

%\textbf{Exercice 1}\\
%\vspace{0.25cm}
%Montrer que ${\cal A}=\{A\subset \mathbb R /[0;1]\subset A \; \mbox{ou} \;[0;1]\subset A^{c} \} $ est une alg\`ebre.
%\vspace{0.5cm}%



%\textbf{Exercice 2}\\
%\vspace{0.25cm}
%Montrer que si $({\cal A}_{i})_{i\in I}$ est une famille d'alg\`ebres sur un ensemble $\Omega$ ($I$ quelconque) alors $\bigcap_{i\in I}{\cal A}_{i}$ est une alg\`ebre sur $\Omega$.
%\vspace{0.5cm}

%\textbf{Exercice 3}\\
%\vspace{0.25cm}
%Soit $\Omega$ un ensemble et ${\cal A}=\{A\subset \mathbb {\cal P}(\Omega) / A \; \mbox{ou} \; A^{c} \; \mbox{d\'enombrable}\}$ est une tribu.
%\vspace{0.5cm}

%\textbf{Exercice 4}\\
%\vspace{0.25cm}
%Montrer que la tribu des bor\'eliens de $\mathbb{R}$ est engendr\'ee par :
%\begin{enumerate}
%\item la classe des intervalles ouverts born\'es
%\item la classe des intervalles born\'es $[a;b)$
%\item la classse des demi-droites ouvertes $(-\infty;a)$
%\item la classse des demi-droites ferm\'ees $(-\infty;a]$
%\end{enumerate}
%\vspace{0.5cm}

\vieilleversion{\dexer  Rappels : un ensemble négligeable de
$\real^N$ est un ensemble contenu dans un borélien de $\real^N$ de
mesure nulle. On ajoute à la tribu des boréliens les ensembles
négligeables. On obtient ainsi la tribu de Lebesgue.

\quest 1) Un ensemble est Lebesgue mesurable s'il diffère d'un
borélien par un ensemble de mesure nulle.


\quest 2) On dira qu'une fonction est Lebesgue-mesurable si elle
est mesurable de $\real^N, \LL$ dans $\real, \BB$ où $\BB$ est la
tribu de Borel. Une fonction est Lebesgue-mesurable si et
seulement si elle est presque partout égale à une fonction
borélienne. \fexer

\dexer {\small \it Solution :

 \quest 1) Soit $\LL$ la tribu de Lebesgue, i.e. la plus petite tribu
contenant les boréliens et les ensembles négligeables. Soit $\EE$
l'ensemble des ensembles $E$ qui diffèrent d'un borélien par un
ensemble négligeable, i.e. $(E=B\cup N_1)\setminus N_2$ où $B$ est
un borélien et $N_1, $ $N_2$ sont des ensembles négligeables. On a
$\EE\subset \LL$ et il suffit donc de vérifier que $\EE$ est une
tribu, ce qui va tout seul.

\quest 2) Si $f$ ne différe de $g$ borélienne que sur un ensemble
négligeable $N$, les ensembles $[f\leq a]$ et $[g\leq a]$ ne
diffèrent que d'un ensemble négligeable et donc $[f\leq a]$ est
bien Lebesgue-mesurable. Donc $f$ est Lebesgue-mesurable.
Réciproquement, considérons la classe $\HH$ des fonctions
Lebesgue-mesurables et la classe $\cal J$ des fonctions qui ne
diffèrent d'une fonction borélienne que sur un ensemble de mesure
nulle, et enfin l'ensemble $\cal 1$ des fonctions caractéristiques
d'ensembles Lebesgue-mesurables. On a par ce qui précède ${\cal
1}\subset {\cal J}\subset {\cal L} =\sigma ({\cal 1}).$   En
appliquant le théorème de la classe monotone, on voit que $\cal J$
contient toutes les fonctions $\sigma({\cal 1})$-mesurables et
donc $\cal L$. Donc $\cal J =\cal L$.

