
Nous  travaillerons avec deux  espaces de probabilité mais tout ce que  nous dirons s'étend sans changement  à un
produit fini d'espaces de probabilité.  Soient $(\O_1,\cF_1)$ et $(\O_2,\cF_2)$ deux espaces munis de leurs tribus
respectives. On cherche à définir une notion de tribu produit sur $\O_1\times \O_2=\O$ afin de définir la notion de
mesure produit sur ce même espace. Soit
$$\rho_1 : \o=(\o_1,\o_2) \in \O \rightarrow \o_1 \in \O_1 \mbox{  et  } \rho_2 : \o=(\o_1,\o_2) \in \O \rightarrow \o_2 \in \O_1$$
les deux projections canoniques.

\begin{deff}
La tribu produit $\cF$ sur $\O$, notée $\cF_1 \otimes \cF_2$, est définie comme la tribu engendrée par $\r_1$ et $\r_2$,
$$\cF=\cF_1 \otimes \cF_2 =\s (\r_1,\r_2)=\s \left(\left\{B_1\times \O_2, \O_1\times B_2\; ; \; B_1 \in \cF_1, B_2 \in \cF_2\right\}\right)$$
De  manière plus condensée, $$\mathcal F_1\otimes  \mathcal F_2=\sigma\left(\rho_1^{-1}(\mathcal F_1),
\rho_2^{-1}(\mathcal F_2)\right).$$
\end{deff}

On remarquera que $\cI=\{B_1\times B_2\; ; \; B_1 \in \cF_1, B_2 \in \cF_2 \}$ est un $\pi$-système qui génère
 (en tant que tribu) $\cF_1\otimes \cF_2$. En effet,
  $(B_1\times  B_2)\cap(C_1\times C_2)=(B_1\cap  C_1)\times (B_2\times C_2).$\\

\noindent
\textbf{Notation :} Si $f:\O \rightarrow \RR$, on note
$$f_{\o_1}^{1} : \o_{2} \in \O_{2} \rightarrow f(\o_1,\o_2) \in \RR, \;\; (\o_1 \in \O_1)$$
et
$$f_{\o_2}^{2} : \o_{1} \in \O_{1} \rightarrow f(\o_1,\o_2) \in \RR, \;\; (\o_2 \in \O_2)$$

\begin{lemf}
Soit $\cH$ l'ensemble des fonctions $f:\O\rightarrow \RR$ qui sont $\cF$-mesurables bornées et telles que
 $f_{\o_1}^1$ est $\cF_2$-mesurable pour tout $\o_1 \in \O_1$ et $f_{\o_2}^2$ est $\cF_1$-mesurable pour tout $\o_2 \in \O_2$. Alors $\cH$ est exactement l'ensemble des fonctions $\cF$-mesurables bornées.
\end{lemf}

\begin{demo}
On applique le théorème de la classe monotone. $\cH$ est un espace vectoriel constitué de fonctions $\cF$-mesurables
bornées et contenant les $\indic_{A}$ pour $A\in \cI$, $\cI$ étant un $\pi$-système générant $\cF$. D'autre part, si
$(f_n)_n$ est une suite croissante de fonctions de $\cH$  positives uniformément bornées par une constante $K$, alors
la limite simple $f=\lim_{n\rightarrow +\infty} f_n$ est une fonction $\cF$-mesurable bornée. De plus, pour tout
$\o_1,\o_2 \in \O_1$, on a
$$f_{\o_1}^1(\o_2)=\lim_{n\rightarrow +\infty} (f_n)_{\o_1}^1(\o_2)$$
ce qui montre que $f_{\o_1}^1$ est ${\cF}_2$-mesurable. De même, $f_{\o_2}^2$ est ${\cF}_1$-mesurable. Le théorème de
la classe monotone implique que $\cH$ contient toutes les fonctions $\cF$-mesurables bornées.
\end{demo}
En appliquant le lemme  précédent aux fonctions caractéristiques d'ensembles, on obtient:

\begin{corf}
Soit $A\subset \Omega_1\times\Omega_2$ un ensemble $\mathcal F$-mesurable. Alors:
\begin{itemize}
\item $\forall \omega_1\in \Omega_1$, $\rho_2(A\cap\{\omega_1\}\times\Omega_2)$ est $\mathcal F_2$-mesurable et
\item $\forall \omega_2\in \Omega_2$, $\rho_1(A\cap\Omega_1\times \{\omega_2\})$ est $\mathcal F_1$-mesurable.
\end{itemize}
\end{corf}
En  termes plus imagés, si $A$  est $\mathcal F$-mesurable alors  ses coupes verticales et horizontales sont
mesurables. Mais attention: la réciproque est fausse; un ensemble dont les coupes verticales et horizontales sont
mesurables n'est pas nécessairement  mesurable.

