\section{Processus de Poisson (version élégante)}
Cette introduction conclue à la hâte est tirée de \cite{King}. 

\subsection{Généralités}

Bien que pouvant être développée sur des espace plus généraux, nous restreindrons notre étude aux espaces multidimensionnels $\RR^d$. On notera ${\cal B}(\RR^d)$ la tribu des boréliens de $\RR^d$. Dans toute la suite $(\Omega, {\cal F},\mathbb P)$ désignera un espace probabilisé fixé.\\

On dira qu'une fonction $\Pi$ de $\Omega$ dans ${\cal B}(\RR^d)$ est un ensemble aléatoire dénombrable si et seulement si :\\
i) Pour tout $\omega \in \Omega$, $\Pi(\omega)$ est un borélien dénombrable (bien entendu, ici, le fait que $\Pi$ soit à valeurs dans ${\cal B}(\RR^d)$ est superfétatoire).\\
ii) Pour tout borélien $A$, la fonction $N(A):\Omega \rightarrow \NN\cup\{\infty\}$ définie par $N(A)(\omega)=\text{Card}(\Pi(\omega)\cap A)$ est mesurable. 

\begin{deff}
Un processus de Poisson sur $\RR^d$ est un ensemble aléatoire (sur $\RR^d$) dénombrable tel que :\\
i) Pour toute séquence finie d'ensembles disjoints, les variables aléatoires $N(A_1),\ldots,N(A_n)$ sont indépendantes.\\
ii) $N(A)$ a pour loi une loi de Poisson de paramètre $\mu(A)\in [0,+\infty]$.\\
\end{deff}

\begin{remf}
La convention adoptée est la suivante. Une loi de Poisson de paramètre $0$ est la masse de Dirac en $0$. Une loi de Poisson de paramètre infini est la masse de Dirac concentrée sur $+\infty$.
\end{remf}

Il est aisé de remarquer que $\mu :{\cal B}(\RR^d)\rightarrow [0,+\infty]$ est en fait une mesure (de masse non nécessairement finie) que l'on appelle la \textit{mesure moyenne} du processus. Toute mesure $\mu$ ne peut être une mesure moyenne. En effet, supposons que $\mu$ soit une mesure moyenne associée à un processus de Poisson $\Pi$ et qu'elle soit atomique. Il existe alors $x\in \RR^d$ tel que $m=\mu(\{x\})>0$ et $\mu(\{x\})={\mathbb E}(N(\{x\})\leq 1$ car $N(\{x\})\leq 1$. Or on a 
$${\mathbb P}(N(\{x\})\geq 2)=1-e^{-m}-me^{-m}>0$$
et il y a contradiction avec le fait que $N(\{x\})\leq 1$.\\

Ainsi, une mesure moyenne doit être non atomique.\\

Dans le cas où la mesure moyenne du processus de Poisson est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue avec une densité $\lambda(x)$, on dit que $\lambda$ est l'intensité du processus (en dimension $1$, on parle de taux). Dans le cas où $\lambda$ est une fonction constante, on parle de processus homogène ou uniforme.  

\section{Superposition, restriction et transformation}

\begin{thf}(de superposition)\\
Soit $\Pi_1,\Pi_2,\ldots$ une collection dénombrable de processus de Poisson sur $\RR^d$ tels que $\Pi_n$ ait pour mesure moyenne $\mu_n$. Alors la superposition $\Pi$ des $\Pi_n$ définie par
$$\Pi=\cup_{n=1}^{\infty} \Pi_n$$
est un processus de Poisson de mesure moyenne
$$\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\mu_n$$
\end{thf}

\begin{thf}(de restriction)\\
Soit $\Pi$ un processus de Poisson avec mesure moyenne $\mu$ et soit $S$ un borélien de $\RR^d$. Alors l'ensemble aléatoire dénombrable
$$\Pi_1 =\Pi\cap S$$
est un processus de Poisson sur $\RR^d$ avec mesure moyenne
$$\mu_1 (A)=\mu (A\cap S)$$
et un processus de Poisson sur $S$ de mesure moyenne la restriction de $\mu$ à $S$. 
\end{thf}

\begin{thf}(de transformation)\\
Soit $\Pi$ un processus de Poisson avec une mesure moyenne $\mu$ $\sigma$-finie sur $\RR^d$ et soit $f:\RR^d\rightarrow \RR^k$ une fonction mesurable telle que la mesure image $\mu^*$ de $\mu$ par $f$ soit non atomique. Alors $f(\Pi)$ est un processus de Poisson de mesure moyenne $\mu^*$.  
\end{thf}

\subsection{Théorème d'existence}

Nous passons maintenant à la question de l'existence d'un processus de Poisson associé à une mesure donnée (non atomique) $\mu$. 

\begin{thf}
Soit $\mu$ une mesure non atomique sur $\RR^d$ qui peut s'écrire
$$\mu =\sum_{n=1}^{\infty}\mu_n, \; \mu_n (\RR^d)<\infty$$
Alors il existe un processus de Poisson sur $\RR^d$ ayant $\mu$ pour mesure moyenne.
\end{thf}

\begin{remf}
La condition sur $\mu$ est moins restrictive que la condition de $\sigma$-finitude qu'elle implique.
\end{remf}

