime $M_n$ comme une somme d'éléments orthogonaux. Le théorème de Pythagore donne donc
$$\|M_n\|_2^2=\|M_0\|_2^2 +\sum_{k=1}^{n} \|M_k -M_{k-1}\|_2^2$$

\begin{thf}
Soit $M$ une martingale de ${\cal L}^2$, c'est-à-dire que pour tout $n \in \NN,\; M_n \in {\cal L}^2$. $(M_n)_n$ est uniform\'ement bornée dans ${\cal L}^2$ ssi
$$\sum_{k=1}^{\infty}\|M_k - M_{k-1}\|_2^2 <+\infty$$
Dans ce cas,  $\lim_{n\rightarrow \infty} M_n =M_{\infty}$ $\PP$ p.s. et dans ${\cal L}^2$.
\end{thf}

\begin{demo}
La première partie du théorème est évidente d'après ce qui précède. $\LL^2$ est complet et le théorème de Doob assure que $\lim_{n\rightarrow +\infty} M_n=M_{\infty}$ $\PP$ p.s.
D'autre part,
$${\mathbb E} ((M_{n+r}-M_n)^2) \leq \sum_{k=n+1}^{n+r} {\mathbb E} ((M_k -M_{k-1})^2)$$
et par le lemme de Fatou, quand $r$ tend vers $+\infty$, on a
$${\mathbb E} ((M_{\infty}-M_n)^2) \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} {\mathbb E} ((M_k -M_{k-1})^2)$$
et ce reste de série convergente (première partie du théorème) tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, ce qui prouve la deuxième partie du théorème. 
\end{demo}

\subsection{Décomposition de Doob}

\begin{deff}
Un processus $(A_n)_n$ sera dit prévisible nul en $0$ ssi $A_0=0$ et pour tout $n\geq 1$, $A_n$ est ${\cal F}_{n-1}$-mesurable.
\end{deff}

\begin{thf}\textbf{(de décomposition de Doob)}\\
a) Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ un processus adapté dans ${\cal L}^1$. Alors $X$ a une décomposition de Doob :
$$X=X_0 + M+ A$$
où $M$ est une martingale nulle en $0$ et $A$ un processus prévisible nul en $0$.\\
De plus cette décomposition est unique dans le sens où si $X=X_0+\tilde{M} +\tilde{A}$, $\tilde{M}$ martingale nulle en $0$ et $\tilde{A}$ processus prévisible nul en $0$, alors :
$$\PP (\forall n \in \NN,\; M_n={\tilde M}_n,\;A_n ={\tilde A}_n)=1$$
\noindent
b) $X$ est une sous-martingale ssi le processus $A$ est croissant dans le sens suivant :
$$\forall n \in \NN, \; A_n \leq A_{n+1}\; \PP\mbox{ p.s.}$$
\end{thf}

\begin{demo}
$\star$) Si la décomposition existe, on doit avoir
\begin{eqnarray*}
{\mathbb E} (X_n -X_{n-1}|{\cal F}_{n-1})&=&{\mathbb E} (M_n -M_{n-1}|{\cal F}_{n-1}) + {\mathbb E}(A_n -A_{n-1} |{\cal F}_{n-1})\\
&=&0 +A_n -A_{n-1}
\end{eqnarray*}
donc $A_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\mathbb E} (X_k -X_{k-1} |{\cal F}_{k-1}) \; \; \PP \; \mbox{p.s.}$\\
\noindent
et $M_n = X_n -X_0-A_n=X_n-X_0 -\sum_{k=1}^{n}{\mathbb E}(X_k-X_{k-1}|{\cal F}_{k-1}),\; n\geq 1$.\\
Ceci prouve l'unicité de la décomposition.\\
\noindent
$\star$) Pour ce qui est de l'existence de la décomposition, on définit $A_n$ et $M_n$ par les formules précédentes. Il est facile de vérifier que $M$ est une martingale nulle en $0$ et $A$ un processus prévisible nul en $0$.\\
\noindent
$\star$) $X$ est une sous-martingale ssi 
$$\forall n\geq 1,\; {\mathbb E} (X_n |{\cal F}_{n-1})\geq X_{n-1}$$
ce qui est équivalent, d'après la formule définissant $A$, à
$$\forall n\geq 1, A_n -A_{n-1} \geq 0$$ 
\end{demo}


\subsection{Le crochet d'une martingale $<M>$}
\begin{propf}
Soit $M$ une martingale de ${\cal L}^{2}$ nulle en $0$. Alors $M^2$ est une sous-martingale.
\end{propf}
\begin{demo}
Utiliser la propriété de Jensen version conditionnelle.
\end{demo}

On écrit la décomposition de Doob de la sous-martingale $M^2$ sous la forme $M^2=N+A$ où $N$ martingale nulle en $0$ et $A$ processus prévisisble croissant nul en $0$. On posera $A_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty} A_n$.\\

\begin{deff}
Le processus prévisible $(A_n)_n$ est appelé le crochet de $M$ et noté $<M>$.\\
\end{deff}

\begin{propf}
Une martingale $M$ de ${\cal L}^2$ est uniform\'ement bornée dans ${\cal L}^2$ ssi ${\mathbb E}(<M>_{\infty})<+\infty$.
\end{propf}

\begin{remf}
On a $A_n -A_{n-1}={\mathbb E} (M_n^2 -M_{n-1}^2|{\cal F}_{n-1}^2)={\mathbb E} ((M_n -M_{n-1})^2 | {\cal F}_{n-1})$.
\end{remf}