\begin{corf} Si $(\Omega_1, \mathcal F_1)$, ..., $(\Omega_n, \mathcal F_n)$ sont des espaces munis de tribus,
alors  pour tout $k$,
$$\left(\otimes_{i=1}^k   \mathcal F_i\right)\otimes \left(\otimes_{i=k+1}^n\mathcal
F_i\right)=\otimes_{i=1}^n\mathcal F_i.$$ En d'autres termes le produit de tribus est associatif. En particulier:
$$\cB(\RR^{n+m})=\cB(\RR^n)\otimes \cB (\RR^m).$$
\end{corf}

\begin{demo}
 En effet les tribus considérées sont engendrées respectivement par les $\pi$-systèmes $(\mathcal I)^k$, $(\mathcal
 I)^{n-k}$ et $(\mathcal I)^n$. Le dernier est le produit cartésien des deux premiers car le produit cartésien est
 associatif.
\end{demo}

\section{Mesure produit, Théorème de Fubini}

\subsection{Théorème de Fubini}

On suppose que $(\O_i,\cF_i,\mu_i)$, pour $i=1,2$, sont des espaces mesurés munis de mesures finies.\\
D'après le lemme précédent, on peut définir pour toute fonction $\cF$-mesurable bornée $f$:

$$I_{1}^{f} (\o_1)=\int_{\O_2} f_{\o_1}^{1} (\o_2)d\mu_{2}(\o_2), \; \; (\o_1 \in \O_1) $$
et
$$I_{2}^{f} (\o_2)=\int_{\O_1} f_{\o_2}^{2} (\o_1)d\mu_{1}(\o_1), \; \; (\o_2 \in \O_2) $$

\begin{lemf}\label{lemmeFubini}
Soit $\cH$ l'espace vectoriel composé des fonctions $f : \O \rightarrow \RR$ $\cF$-mesurables bornées telles que :\\
a) $I_1^f$ est $\cF_1$-mesurable bornée et $I_2^f$ est $\cF_2$-mesurable bornée.\\
b) $\int_{\O_1} I_1^f (\o_1) d\mu_1 (\o_1)=\int_{\O_2} I_2^f (\o_2) d\mu_2 (\o_2)$\\

Alors $\cH$ est exactement l'ensemble des fonctions $\cF$-mesurables bornées.
\end{lemf}

\begin{demo}
Là aussi, il s'agit d'une simple application du théorème de la classe monotone. En effet $\mathcal H$ contient encore
les fonctions caractéristiques $\indic_{A_1\times A_2}$ avec $A_1$ et $A_2$ $\mathcal F_1$- et $\mathcal
F_2$-mesurables respectivement. Or l'ensemble $\{A_1\times A_2\}$ est un $\pi$-système engendrant $\mathcal F$.
\end{demo}

\noindent
Si $F\in \cF$, en posant $f=\indic_F$ qui est $\cF$-mesurable bornée, on définit :

$$\mu (F)=\int_{\O_1} I_{1}^{f} (\o_1)d\mu_1 (\o_1)=\int_{\O_2} I_{2}^{f} (\o_2) d\mu_{2} (\o_2)$$



\noindent
On va voir dans la suite que $\mu$ est une mesure sur la tribu produit.\\

\noindent Nous allons construire l'intégrale  par machine standard.
Soit $f$ une fonction positive $\cF$-mesurable. Pour tout entier $n$, $f\wedge n$ est $\cF$-mesurable positive bornée.
Si $\o_1 \in \O_1$, $\left\{(f\wedge n)_{\o_1}^1\right\}_{n}$ est une suite de fonctions $\cF_2$-mesurables tendant
en croissant vers $f_{\o_1}^{1}$ ce qui montre que $f_{\o_1}^{1}$ est $\cF_2$-mesurable. De même, pour tout
 $\omega_2 \in \Omega_2$, $f_{\o_2}^{2}$ est $\cF_1$-mesurable. On peut donc définir $I_1^f$ et $I_2^f$
 (en admettant la valeur $+\infty$).\\