La démonstration de l'existence est en fait basée sur une description du processus de Poisson qui est la suivante. Soit $\Pi$ un processus de Poisson associée à une mesure moyenne $\mu$ supposée de masse finie. On cherche à déterminer la loi de $\Pi$ conditionnellement à $N(\RR^d)=n$, qui est donc un ensemble aléatire à $n$ points. Soit $p$ la probabilité définie par $\p(\cdot)=\mu(\cdot)/\mu(\RR^d)$ et $X_1,\ldots,X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes de loi $p$. Du fait que la mesure $\mu$ est non atomique, la probabilité pour qu'il existe $i\neq j$ tels que $X_i = X_j$ st nulle.\\
Conditionnellement à $N(\RR^d)=n$, $\Pi$ est distribué comme $\{X_1,\ldots,X_n\}$ (voir Kingman pour une formulation précise).

\subsection{Processus de Poisson marqués}

\begin{thf}(théorème de la boîte de peinture)\\
Soit $\Pi$ un processus de Poisson sur $\RR^d$ de mesure moyenne $\mu$. Supposons que les points de $\Pi$ soient colorés aléatoirement avec $k$ couleurs, la probabilité de colorer un point avec la couleur $i$ étant $p_i$. On suppose que le coloriage se fait de manière indépendante et indépendamment des points de $\Pi$.\\
Soit $\Pi_i$ l'ensemble des points de $\Pi$ qui ont été coloriés avec la couleur $i$. Alors les $\Pi_i$ sont des processus de Poisson indépendants avec pour mesure moyennes respectives $\mu_i=p_i\mu$.
\end{thf}

Nous passons maintenant à une généralisation du théorème précédent connu sous le nom de théorème de marquage. L'idée est la suivante. On se donne un processus de Poisson $\Pi$ et en chaque point $X\in \Pi$, on attache une marque $m_X$. La loi de $m_X$ peut dépendre de $X$ mais non des autres points de $\Pi$ et donc les $m_X$ sont indépendantes. Cette formulation demeure trop floue. En effet, les $m_X$ sont donc indexés par les point $X$ de $\Pi$ mais cet ensemble est aléatoire. On pourrait être tenté de se donner dès le départ une famille $(m_x)_x$ de variables aléatoires indexées par $x\in\RR^d$ indépendantes entre elles et indépendante de $\Pi$ mais se pose alors l'existence d'une telle famille. La manière la plus simple de décrire ce que l'on veut est d'utiliser la notion de noyaux de transition que l'on a vu dans le chapitre sur l'espérance conditionnelle.\\
Soit $\Pi$ un processus de Poisson sur $\RR^d$ avec mesure moyenne $\mu$. On se donne un autre espace mesuré $\RR^k$ muni de la tribu des boréliens et qui sera l'espace des marques. On considère d'autre part une probabilité de transition $p:{\RR^d} {\times} {\cal B}(\RR^k) \rightarrow [0,1]$, c'est-à-dire une application telle que pour tout $x\in \RR^d$, $p(x,\cdot)$ soit une probabilité et pour tout borélien $B$ de $\RR^k$, l'application $p(\cdot, B)$ soit mesurable. Un marquage de $\Pi$ est un ensemble aléatoire sur $\RR^d\times \RR^k$ de la forme
$$\Pi^* = \{(X, m_X);\; X \in \Pi\}$$ 
tel que\\
i) La projection de $\Pi^*$ sur $\RR^d$ soit $\Pi$.\\
ii) Conditionnellement à $\Pi$, la distribution des $(m_X)_{X\in \Pi}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de distributions respectives $\pi(X,\cdot)$.\\

\begin{thf}
L'ensemble aléatoire dénombrable $\Pi^*$ est un processus de Poisson sur $\RR^d\times \RR^k$ avec mesure moyenne $\mu^*$ donnée par
$$\mu^{*}(C)=\int_C\mu(dx)p(x,dm) $$
\end{thf} 

Un corrolaire immédiat est le théorème de déplacement

\begin{thf} (de déplacement)
Soit $\Pi$ un processus de Poisson sur $\RR^d$ avec une intensité $\lambda(x)$. On suppose que les points de $\Pi$ sont déplacés de manière aléatoire et chaque déplacement est exécuté indépendamment des autres. On suppose que la loi du déplacement d'un point de $\Pi$ situé en $x\in \RR^d$ est une loi à densité $\rho(x,\cdot)$.\\
Alors les point déplacés forment un processus de Poisson $\Pi'$ avec intensité $\lambda'$ donnée par
$$\lambda' (y)=\int_{\RR^d} \lambda (x) \rho (x,y)dx$$
En particulier, si l'intensité est une fonction constante égale à $\lambda$ et si $\rho (x,y)$ est une fonction de $y-x$ alors $\lambda (y)=\lambda$ pour tout $y$. 
\end{thf}

\begin{remf}
La formulation de ce théorème peut paraître floue. Pour en donner une formulation rigoureuse, il suffit de paraphraser ce théorème à l'aide de noyaux de transition comme on l'a fait pour le théorème de marquage.
\end{remf}


On trouvera dans \cite{King} les preuves et des applications de ces théorèmes à des modèles écologiques, de traffic routier ...