\section{D\'efinitions et propri\'et\'es}

Nous pr\'esentons ici les d\'efinitions et propri\'et\'es \'el\'ementaires relatifs au processus de Poisson telles qu'on peut les trouver dans \cite{Br}. On peut dire beaucoup plus de choses sur le processus de Poisson que ce qui est dit ici. On trouvera de nombreuses informations dans \cite{King}. Les processus de Poisson sont souvent mal pr\'esent\'es dans les livres de probailit\'es \'el\'ementaires. \cite{Br} fait \`a peu pr\`es exeption...


\begin{deff}
Un processus de pointage sur le demi axe positif $\RR^{+}$ est une suite $(T_n)_{n\geq 0}$ de variables al\'eatoires strictement positives ($\PP$ p.s.) telles que presque s�rement:\\
i) $T_0 =0$\\
ii) $0< T_1 < T_2 < \ldots $\\
iii) $\lim_{n\rightarrow \infty} T_n =+\infty$
\end{deff}

La suite $(S_n)_n$ d\'efinie par $S_n = T_n-T_{n-1}$ est appel\'ee la suite des inter-\'ev\'enements ou des inter-arriv\'ees (terme clair dans le contexte des files d'attente). Pour tout interval $(a,b]$ de $\RR^+$, on d\'efinit la variable al\'eatoire
$$N((a,b])=\sum_{n\geq 1} \indic_{(a,b]} (T_n)$$
et on simplifie souvent l'\'ecriture en notant $N(a,b)$ au lieu de $N((a,b])$. Dans le cas particulier o� $(a,b]=(0,b]$, on pose $N(b)=N((0,b])$. En particulier, on a $N(0)=0$ et $N(a,b)=N(b)-N(a)$. 

\begin{propf}
Soit $(T_n)_n$ un processus de pointage sur l'espace probabilis\'e $(\Omega, {\cF}, \PP)$. Pour $\PP$ presque tout $\omega \in \Omega$, la trajectoire $t \rightarrow N(t,\omega)$ est croissante, continue \`a droite avec des limites \`a gauche (c\`adl\`ag).  
\end{propf}

La famille de variables al\'eatoires $\{N(t)\}_{\t\geq 0}$ est appel\'ee le processus de comptage associ\'e au processus de pointage $(T_n)_n$. 

\begin{deff}
Un processus de pointage $N$ sur le demi-axe positif est appel\'e un processus de Poisson homog\`ene avec intensit\'e $\lambda>0$ si :\\
i) Pour tout temps $t_i$, $i\in \{1,\ldots,k\}$ tels que $0\leq t_1 \leq t_2 \leq \ldots \leq t_k$, les variables al\'eatoires $N(t_i, t_{i+1}]$, $i\in \{1,\ldots,k-1\}$ sont ind\'ependantes.\\
ii) Pour tout interval $(a,b] \subset \RR^+$, $N(a,b]$ est une variable al\'eatoire de Poisson avec moyenne $\lambda(a-b)$.\\
Ainsi pour tout entier $k\geq 0$, 
$$\PP (N(a,b)=k)=e^{-\lambda(b-a)}\cfrac{[\lambda(b-a)]^k}{k!}$$
et en particulier
$${\mathbb E} [N(a,b)]=\lambda (b-a)$$
Dans ce sens, $\lambda$ s'interpr\`ete comme une ``densit\'e de points''. 
\end{deff}

La condition i) porte le nom de ``propri\'et\'e d'ind\'ependance des accroissements''. En particulier, d'apr\`es le th\'eor\`eme des coallitions, $N(a,b)$ est ind\'ependant de $(N(s),s \in (0,a])$. Pour cette raison, on dit souvent que le processus de Poisson est dans m\'emoire. 
Passons maintenant au premier th\'eor\`eme important concernat les processus de Poisson.