} \fexer}

\dexer \textbf{Exercice  (Lemme de Dynkin)} (Williams, p 193)\\
\vspace{0.25cm}\noindent Un $\pi$-système est un ensemble de parties de $\Omega$
stable par intersection finie.\ Un $\lambda$-système est un ensemble ${\cal L}$ de
parties de $\Omega$ tel que :
\begin{enumerate}
\item $\Omega \in {\cal L}$
\item ${\cal L}$ est stable par différence propre (i.e. $A,\; B\in {\cal L}$ et
$A\subset B$ entraînent $B\setminus A \in \cal L$.)
\item ${\cal L}$ est stable par r\'eunion d\'enombrable croissante
\end{enumerate}

\quest 1) Démontrer qu'une collection $\Sigma $ de sous-ensembles de $\Omega$ est une
tribu ($\sigma$-algebra) si et seulement si $\Sigma$ est à la fois un $\pi$-système
et un $\lambda$-système (en anglais, $d$-system).

\quest 2) On va montrer que si $\cal I$ est un $\pi$-système, alors la tribu
$\sigma({\cal I})$   engendrée par $\cal I$ et le $\lambda$-système engendré par
$\cal I$ sont égaux : $\lambda({\cal I})=\sigma({\cal I}).$ La démonstration est
détaillée dans les deux questions qui suivent.

\subquest 2a) Soit ${\cal D}_1=\{ B\in \lambda({\cal I}), \; B\cap C\in \lambda({\cal
I}),\; \forall C\in {\cal I}\}.$ Montrer que ${\cal D}_1$ hérite de la structure de
$\lambda$-système de $\lambda({\cal I}).$ En déduire que ${\cal D}_1=\lambda({\cal
I}).$

\subquest 2b) Posons ${\cal D}_2= \{A\in \lambda({\cal I}),
\;B\cap A\in \lambda({\cal I}),\; \forall B\in \lambda({\cal
I})\}.$  Par la question 2a), ${\cal D}_2$ contient $\cal I$.
Montrer que ${\cal D}_2$ hérite la structure de $\lambda$-système
de $\lambda({\cal I})$ et en déduire que $\lambda({\cal I})$ est
un $\pi$-système. (Se déduit de 2a) en substituant $\lambda({\cal
I})$ à $\cal I$ et en remarquant que $\lambda(\lambda({\cal
I}))=\lambda({\cal I}).$

\quest 3) Déduire le \textbf{th\'eor\`eme de Dynkin} :\\
Soit ${\cal P}$ un $\pi$-système et ${\cal L}$ un $\lambda$-système tel que ${\cal P}
\subset {\cal L}$. Alors la tribu engendr\'ee par ${\cal P}$ est contenue dans ${\cal
L}$. \vspace{0.5cm}

\fexer

\dexer{ (Il n'y a pas de tribu dénombrable. Cet exercice est extrait de Le Calcul
Integral, H. Buchwalter (ne donne pas la correction).)}\\
Soit ${\cal F}$ une tribu sur $\Omega$ suppos\'ee au plus d\'enombrable.\\
a) D\'emontrer que tout $\omega \in \Omega$ est contenu dans un plus petit élément
 de ${\cal F}$.\\
b) En d\'eduire que ${\cal F}$ est exactement la tribu engendr\'ee par une partition au plus d\'enombrable.\\
c) Montrer alors que ${\cal F}$ est n\'ecessairement finie de cardinal une puissance
de 2 et que donc il n'existe pas de tribu d\'enombrable au sens strict. \\
d) Trouver toutes les tribus de $\natural$.
\newline{\it Réponse : ce sont toutes les tribus engendrées par une partition. En
effet, on peut encore montrer la propriété a) : soit $n_0$ et prenons pour tout $n$
une partie $A_n$ contenant $n_0$ telle que $n\notin A_n$ (si un tel $A_n$ existe :
sinon prendre $A_n=\natural$). On pose $A(n_0)=\bigcap_nA_n$. Vérifier que c'est bien
le plus petit élément de la tribu contenant $n_0$.}
 \fexer

