\dexer{D\'eveloppement limit\'e de la fonction caract\'eristique ($\cite{O}$ p. 323)}\\

Soit $X$ une variable al\'eatoire \`a valeurs dans ${\mathbb R}$ admettant un moment d'ordre $2$. Soit $\phi_{X}$ sa fonction caract\'eristique.\\

\quest 1) Montrer que pour tout r\'eel $x$
$$\exp(ix)=1+ix-x^{2}\int_{0}^{1}(1-u)\exp(iux)du$$

\quest 2) En d\'eduire
$$\left|\exp(ix)-\left(1+ix-x^{2}/2\right)\right|\leq x^{2}$$

\quest 3) En appliquant la m\^eme m\'ethode (Taylor avec reste int\'egral \`a l'ordre 3), montrer que
$$\left|\exp(ix)-\left(1+ix-x^{2}/2\right)\right|\leq |x|^{3}/6$$

\quest 4) En d\'eduire
$$\left|\exp(ix)-(1+ix-x^{2}/2)\right|\leq \inf(|x|^{2},|x|^{3}/6)$$
puis
$$\left|\phi_{X}(t)-\left(1+it\E(X)-\cfrac{t^2}{2}\E(X^{2})\right)\right|\leq t^{2}\E\left[\inf(|X|^{2},|t||X|^{3}/6)\right]$$
Remarquer en particulier le d\'eveloppement limit\'e en $o(t^2)$ ainsi obtenu.
\fexer


\begin{thf}
($\cite{O}$ p. 325, grande application du théorème de Lévy))\\
Soit $(X_{n})_{n\geq 1}$ une suite de variables al\'eatoires d\'efinies sur le m\^eme espace de probabilit\'e $(\Omega, {\cal F},\Pro)$ \`a valeurs dans ${\mathbb R}^{d}$, i.i.d. et admettant un moment d'ordre $2$ (c'est-\`a-dire dont le carr\'e de la norme euclidienne est int\'egrable). Alors la suite de terme g\'en\'eral $Y_{n}$ d\'efini par
$$Y_{n}=\cfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{n}(X_{j}-\E(X_{j}))$$
converge en loi vers une gaussienne centr\'ee dont la matrice de covariance $C$ est celle des $X_{i}$.
\end{thf}


\quest 1) Montrer que la fonction caractéristique de $Y_n$ est donnée par

\begin{equation*}
\phi_{Y_n}(t)=\left[\phi_{<X_1-\E(X_1),t>}\left(\cfrac{1}{\sqrt{n}}\right)\right]^n.
\end{equation*}

\quest 2) En déduire par le lemme précédent le développement asymptotique

\begin{equation*}
\phi_{Y_n}(t)=\left[1-\cfrac{1}{2n}\E(<X_1-\E(X_1),t>^2)+o\left(\cfrac{1}{n}\right)\right]^n.
\end{equation*}


\quest 3) Montrer que pour tout $z \in \mathbb{C}$,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\cfrac{z}{n} +o(\frac 1n)\right)^n=\exp(z)$$
(On utilisera le log complexe et un développement limité a l'ordre $1$).

\dsolution{} On procéder comme suit. D'abord on définit le logarithme complexe pour $|z|<1$ par
$\log(1+z)=z-\frac{z^2}2+\frac{z^3}3+\dots$. Pour $z\in ]-1,1[$ cette fonction holomorphe coïncide avec $\log(1+x)$ et
on a $e^{\log(1+x)}=1+x$, $x\in ]-1,1[$. Par le théorème des zéros isolés, on a donc $e^{\log(1+z)}=1+z$ pour $|z|<1$.
Enfin on a en considérant le développement en série $n\log(1+\frac zn +o(\frac 1n))\to z$. Donc en prenant
l'exponentielle $$e^{n\log(1+\frac zn+o(\frac 1n))}=(1+\frac zn+o(\frac 1n))^n\to e^z$$ quand $n\to \infty$.

\fsolution


\quest 4) En déduire
$$\lim_{n \rightarrow + \infty} \phi_{Y_n}(t)=\exp\left[-\cfrac{1}{2}<Ct,t>\right]$$

\quest 5) Conclure par le théorème de Lévy.