\begin{thf}
Soit $N$ un processu de Poisson d'intensit\'e $\lambda$. La suite d'inter\'ev\'enements $(S_n)_n$ est une suite de variables al\'eatoires $i.i.d.$ de loi exponentielle de param\`etre $\lambda$.
\end{thf}

\begin{demo}
On reproduit la d\'emonstration de \cite{GS} mais sans la faute (d'expression)! On consid\`ere $S_1 =T_1$ et on va montrer que $S_1$ est distribu\'ee selon une loi exponentielle de param\`etre $\lambda$. En effet, on a 
$$\PP(S_1 >t)=\PP( N(t)=0)=e^{-\lambda t}$$
Maintenant, nous allons conditionner relativement \`a $S_1$. La preuve de \cite{GS} est la suivante :
$$\PP(S_2 > t | S_1=t_1)=\PP (\mbox{pas d'arriv\'ee dans} (t_1, t_1 +t] | S_1 =t_1)$$
L'\'ev\'enement $\{S_1 = t_1\}$ est reli\'e aux arriv\'ees durant l'intervalle de temps $[0,t_1]$ tandis que l'\'ev\'enement {pas d'arriv\'ees dans $(t_1, t_1 +t]$} est reli\'e aux arriv\'ees apr\`es le temps $t_1$. Ces \'ev\'enements sont \textit{ind\'ependants} ...
Arr�tons nous! Que signifie ``$\{S_1 =t_1\}$ est ind\'ependant de ...'' puisque cet \'ev\'enement est de probabilit\'e nulle ? En fait cela ne signifie pas grand chose si c'est \'enonc\'e tel quel (bien qu'il soit clair que ce soit clair dans l'esprit de \cite{GS}). La bonne formulation (jusqu'\`a preuve du contraire) doit se faire via les lois conditionnelles. On rappelle la propri\'et\'e suivante :
\begin{propf}
(Propri\'et\'e de transfert conditionnel)\\
Si $X\in{\mathbb R}^p$ et $Y\in{\mathbb R}^{k}$ sont deux variables al\'eatoires et $f: {\mathbb R}^{p+k}\rightarrow {\mathbb R}^{q}$ bor\'elienne, alors
$$\PP(f(X,Y)\in \cdot|X=x)=\PP(f(x,Y)\in \cdot|X=x)$$
En particulier, si $X$ et $Y$ sont ind\'ependantes, on a 
$$\PP(f(X,Y)\in \cdot|X=x)=\PP(f(x,Y)\in \cdot)$$
\end{propf}
Ce que l'on peut dire est : la variable al\'eatoire $S_1$ est ind\'ependante de la variable al\'eatoire $N(t_1 +t)-N(t)$ et par la propri\'et\'e de transfert conditionnel, on a :
$$\PP (S_2 > t | S_1 =t_1)= \PP (\indic_{\{0\}} (N(S_1 +t) - N(S_1)) |S_1=t_1)=\PP(\indic_{\{0\}} (N(t_1 +t) - N(t_1)))= e^{-\lambda t} $$
ce qui prouve que $S_2$ est ind\'ependant de $S_1$ et a une distribution exponentielle de param\`etre $\lambda$. La preuve se poursuit par r\'ecurrence en en conditionnant l'\'ev\'enement $\{S_{n+1} >t\}$ relativement \`a $\{S_1 = t_1,\ldots, S_n = t_n\}$
\end{demo}

On passe maintenant \`a un th\'eor\`eme assez simple et naturel. Ques se passe-t-il si l'on met en comp\'etition deux processus de Poisson ind\'ependants ?