\dexer{(Exemple d'ensemble non bor\'elien) (Williams, p 192)}\\
\vspace{0.25cm}
Soit $(\mathbb{R},\; {\cal B}(\mathbb{R}), \;\lambda)$ l'espace des r\'eels muni de la tribu bor\'elienne et de la mesure de Lebesgue.\\
1) On d\'efinit la relation binaire suivante sur $\mathbb R$
$$x{\cal R}y \; \mbox{ssi} \; x-y \in \mathbb Q$$
Montrer que ${\cal R}$ est une relation d\''\'equivalence.\\
2) On d\'esigne par ${\cal C}$ l'ensemble des classes d\''\'equivalence. Montrer que que pour toute classe $C\in {\cal C}$ il existe $x\in C\cap[0,1)$. On choisit alors pour chaque classe $C$ un $x_{C}$ v\'erifiant la propri\'et\'e pr\'ec\'edente et on note $A=\{x_{C} / C \in {\cal C}\}$.\\
3) Montrer que
$$[0,1] \subset \bigcup_{q\in [-1,1]\cap\mathbb{Q}} q+A \subset [-1,2)$$
et que les $q+A$ sont deux \`a deux disjoints.\\
4) En supposant $A$ bor\'elien, aboutir \`a une contradiction. \fexer

\dexer {(Ensembles de Cantor)} (Hauchecorne, "Les contre-exemples en mathématiques",
pp. 128-131) On considère pour $0<\alpha<1$ l'opération
 suivante $S_\alpha$ : enlever  à un intervalle $[a, b]$ son intervalle
 central $]\frac{a+b}2-\alpha \frac{b-a}2,
 \frac{a+b}2+\alpha\frac{b-a}2[$.   Soit $E\subset \real$ une union
 finie d'intervalles disjoints. On note $s_\alpha(E)$ le résultat
 de l'application de $s_\alpha$ à tous les intervalles de $E$.
 Quand $\alpha=\frac 1 3$, l'ensemble $K_{\frac 13} =\bigcap_{n\geq 1}
 s_\frac 13^n([0,1])$ est appelé ensemble triadique de Cantor.
 Plus généralement, si $\alpha=(\alpha_1, ..., \alpha_n,...)$ est une
 suite de coefficients $0<\alpha_n<1$, on pose encore
 $$K_\alpha^n=
 s_{\alpha_n}s_{\alpha_{n-1}}...s_{\alpha_1}([0,1]),\;\;\; K_\alpha=\bigcap_{n\geq 1}
 K_\alpha^n.$$

\quest 1) Montrer que pour toute suite $\alpha$, l'ensemble $K_\alpha$ est un compact
d'intérieur vide, équipotent à l'ensemble des suites binaires $(\hbox{gauche},
\hbox{droite})^{\natural}$. (Indication : tout élément de $K_\alpha$ est défini de
manière unique par le fait qu'il appartient à l'intervalle de droite ou de gauche de
$K_\alpha^1$, puis au sous intervalle de cet intervalle de gauche ou de droite dans
$K_\alpha^2$, etc. ) En déduire que $K_\alpha$ est équipotent à $[0,1]$.

 \quest 2) Montrer que
 $K_\alpha$ est de mesure strictement positive si et seulement si
  $\sum_n \alpha_n< +\infty$.   En déduire qu'il y a des ensembles
  boréliens équipotents à $\real$ et de mesure nulle et des fermés
  de mesure positive et d'intérieur vide.

\fexer

\dexer{(Ouvert dense de mesure petite)} (Hauchecorne, "Les contre-exemples en
mathématiques", pp. 128-131)  Montrer qu'il existe un ouvert de $\real$ contenant
$\rational$ et de mesure inférieure  à $\varepsilon$. Remarquer que cela prouve qu'il
y a des ouverts denses de mesure aussi petite qu'on veut.  Indication : énumérer les
rationnels $q_n$, $n\in \natural$ et considérer les intervalles $]-\frac 1{2^n}+q_n,
q_n+\frac 1{2^n[}.$ \fexer