$I^{(f\wedge n)}_1$ et $I^{(f\wedge n)}_2$ sont bien définies, respectivement $\cF_1$-mesurable et $\cF_2$-mesurable.
 Et si $\o_1 \in \O_1, \o_2 \in \O_2$, on a

$$I_1^{(f\wedge n)} (\o_1) \uparrow I_1^f(\o_1)\; \mbox{  et } \; I_2^{(f\wedge n)} (\o_2) \uparrow I_2^f(\o_2)$$
si bien que $I_1^f$ et $I_2^f$ sont encore des fonctions $\cF_1$-mesurables et $\cF_2$-mesurables. Qui plus est,
toujours par le théorème de convergence monotone,

$$\int_{\O_1} I_1^f d\mu_1 = \int_{\O_2} I_2^f d\mu_2.$$
Donc le résultat du lemme \ref{lemmeFubini} s'étant aux fonctions positives.

\begin{thf} \textbf{(Théorème de Fubini)}\\
1) La fonction $\mu$ définie sur $(\O,\cF)$ est une mesure (finie) appelée mesure produit de $\mu_1$ et $\mu_2$ et notée $\mu_1\otimes \mu_2$. De plus, $\mu$ est l'unique mesure sur $(\O,\cF)$ telle que :
$$\mu (A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2 (A_2) ,\; A_1 \in \cF_1,\; A_2 \in \cF_2$$

2) Si $f$ est une fonction $\cF$ -mesurable positive alors :
$$\int fd\mu =\int_{\O_1} I^{1}_{f} (\o_1)d\mu_1 (\o_1)=\int_{\O_2} I^{2}_{f} (\o_2)d\mu_2 (\o_2) \; \; \; \; \; \; (\star)$$

3) Si $f$ est $\cF$-mesurable et si $\mu(|f|)<+\infty$ alors $(\star)$ est  encore valable.
\end{thf}



\begin{demo}
1) Le fait que $\mu$ soit une mesure provient de la linéarité de l'intégrale et du théorème de convergence monotone.
En fait, la question délicate dans ce théorème concerne les problèmes de mesurabilité, travail préliminaire qui a déjà été
fait via le théorème de la classe monotone.\\
L'unicité est une simple conséquence du théorème de Dynkin.\\

2) On a déjà prouvé la seconde égalité dans ($\star$). Quant à la première égalité, elle provient là encore du théorème
de la
 classe monotone (on sait en effet qu'elle est vraie pour les indicatrices d'éléments de $\cF$). On a donc le résultat pour
 les fonctions $\cF$-mesurables bornées. Si $f$ est une fonction $\cF$-mesurable positive, en considérant la suite de
 fonctions bornées $(f\wedge n)_n$ et en appliquant le théorème de convergence monotone, on obtient 2).\\

3) Il suffit comme d'habitude de décomposer la fonction $f$ en la différence de sa partie positive $f^+$ et de sa partie
n\'egative $f^-$.\\
\end{demo}


\dexer{\it Un contrexemple à Fubini si $f$ n'est pas sommable:}
($\cite{Du}$, p 472) : \\

Soit $f(x,y)=e^{-xy}-2e^{-2xy}$. Vérifier que :\\

$$\int_{0}^{1}\int_{1}^{\infty} f(x,y)dydx >0$$

$$\int_{1}^{\infty}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy<0$$

\fexer

\begin{remf}
1) Tout ce qui précède s'étend sans peine si au lieu de considérer des mesures finies, on prend des mesures $\s$-finies
mais pas au-delà (contre-exemple dans $\cite{W}$). La conclusion 2) du théorème de Fubini s'obtient par simple
convergence monotone et la conclusion 3) par le théorème de Lebesgue.\\

2) D'autre part, au lieu de considérer deux espaces, on peut très bien en considérer un nombre fini arbitraire $n$ :
 $(\O_i,\cF_i,\mu_i)_{i=1\ldots n}$. La tribu produit $\otimes_{i=1}^{n} \cF_i$ est définie comme la tribu engendrée par
  les $(\r_1,\ldots, \r_n)$, les projections canoniques de $\O$ sur $\O_1,\ldots,\O_n$. Cette tribu produit est générée par
  le $\pi$-système $\left\{A_1\times\ldots\times A_n \; ;\; A_i \in \cF_i\right\}$.\\

3) On remarquera que pour aboutir au théorème de Fubini, on a utilisé de manière fréquente le théorème de la classe monotone.
Il est en fait très difficile de définir les mesures produits sans y avoir recours d'une manière ou d'une autre. En
 particulier, la ``machine standard'' ne fonctionne pas alors que la plupart du temps où l'on utilise le théorème de la
 classe monotone, un argument ``machine standard'' peut être utilisé.
\end{remf}