\dexer{\bf Théorème central limite  "local"}\\
Dans cet exercice, nous suivons $\cite{GS}$, pp. 195-196.\\
\begin{thf}\label{centrallimitelocal}
Soient $(X_n)_n $ des variables aléatoires réelles  i.i.d., centrées et de variance égale à 1, admettant une fonction  densité int\'egrable $g_1$.
On note $\phi(t)=\phi_X(t)$ la fonction caractéristique commune des $X_n$. On suppose que cette fonction est int\'egrable.\\
Alors la fonction densité $g_n$ de $U_n=\frac{X_1+\dots + X_n}{\sqrt n}$ existe et satisfait
$$g_n(x)\to \frac 1{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac 12 x^2}$$ quand $n\to \infty$, et la convergence  est uniforme pour $x\in \real$.
\end{thf}
On utilisera systématiquement les résultats de l'exercice précédent.

\quest 1) Montrer que $g_n$ existe et que $g_n(x)=\sqrt{n}(g_1\ast\dots\ast g_1)(  x\sqrt {n})$.
Suggestion : Pour bien apprécier la rapidité de la convergence, il est conseillé de
simuler sous Matlab cette convolution itérée, avec par exemple $g_1=\frac 12
\indic_{[-1,1]}$, ou n'importe quelle autre fonction positive, paire, et d'intégrale
égale à 1. On vérifiera pratiquement qu'une forme gaussienne parfaite apparaît pour
$g_n$ au bout de très peu d'itérations (moins d'une dizaine). Cela permet un
développement numérique très simple et très convaincant.  Montrer que $g_1=\frac
12\indic_{[-1,1]}$ ne vérifie pas les hypothèses du théorème, mais que $g_1\ast g_1$
les vérifie. En généralisant cet exemple, déduire une forme plus générale du thèorème
\ref{centrallimitelocal}. On pourra consulter \cite{F} pour avoir une id\'ee plus pr\'ecise de la vitesse de convergence.

  \quest 2) On note $\psi_n(t)$ la fonction caractéristique de $U_n$.
Montrer que
  $\psi_n(t)=\phi(\frac t{\sqrt n})^n$ puis que $g_n$ est donn\'ee par $g_n(x)=\frac
  1{2\pi}\int_{\real}e^{-itx}\psi_n(t)dt.$

  \quest 3) Montrer que $|\phi(t)|<1$ pour $t\neq 0$. \textit{Indications :
supposer que cela
  soit faux pour un certain $t$, poser $\phi(t)=e^{i\alpha}$ et regarder la partie réelle de
l'intégrale de
  Fourier
  définissant $\phi(0)-e^{-i\alpha}\phi(t)$.}

  \quest 4) Montrer qu'il existe $\delta$ tel que $|\phi(t)|\leq
e^{-\frac 14t^2}$
  pour $|t|\leq \delta$. On utilisera le fait que $1-t \leq e^{-t}$ pour tout réel $t$.

  \quest 5) Montrer que pour tout $a>0$,
  $\phi(\frac t{\sqrt n})^n\to e^{-\frac 12t^2}$
  uniformément pour $t\in [-a, a]$

  \quest 6) Montrer que $$ |g_n(x)-\frac 1{2\pi}e^{-\frac 12 x^2}|
  \leq \frac 1{2\pi}\int_{\real} |\phi(\frac t{\sqrt n})^n-e^{-\frac
12t^2}|dt=I_n.
$$

  \quest 7) Montrer que
  $$\int_{a\leq |t|\leq  \delta {\sqrt n}}
  |\phi(\frac t{\sqrt n})^n-e^{-\frac 12 t^2}|dt\leq
  2\int_a^\infty 2e^{-\frac 14 t^2}dt\to 0$$ quand $a\to \infty.$

\quest 8) On traite la partie de l'intégrale $I_n$ pour laquelle $|t|>\delta \sqrt n$.  On pose $\eta = \sup_{|t|\geq
\delta} |\phi(t)|<1.$  Montrer que
  $$\int_{ |t|\geq  \delta {\sqrt n}}
  |\phi(\frac t{\sqrt n})^n-e^{-\frac 12 t^2}|dt
  \leq \eta^{n-1}\int_{\real} |\phi(\frac t{\sqrt n})dt
   + 2\int_{\delta \sqrt n}^\infty e^{-\frac 12 t^2} \to 0$$
   quand $n\to \infty$.