\vspace{1cm}
\noindent
\textbf{Lien entre la convergence de $M$ et la finitude de $<M>_{\infty}$}\\

Soit $M$ une martingale de ${\cal L}^2$ nulle en $0$. Notons le crochet de $M$ par $<M>=A$. Le théorème suivant éclaircit le lien qui existe entre bornitude du crochet et la convergence de la martingale.

\begin{thf}
\noindent
a) $\lim_{n\rightarrow \infty} M_n (\o)$ existe pour $\PP$ p.s. tous les $\o$ tels que $A_{\infty} (\o) <+\infty$.\\
\noindent
b) Si $M$ a des accroissements uniforméments bornés (i.e. $\forall n\geq 1, \forall \o \in \O, \; |(M_n(\o) -M_{n-1}(\o))|\leq K)$).\\
Alors : $\lim_{n\rightarrow \infty} M_n (\o)$ existe ssi $A_{\infty}(\o)<+\infty$.
\end{thf}

\begin{demo}
a) $A$ est prévisible donc $\forall k \in \NN$, $S_k=\inf\{n;\; A_{n+1}>k\}$ est un temps d'arrêt. D'autre part, $A^{S_k}$ est un processus prévisible nul en $0$ (le vérifier) borné par $k$. $(M^2-A)^{S_k}$ est une martingale en tant que martingale arrêtée. Puisque $\sup_n {\mathbb E} ((M_n^{S_k})^2)=\sup_n {\mathbb E} (A_n^{S_k})\leq k$, $M^{S_k}$ est bornée dans ${\cal L}^2$ et $\lim_{n\rightarrow \infty} M_{n\wedge S_k}$ existe $\PP$ p.s. et dans ${\cal L}^2$. Or on a 
$$\left\{A_{\infty} <+\infty\right\}=\cup_{k} \{S_k = \infty\}$$
d'où sur $\{A_\infty <+\infty\}$, il existe $k$ (fixé) tel que $S_k=\infty$ et $\lim M_{n\wedge S_k}=\lim M_n$ existe donc.\\
\noindent
b) Si l'on avait $\PP (A_{\infty}=\infty, \; \sup_n |M_n|<+\infty)>0$ alors pour un $c>0$, $\PP (T_c =\infty, A_{\infty}=\infty)>0$ où l'on a posé $T_c=\inf\{r; \; |M_r|>c\}$.\\
En effet, 
$$\{A_\infty = \infty, \sup_n |M_n|<\infty\}=\cup_{c\in \NN} \{A_\infty = \infty, T_c= \infty\}$$
donc
$$0<\PP\left[A_\infty = \infty, \sup_n |M_n|<\infty\right]\leq\sum_{c \in \NN} \PP(A_{\infty}=\infty; \; T_c=\infty)$$
et il existe un $c\in \NN$ tel que $\PP (T_c =\infty, A_{\infty}=\infty)>0$.\\
Or ${\mathbb E} (M_{T_c \wedge n}^2 - A_{T_c \wedge n})=0$ et $M^{T_c}$ est bornée par $c+K$ d'où
$${\mathbb E} (A_{T_c \wedge n})\leq (c+K)^2$$
Par le théorème de convergence monotone pour le processus croissant $A$, on aurait
$$+\infty\cdot\PP (T_c=\infty, A_{\infty}=\infty)\leq (c+K)^2$$
ce qui est bien entendu exclu. En conclusion, on a 
$$\PP(A_\infty = \infty, \sup_n |M_n|<\infty)=0$$
En utilisant a), on finit aisément la preuve.
\end{demo}

\subsection{Application}

\begin{thf}
Soit $(X_k)_k$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que pour tout $k \in \NN$, on ait
$${\mathbb E}(X_k)=0, \; \sigma_k^2=Var (X_k)<+\infty$$
a) Alors $\sum_k \sigma_k^2 <+\infty \Rightarrow \sum_k X_k$ converge $\PP$ p.s.\\
b) Si les $(X_k)_k$ sont bornées par une constante $K\geq 0$ tel que $|X_k|\leq K$ pour tout $k$, $\PP$ p.s. alors
$$\left(\sum_k X_k\right) \mbox{   converge p.s.  } \Rightarrow \sum_k \sigma_k^2 <+\infty$$
\end{thf}

\begin{demo}
On rappelle que la loi du $0-1$ nous dit que $\PP\left(\sum_k X_k \mbox{  converge  }\right)\in\{0,1\}$. Soit la filtration $({\cal F}_n)_n$ associée au processus $X=(X_0,X_1,\ldots,X_n,\ldots)$ et $M_n=X_1+\ldots+X_n, \; M_0=0$. $M$ est une martingale. La décomposition de Doob de la sous-martingale $M^2$ est donnée par
$$M_n^2= N_n +A_n$$
où $N$ est une martingale nulle en $0$ et $A_n =\sum_{k=1}^{n} \sigma_k^2$. Le théorème précédent donne le résultat.
\end{demo}

A titre d'exemple, on se donne une suite de signes aléatoires $\epsilon$, c'est-à-dire une suite de variables aléatoires indépendantes $(\epsilon_n)_n$ telles que $\PP(\epsilon_n =1)=\PP(\epsilon_n = -1)=1/2$ et une suite déterministe de réels $(a_n)_n$. Le théorème précédent montre que\\ 
$\sum_n \epsilon_n a_n$ converge $\PP$ p.s. ssi $\sum_{n} a_n^2 <+\infty$.