\noindent {\bf Exemple} : Soit $X: (\O,\cF,\PP) \rightarrow (\RR, \cB (\RR), dx)$ une variable aléatoire. Soit
$\O\times\RR$ muni de
 $d\PP\otimes dx$ et $A=\{(\o,x) \; /\; 0\leq x < X(\o)\}$. $A$ est $\cF \otimes \cB (\RR)$-mesurable et l'on a par
 Fubini:
$$\mu(A)=\int_{[0;+\infty)} \PP (X>x) dx = \int_{\O} X(\o) d\PP (\o) ={\mathbb E} (X)$$
et donc
$${\mathbb E} (X)= \int_{\RR^+} (1-F(x))dx$$

\noindent Un autre conséquence importante du théorème de la classe monotone est la suivante :

\begin{propf}
$f$ est $\otimes_{i=1}^{n} \cF_i$-mesurable ssi $f=G(\r_1,\ldots,\r_n)$ où $G$ est une fonction borélienne.
\end{propf}


\section{Tribus et mesures produits pour une infinité d'espaces}

\noindent
Cette section s'inspire de $\cite{Du}$.

\begin{thf}\textbf{(de Kolmogorov)}\\
On suppose donnée une suite de mesures de probabilités $(\mu_n)_n$ sur $(\RR^n, \cB (\RR^n))$ consistantes,
c'est-à-dire :
$$\mu_{n+1} ((a_1,b_1]\times\ldots\times(a_n,b_n]\times \RR)=\mu_n ((a_1,b_1]\times\ldots\times(a_n,b_n])$$
Alors il existe une unique probabilité $\PP$ sur $(\RR^{\NN},\cB (\RR^\NN))$ telle que :
$$\mbox{(*)  }\PP(\o,\; ;\; \o_i \in (a_i,b_i], 1\leq i \leq n)=\mu_n ((a_1,b_1]\times\ldots\times(a_n,b_n])$$
\end{thf}

\begin{demo} Précisons d'abord ce que nous entendons par $(\RR^{\NN},\cB (\RR^\NN))$. Cette tribu est la tribu
borélienne sur $\RR^\NN$ muni de la topologie de la convergence simple. C'est aussi, comme dans le cas
fini-dimensionnel, la tribu produit $\otimes_{n=0}^{\infty}\cB (\RR)$ engendrée par les projections canoniques. Ces
deux tribus  sont en effet engendrées par les rectangles fini-dimensionnels $\left\{\o \in \RR^{\NN}\; ; \; \o_i \in
(a_i, b_i], \; i=1,\ldots ,n \right\}$ où $-\infty \leq a_i < b_i \leq +\infty$ (rectangles non nécessairement bornés).
\\

Mais il faut faire attention, si $C$ est un ensemble non dénombrable, $\cB (\RR^C)$ ($\RR^C$ est muni de la topologie
la moins fine rendant continues les projections canoniques) est plus grand que $\otimes_{\g \in C}\cB (\RR)$ (que l'on
peut encore définir que $C$ soit dénombrable ou pas). Bref, dans le cas dénombrable, tout se passe bien mais dans le
cas non dénombrable, quelque petites pathologies peuvent survenir.\\

 L'ensemble des réunions finies  de
rectangles fini-dimensionnels est une algèbre qui génère $\cB (\RR^\NN)$ notée $\cA$. On définit alors $\PP$ sur $\cA$
par (*). La condition de consistance garantit la
cohérence de la définition de $\PP(A)$ (i.e. ne dépend pas de l'écriture de $A$).\\

Par définition même de $\PP$, $\PP$ est additive sur $\cA$. Il reste à montrer, afin d'utiliser le théorème de
Carathéodory, qu'elle est $\sigma$-additive sur $\cA$.

\begin{lemf}
Si $B_n \in \cA$, $B_n \downarrow \emptyset$ alors $\PP (B_n) \downarrow 0$.
\end{lemf}