  \quest 9) Conclure en utilisant les résultats des questions 5) à 8)

  \quest 10) En reprenant la démonstration pas à pas et en  signalant
les (petites)
  différences dans les formules, montrer que le théorème central limite
  local est encore vrai  pour
  des variables $X_n$ à valeurs dans $\real^d$.



\fexer

\dexer L'utilisation du th\'eor\`eme de L\'evy est la clef de voute de la preuve du th\'eor\`eme limite central. Dans
le m\^eme genre d'id\'ee, on peut prouver le th\'eor\`eme dit des \'ev\'enements rares ($\cite{O}$ pp. 321-323). La
preuve que l'on trouve dans $\cite{O}$, sans \^etre totalement fausse, n'est pas agr\'egativement acceptable.

\begin{thf}\textbf{Th\'eor\`eme des \'ev\'enements rares}
Soit pour tout $n\in \NN^{*}$ une famille finie $\{A_{n,j}| 1\leq j\leq M_n\}$ d'\'ev\'enements ind\'ependants
d\'efinis sur un espace probabilis\'e $(\O, {\cal F}, \PP)$. On pose $p_{n,j}=\PP (A_{n,j})$ et on note
$$S_{n}=\sum_{j=1}^{M_n} \indic_{A_{n,j}}$$
On suppose que la suite de terme g\'en\'eral $M_n$ tend en croissant vers $+\infty$ et que
$$\sup_{1\leq j\leq M_n} p_{n,j} \rightarrow_{n\rightarrow +\infty} 0, \; \; \sum_{j=1}^{M_n} p_{n,j} \rightarrow_{n\rightarrow +\infty} \lambda$$
o\`u $\lambda >0$. Alors la suite $(S_n)_{n \in \NN^{*}}$ converge en loi vers la loi de Poisson ${\cal P}(\lambda)$ de param\`etre $\lambda$.
\end{thf}
{\small Avant de montrer ce théorème,  remarquer qu'il généralise la convergence de la loi binomiale de paramètres
$(n,p)$ vers la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ quand $np\to\lambda$. Ensuite, l'interprétation est la même, mais
elle est plus souple et plus adaptée à la modélisation économique. Par exemple, $p_{n,j}$ représente la probabilité que
le client  potentiel $n$ se présente à une queue de supermarché. Les paramètres $n$ et $\lambda$ sont observables car
ils peuvent être estimés comme le nombre de clients  ayant passé à la caisse  à un certain moment de la journée, ce
nombre étant calculé sur une période très longue.  Et $\lambda$ représente le nombre moyen de clients observés à la
caisse à un moment donné de la journée. Bien sûr $p_{n,j}$ n'est pas observable, mais le but est de justifier la
validité de la loi de Poisson du nombre de clients passant à la caisse.}


 \quest 1) Montrer que la fonction caract\'eristique de $S_n$ est
$$\phi_{S_n} (t)=\prod_{j=1}^{M_n}\left[1+p_{n,j}(\exp(it)-1)\right]$$

\quest 2) On pose $z=\exp(it)-1$. Montrer qu'il existe $N\geq 1$ tel que pour $n\geq N$, et $j \in\{1,\ldots, M_n\}$,
$$1+p_{n,j}z =\exp\left\{\log\left[1+p_{n,j}z\right]\right\}$$
o\`u $\log$ d\'esigne une d\'etermination principale du logarithme complexe sur le plan fendu de Cauchy.

\quest 3) Montrer que
$$\log(1+z)=z-z^2\int_{0}^{1} (1-u)\cfrac{1}{(1+uz)^2}du, \; \; |z|<1$$

\quest 4) Montrer que pour tout $n\geq N$,
$$\left|\sum_{j=1}^{M_n} p_{n,j}^{2}\int_{0}^{1}\cfrac{1-u}{(1+up_{n,j}z)^2}du\right|\leq 2\left[\sup_{1\leq j\leq M_n} p_{n,j}\right]\left[\sum_{j=1}^{M_n} p_{n,j}\right]$$

\quest 5) En d\'eduire que $\sum_{j=1}^{M_n}\log(1+p_{n,j}z) \rightarrow_{n\rightarrow +\infty} \lambda z.$

\quest 6) Conclure par le th\'eor\`eme de L\'evy.  Regarder attentivement la d\'emonstration de $\cite{O}$ et rep\'erer
le passage qui n'est pas tr\`es clair. \fexer