Avant d'\'enoncer le th\'eor\`eme, commen�ons par une remarque \'el\'ementaire. On se donne deux processus de Poisson ind\'ependants $N^1$ et $N^2$ d'intensit\'es respectives $\lambda_1$ et $\lambda_2$ et d\'efinis via leurs temps d'arriv\'ee $(T_n^1)_n$ et $(T_n^2)_n$. Il est facile de voir que $(T_n^1)_n$ et $(T_n^2)_n$ n'ont pas de points en commun (ormis $0$). En effet, cela r\'esulte du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent puisque pour tout $k,\ell \geq 1$, $T_k^1$ et $T_{\ell}^2$ ont une densit\'e par rapport \`a la mesure de Lebesgue et sont ind\'ependantes si bien que $\PP (T_k^1 =T_\ell^2)=0$.\\

\begin{thf}
Sous les conditions pr\'ec\'edentes, le processus de pointage $(T_n)_n$ d\'efini par la r\'eunion de $\{T_n^1;\; n\geq 1\}$ et $\{T_n^2;\; n\geq 1\}$ est un processus de pointage associ\'e \`a un processus de Poisson de param\`etre $\lambda=\lambda_1 +\lambda_2$. 
\end{thf}

\begin{demo}
Il suffit de remarquer que le processus de comptage $N$ associ\'e au processus de pointage $(T_n)_n$ v\'erifie $N(a,b)=N^1 (a,b) +N^{2} (a,b)$. Cependant, a priori, il n'est pas \'evident que $\lim_{n\rightarrow \infty} T_n = +\infty$. On v\'erifie sans peine que $\mathbb E (N(a))=\lambda a < +\infty$ donc que presque s�rement pour tout $a>0$, $N(a) <+\infty$, ce qui est \'equivalent \`a $\lim_{n \rightarrow \infty} T_n = +\infty$. 
\end{demo}

On peut g\'en\'eraliser le th\'eor\`eme de superposition pr\'ec\'edent avec un nombre infini (d\'enombrable) de processus de Poisson ind\'ependants.

\begin{thf}
Soit $\{N^i\}_i$ une suite de processud de Poisson ind\'ependants avec des intensit\'es respectives $\lambda_i>0$ telles que $\lambda= \sum_{i} \lambda_i < +\infty$. Soit $(T_n)_n$ le processus de pointage obtenu par r\'eunion des processus de pointage des $(N^i)_i$ (remarquer qu'il n'ya pas risque de superposition d'un $T_k^i$ avec un $T_\ell^j$ pour $i \neq j$). Le processus de comptage associ\'e \`a $(T_n)_n$ est un processus de Poisson d'intensit\'e $\lambda$.\\

D'autre part, d\'enotons par $Z=T_1$ le premier temps d'arriv\'ee de $N=\sum_{i} N^i$ et par $J$ l'indice du processus de Poisson responsable du premier saut de $N$. Alors $Z$ et $J$ sont ind\'ependants; la loi de $Z$ est une exponentielle de param\`etre $\lambda$ et la loi de $J$ est donn\'ee par $\PP (J =i)= \cfrac{\lambda_i}{\lambda}$. 
\end{thf}

\begin{demo}
La premi\`ere partie du th\'eor\`eme se d\'emontre comme dans le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent. En particulier, la loi de $Z$ est une exponentielle de param\`etre $\lambda$. Le fait que $J$ soit bien d\'efinie r\'esulte du fait que la probabilit\'e pour que deux processus $N^i$ et $N^j$ aient un saut en commun est nulle. On va d'abord consid\'erer le cas d'un nombre fini $K$ de processus de Poisson ind\'ependants. On a \`a montrer que si $(X_1,\ldots,X_K)$ sont $K$ variables al\'eatoires ind\'ependantes de loi exponentielle de param\`etres respectifs $\lambda_1,\ldots,\lambda_K$, si $Z_K = \inf (X_1,\ldots,X_K)$ et si $J_K$ est d\'efinie par $X_{J_K} = Z_K$ alors
$$\PP(J_K =i, Z_K \geq a)=\cfrac{\lambda_i}{\lambda_1 +\ldots+ \lambda_K} \exp\{-(\lambda_1+\ldots+\lambda_K)a\}$$
Cette \'egalit\'e se montre facilement. Pour \'etendre ce r\'esultat au cas $K=+\infty$, on remarque que l'\'ev\'enement $\{J_K =i, Z_K \geq a\}$ d\'ecro�t avec $K$ vers l'\'ev\'enement $\{J=1, Z \geq a\}$.   
\end{demo}