\begin{demo}
Supposons que $\PP (B_n) \downarrow \d >0$. Pour chaque $n$, on écrit $B_n$ sous la forme d'une réunion disjointe de rectangles fini-dimensionnels
$$B_n = \cup_{k=1}^{K_n} \left\{ \o \; ; \; \o_i \in (a_i^k,b_i^k], 1\leq i \leq n\right\}$$
En fait, on devrait \'ecrire
$$B_n = \cup_{k=1}^{K_n} \left\{ \o \; ; \; \o_i \in (a_i^k,b_i^k], 1\leq i \leq \phi(n)\right\}$$
o\`u $(\phi(n))_n$ est une suite strictement croissante. Afin d'all\'eger les \'ecritures, on a pos\'e $\phi(n)=n$ (mais la preuve reste exactement la m\^eme sinon).\\
L'idée de la preuve consiste à approximer $B_n$ par des compacts $D_n$ qui ont presque la même probabilité que $B_n$ (donc non vides car de probabilité strictement positive) et d'utiliser un argument d'extraction diagonal pour montrer que $\cap_n D_n = \emptyset$ (ce qui est exclu pour une intersection de compacts non vides).\\
Pour chaque $n$, il existe des suites de réels $(\bar{a}_i^k)_{i=1\ldots n, k=1\ldots K_n}, (\bar{b}_i^k)_{i=1\ldots n, k=1\ldots K_n}$ telles que
$$\mu_{n}\left(\prod_{i=1}^{n}(a_i^k, b_i^k] - \prod_{i=1}^{n}[{\bar a}_i^k, {\bar b}_i^k]\right) \leq \cfrac{\d}{2^{n+1}K_n}$$
donc en prenant $C_n=\cup_{k=1}^{K_n} \left\{\o \; ; \; \o_i \in [{\bar a}_i^k, {\bar b}_i^k], \; 1\leq i \leq n\right\}$, on a
$$\PP(B_n \backslash C_n) \leq \cfrac{\d}{2^{n+1}}$$
On pose $D_n =\cap_{m=1}^{n} C_m$. On a
$$\PP(B_n \backslash D_n) \leq \sum_{m=1}^{n} \PP(B_m \backslash C_m) \leq \d/2 $$
Par conséquent, $\PP (D_n) \downarrow \e \geq \d/2$. En particulier, $(D_n)_n$ est non vide pour tout $n$.\\
On introduit les sous-ensembles de $\RR^n$, $C_n^*, D_n^*$ tels que
$$C_n = C_n^*\times \RR\times \ldots\times \RR \times \ldots$$
$$D_n = D_n^*\times \RR\times \ldots \times \RR \times \ldots$$
$C_n^*$ est un compact non vide pour tout $n$ et on a :
$$D_n^*= C_n^* \cap \cap_{m=1}^{n-1} (C_m^* \times \RR^{n-m})$$
qui est donc un compact non vide de $\RR^n$ (non vide car $D_n$ est non vide).\\
On utilise alors un argument d'extraction diagonale. Pour tout $m \in \NN^*$, soit $\o^m \in D_m \subset \RR^{\NN}$. $\o^m \in D_m \subset D_1$ donc $\o^m_1 \in D_1^*$ qui est compact. On peut extraire une sous-suite $(\o^{\phi_1 (m)})_m$ de $(\o^m)_m$ telle que $(\o^{\phi (m)}_1)_m$ converge vers un certain réel $\theta^1 \in D_1^*$. Or $\o^{\phi_1(m)} \in D_{\phi_1 (m)} \subset D_2$ donc on peut extraire une sous-suite $(\o^{(\phi_1\circ\phi_2)(m)})_m$ de $(\o^{\phi_1 (m)})_m$ telle que $((\o^{(\phi_1\circ\phi_2)(m)}_1,\o^{(\phi_1\circ\phi_2)(m)}_2))_m$ converge vers un certain $\theta^2 \in D_{2}^{*}\subset \RR^2$ et bien entendu $\theta^2_1 =\theta^1 \in D_1^*$... Bref, on construit $\theta \in \RR^{\NN^*}$ tel que pour tout $i\in \NN^{*}, \theta_i \in D_i^*$ donc tel que $\theta \in D_k$ pour tout $k$ et donc
$$\emptyset \neq \cap_{k} D_k \subset \cap_{k} B_k =\emptyset$$
On aboutit à une contradiction et le lemme est ainsi prouvé.
\end{demo}

Ceci conclut la preuve du théorème de Kolmogorov (l'unicité découle comme d'habitude du théorème de Dynkin).
\end{demo}


\begin{remf}
1. Ce théorème est encore valable quand $\RR$ est remplacé par un espace de Lusin $E$ (i.e. $E$ homéomorphe à un Borélien d'un espace métrisable compact). On pourra trouver des compléments dans \textit{Diffusions, Markov processes and Martingales}, Rogers and Williams, Vol.1.\\
2. Le théorème de Kolmogorov montre que si l'on se donne une loi $\mu$ sur $\RR$, on peut trouver un espace probabilisé
$(\O,\cF,\PP)$ et des variables aléatoires sur $(\O,\cF)$ de loi $\mu$ et indépendantes entre elles (prendre
$\mu_n=\otimes^n \mu$). En TD (modèle de pile ou face), on verra une construction à la main dans ce cas.
\end{remf}
