 \section{TD Probabilit\'es : Processus de Poisson}


On considère un processus de Poisson d'intensité $\lambda$. On note $(T_k)_{k=0\ldots\infty}$ les instants de sauts avec $T_0 =0$ et $S_k=T_k - T_{k-1}$ les temps d'inter-arrivées qui sont donc des variables i.i.d. de loi exponentielle de paramètre $\lambda$.\\

\begin{thf}
Montrer que pour tout $n\geq 1$, la loi de $(T_1, \ldots, T_n)$ conditionnnellement à $\{N(t)=n\}$ est celle d'une loi de Dirichlet de paramètre $n$ sur $(0,t)$.
\end{thf}

On pourra trouver cette propriété démontrée dans $\cite{KT}$ ou dans $\cite{O}$.

\dexer\textbf{Un modèle de compteur ($\cite{KT}$ pp. 128-131)}\\
Soit $N(t)$ un processus de Poisson de paramètre $\lambda$ dont les temps de sauts sont notés $t_i$ (les variables aléatoires $s_i=t_i-t_{i-1}$ sont donc i.i.d. de loi exponentielle de paramètre $\lambda$). Des signaux arrivent alors aux instants $t_i$ avec une amplitude $X_i$ et leurs effets décroissent de manière exponentielle une fois arrivés. Le détecteur est d'autre part linéaire et par suite, les amplitudes des signaux s'ajoutent. Aussi, au temps $t$, l'amplitude détectée par le détecteur est :
$$\eta(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}X_i \exp(-\alpha (t-t_i))$$

On suppose les $X_i$ indépendantes du processus de Poisson des arrivées et i.i.d. ayant pour loi une loi à densité $h$ supportée par ${\mathbb R}^{+}$ et supposée continue pour simplifier. Soit $\psi$ la fonction caractéristique des $X_i$ et $\phi_{t}$ celle de $\eta_t$.\\

\quest 1) Soit $(\tau_1,\ldots,\tau_n)$ $n$ variables aléatoires indépendantes uniformes sur $(0,t)$ indépendantes de $(X_1,\ldots,X_n)$. On note $(\tau_1^*,\ldots,\tau_n^*)$ les variables aléatoires définies par :
$$\tau_1^* = \inf\{\tau_1^* ,\ldots,\tau_n^*\}, \; \tau_{k+1}^{*}=\inf\{\{\tau_1,\ldots,\tau_n\}\backslash\{\tau_1^* ,\ldots,\tau_k^*\}\}$$
\subquest a) Soit $X_k^{'}=X_{j}$ où $\tau_{k}^{*}=\tau_j$ pour tout $k=1,\ldots,n$. Montrer que les $X^{'}_k$ sont des variables aléatoires bien définies (à un ensemble de probabilité nulle près).\\
\dsolution{}
Les variables aléatoires $(\tau_i)_i$ sont des variables aléatoires indépendantes à densité (par rapport à la mesure de Lebesgue). Par suite, la probabilité qu'il existe un couple d'entiers distincts $(i,j)$ avec $\tau_i =\tau_j$ est nulle. Les variables aléatoires $(X^{'}_i)_i$ sont donc bien définies.
\fsolution

\subquest b) Montrer que les $(X^{'}_k)_{k=1\ldots,n}$ forment une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de même loi que $X_1$ et indépendantes des $(\tau_k)_{k=1,\ldots,n}$.\\
\dsolution{}
Soit $H, f_1,\ldots,f_n$ des fonctions boréliennes bornées. On a :
\begin{equation}
\begin{split}
&\E\left[H(\tau_1,\ldots,\tau_n)f_1(X^{'}_1)\ldots f_n (X^{'}_n)\right]\\
&=\sum_{\sigma \in \Sigma_n}\E\left[\indic_{\{\tau_{\sigma(1)}<\ldots<\tau_{\sigma(n)}\}}H(\tau_1,\ldots,\tau_n) f_{1}(X_{\sigma(1)}) \ldots f_{n}(X_{\sigma(n)})\right]\\
&=\sum_{\sigma \in \Sigma_n}\E\left[\indic_{\{\tau_{\sigma(1)}<\ldots<\tau_{\sigma(n)}\}}H(\tau_1,\ldots,\tau_n)\right]\E\left[ f_{1}(X_{\sigma(1)})\ldots f_{n}(X_{\sigma(n)})\right]\\
&=\sum_{\sigma \in \Sigma_n}\E\left[\indic_{\{\tau_{\sigma(1})<\ldots<\tau_{\sigma(n)}\}}H(\tau_1,\ldots,\tau_n)\right]\E\left[f_{1}(X_{1})\ldots f_{n}(X_{n})\right]\\
&=\E\left[H(\tau_1,\ldots,\tau_n)\right]\E\left[f_{1}(X_{1})\right]\ldots \E\left[f_{n}(X_{n})\right]
\end{split}
\end{equation}
L'égalité entre la deuxième et troisième ligne découle de l'indépendance entre les $\tau_i$ et les $X_i$. L'égalité entre la troisième et la quatrième provient de l'équidistribution et de l'indépendance des $X_i$. Ceci prouve le résultat annoncé.
\fsolution

\quest 2)\subquest a) Montrer que conditionnellement à $\{N_t =n\}$, $(X_1,\ldots,X_n,t_1,\ldots,t_n)$ sont distribuées comme $(X_1,\ldots,X_n,\tau_1^*,\ldots,\tau_n^*)$.\\
\dsolution{}
Ceci provient du théorème rappelé au-dessus.
\fsolution

\subquest b) Montrer que pour toute fonction borélienne à valeurs complexes $f$, on a :
$$\E\left(f\left(\sum_{i=1}^{n}X_i \exp(-\alpha(t-\tau_{i}^{*}))\right)\right)=\E\left(f\left(\sum_{i=1}^{n}X^{'}_i \exp(-\alpha(t-\tau_{i}^{*}))\right)\right)$$
\dsolution{}
On vient de voir que les $(X^{'}_i)_i$ étaient indépandantes entre elles de même loi que les $(X_i)_i$ et d'autre part indépendantes des $(\tau_i)_i$ (comme les $(X_i)_i$) donc des $(\tau_i^*)_i$. On a par conséquent que la loi de $(X_1,\ldots,X_n,\tau_1^*,\ldots,\tau_n^*)$ est la même que celle de $(X^{'}_1,\ldots,X^{'}_n,\tau_1^*,\ldots,\tau_n^*)$, ce qui donne immédiatement le résultat.
\fsolution

\subquest b) Montrer que $$\E\left(f\left(\sum_{i=1}^{n}X^{'}_i \exp(-\alpha(t-\tau_{i}^{*}))\right)\right)=\E\left(f\left(\sum_{i=1}^{n}X_i \exp(-\alpha(t-\tau_{i}))\right)\right)$$
\dsolution{}
Les deux sommes à l'interieur des espérances sont égales à une réindexation près.
\fsolution

Les dernières questions sont des trivialités.\\

\quest 3) On pose $Y_{t}(i)=X_i\exp(-\alpha(t-\tau_i))$.\\
\subquest a) Montrer que les $(Y_i)_{i=1\ldots n}$ sont i.i.d.. On notera $\theta_t$ leur fonction caractéristique.\\
\subquest b) Montrer que :
$$ \theta_t (s)=\cfrac{1}{t}\int_{0}^{t}\psi(s e^{-\alpha v})dv$$

\quest 4) En déduire que :
$$\phi_{t}(w)=\exp\left(-\lambda\int_{0}^{t}(1-\psi(we^{-\alpha v})dv\right)$$
\fexer
 