\dexer{(Il existe un ensemble n\'egligeable et non bor\'elien)}\ \vspace{0.25cm}
1) Soit $K$ l'ensemble triadique de Cantor. Montrer que c'est un compact non vide (donc bor\'elien) n\'egligeable de $\mathbb R$.\\
2) Montrer par r\'ecurrence que l'on peut d\'efinir une suite d\''applications ${\epsilon}_{n}:[0,1)\rightarrow \{0,1\}, n\geq 1$ telle que
$$\forall x \in [0,1), \forall n\geq 1, \sum_{i=1}^{n}\cfrac{{\epsilon}_{i}(x)}{2^i}\leq x < \sum_{i=1}^{n}\cfrac{{\epsilon}_{i}(x)}{2^i}+\cfrac{1}{2^n}$$
On d\'efinit alors pour $x$ dans $[0,1)$
$$f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\cfrac{2{\epsilon}_{i}(x)}{3^i}$$
Montrer que $f$ est strictement croissante et en d\'eduire qu'elle est injective et bor\'elienne.\\
3) Soit $A$ l'ensemble non bor\'elien de l\'' exercice 7.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f([0,1))\subset K$
\item Montrer que $f(A)$ est négligeable pour $\lambda$.
\item En utilisant l'injectivit\'e de $f$, \'etablir que $f(A)$ n'est pas bor\'elien.
\end{enumerate}
\fexer

\dexer {Les seules mesures sur $\real$ finies sur les bornés et invariantes par
translation sont des multiples de la mesure de Lebesgue.} (Problème 12.1 p. 180 du
Billingsley).  Indication : appeler $a$ la mesure d'un intervalle de longueur 1,
montrer d'abord que les intervalles de longueur $\frac 1 n$ ont mesure $\frac a n$,
puis que les intervalles de longueur rationnelle $q$ ont mesure $aq$, finalement que
les intervalles de longueur quelconque $b$ ont mesure $ab$. Déduire que la mesure
considérée coïncide sur un $\pi$-système avec la mesure de Lebesgue et conclure.

\fexer



  \dexer{(Théorème de Sard)} Soit $f$ une fonction $C^1$ d'un ouvert de
$\real^n$ dans lui-même. On appelle point singulier de $f$ un point $x\in \real^n$
tel que $Df(x)$ est non inversible.  On note $|Df(x)|$ le jacobien de $f$. L'ensemble
des points singuliers est donc $S(f)= (|Df|)^{-1}(0).$   Le théorème de Sard dit
simplement que l'ensemble $f(S(f)) $ est de mesure nulle.

\quest 1) Se convaincre que l'on peut se contenter de montrer le théorème de Sard
quand $f$ est définie sur  un compact. Alors $S(f)$ est compact.

\quest 2) On note $B(x,r)$ la boule de centre $x$ et de rayon $r$. Soit $x_0\in
S(f)$. En écrivant la formule de Taylor, $f(x)=f(x_0)+Df(x_0)(x-x_0)+o(|x-x_0|), $
montrer qu'il existe un sous-espace propre $V$ de $\real^N$ et une constante $C$ tels
pour tout $\varepsilon>0$ il existe $r>0$ tel que
$$f(B(x_0,r)) \subset f(x_0)+B_V(0,\;  Cr)+ C\varepsilon r,$$
où $B_V(0,r)$ désigne la boule de rayon $r$ dans $V$.

\quest 3) Soit $K$ un compact de $\real^n$. Montrer que pour tout $\varepsilon$ il
existe $r$, tel que $K$ soit recouvert par des cubes $(C_i)_{i\in I}$ de diamètre
inférieur à $r$ et tels que $mesure((\cup_i C_i)\setminus K) \leq \varepsilon.$

\quest 4) En recouvrant $S(f)$ comme indiqué dans la question précédente, montrer le
résultat annoncé.


\quest {\small \it Solution : On écrit $\real^N= Ker Df(x_0) \oplus (Ker
Df(x_0))^\perp$ et, sur cette somme orthogonale d'espaces, on décompose $x-x_0=y+z$,
de sorte que $||y||\leq r,$ $||z||\leq r$ si $x-x_0\in B(0,r)$. On note
$V=Df(x_0)(Ker Df(x_0)).$ Donc si $||x-x_0||<r$ assez petit,
$$f(x)=f(x_0)+Df(x_0)(z) + o(x-x_0)\in f(x_0)+ B_V(0,Cr)+ B(0,\varepsilon r),$$
avec $C=||Df(x_0)||$ et où $B_V(0, Cr) $ est la boule de centre 0
et de rayon $Cr$ dans $V$. On vérifie aisément que la mesure de
$f(B(x_0,r))$ est alors plus petite que $C_1 r^N \varepsilon^d$ où
$d$ est la dimension de $Ker Df(x_0)$ et $C_1$ une constante
adéquate.}
 \fexer
