\section{TD probabilité : Deuxième théorème d'arrêt : $\cite{O}$ p. 391}

\begin{deff}
Une martingale $M$ par rapport à une filtration $({\cal F}_n)_{n}$
est dite fermable s'il existe une variable aléatoire $M_{\infty}$
qui est ${\cal F}_{\infty}$-mesurable et intégrable et telle que
pour tout $n$ :
$$M_n=\E(M_{\infty}|{\cal F}_n)$$
\end{deff}

Bien entendu, une martingale fermable est uniform\'ement
intégrable et donc converge presque sûrement et dans ${\mathbb
L}^{1}$ vers $M_{\infty}$. La réciproque est vraie : si $M$ est
uniform\'ement intégrable alors elle est fermable.\\

On va commencer par donner un résultat relatif aux martingales
arrêtées. Soit donc $M$ une martingale et $T$ un temps
d'arr\^et.\\

\quest 1)  On définit la tribu des événements antérieurs à $T$ par
$${\cal F}_{T}=\{A\in {\cal F}_{\infty} | \forall n \in {\mathbb N}, \; A\cap \{T=n\}\in {\cal F}_n\}$$
Montrer que c'est bien une tribu.

\quest 2)  Montrer que si $S$ et $T$ sont deux temps d'arrêt
bornés par $k \in \NN$ tels que $S\leq T$ alors ${\cal F}_{S}
\subset {\cal F}_{T}$.

\dsolution{} Si $A\in \mathcal F_S,$ on a $\forall n\in \natural,$
$A\cap\{S=n\}\in \mathcal  F_n.$ Alors, comme $S\leq T$,
$$A\cap\{T=n\}=(\bigcup_{k\leq n}A\cap\{S=k\})\cap\{T=n\}\in
\mathcal F_n\cap\mathcal  F_n=\mathcal F_n.$$

\fsolution

\quest 3) On conserve les notations des questions pr\'ec\'edentes.
Soit $A \in {\cal F}_{S}$. On définit $R$ par
$R=S\indic_A+k\indic_{A^c}$.

\subquest a) Montrer que $R$ est un temps d'arrêt borné par $k$.

\dsolution{} $\{R=n\}=\{S=n\}\cap A$ si $n\neq k$, et $\{R=k\}=
\{S=k\}\cap A\cup(A^c\cap\cup_{l<k}\{S=k\})$ car $S$ est borné par
$k$.

\fsolution \subquest b) Appliquer le premier théorème d'arrêt
(celui vu en cours pour les temps d'arrêt bornés) et en déduire
$\E(M_R)=\E(M_0)=\E(M_k)$. En déduire $\E(_indic_A
M_S)=\E(\indic_A M_k)$.

\dsolution{} En effet, $\E
M_R=\E(\indic_AM_S)+\E(\indic_{A^c}M_k)=\E M_k
=E(M_k\indic_A)+\E(M_k\indic{A^c}).$

\fsolution

\subquest c) En déduire $X_S=\E (M_k|{\cal F}_S)$. Remarquer que de même, $M_T=\E (M_k|{\cal F}_T)$.

\subquest d) Conclure que $M_S=\E (M_T|{\cal F}_S)$.\\

\dsolution{} Par la propriété des tours,
$$\E(M_T|\mathcal F_S)=\E(\E(M_k|\mathcal F_T)|\mathcal
F_S)=\E(M_k|\mathcal F_S)=M_S.$$

\fsolution


 \noindent On vient donc de démontrer
le résultat suivant :

\begin{thf}
Soit $M$ une martingale et $S\leq T$ deux temps d'arrêt bornés. On a alors
$$M_S=\E (M_T|{\cal F}_S)$$
\end{thf}

On se propose maintenant de d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant.

\begin{thf}
Soit $M$ une martingale uniform\'ement intégrable (donc fermable). On note $M_{\infty}$ sa limite presque sûre et dans ${\mathbb L}^1$. Soit $T$ un temps d'arrêt (fini ou pas). On a le théorème d'arrêt de Doob :
$$M_T \;\mbox{est dans ${\mathbb L}^1$ et }\; \E(M_T)=\E(M_0)$$
\end{thf}

\begin{remf}
Il y a en fait équivalence, à savoir que si $M$ est une martingale, elle est fermable ssi elle vérifie la propriété précédente pour tous les temps d'arrêt $T$.
\end{remf}

\quest 1) Le but de cette question est de montrer que la famille de variables aléatoires $\{M_{T\wedge n} | n\in {\mathbb N}\}$ est uniform\'ement intégrable.

\subquest a) On rappelle que si $X$ est une v.a. intégrable alors
la famille $\{\;\E(X|{\cal G})|\;\mbox{${\cal G}$ sous-tribu de
${\cal F}$ } \}$ est uniform\'ement int\'egrable.

\subquest b) En se servant du théorème précédent, montrer que si
$T$ est un temps d'arrêt borné alors $M_T=\E(M_{\infty}|{\cal
F}_T)$. (\textit{ ind. : On remarquera pour cela que $M$ étant
fermable, on a pour tout $k$, $M_k=\E(M_{\infty}|{\cal F}_k)$ et
d'autre part, par le théorème précédent, $M_T=\E(M_k|{\cal F}_T)$
pour $k$ assez grand. On conclura ensuite en observant que ${\cal
F}_T\subset {\cal F}_k$} et que donc par la propriété des tours,
$M_T=\E(\E(M_\infty|\mathcal  F_k)|\mathcal
F_T)=\E(M_\infty|\mathcal  F_T).$

\subquest c) Montrer  que $\{T\wedge n\; | n\in {\mathbb N}\}$ est
une suite de temps d'arrêt bornés. En déduire que la famille de
variables aléatoires $\{M_{T\wedge n} | n\in {\mathbb N}\}$ est
uniform\'ement intégrable.  (Application directe du b)).

\quest 2) Montrer que la martingale arrêtée $M^T$ converge presque
sûrement et dans ${\mathbb L}^1$ vers $M_{T}$ (\textit{ind. : on
regardera ce qui se passe sur les \'ev\'enements $\{T<+\infty\}$
et $\{T=\infty\}$}).

\quest 3) En déduire le théorème.

\dsolution{} Par définition, $M^T_n=M_{T\wedge n}$. C'est une
martingale UI par le 1) et donc elle converge p.s. et dans $L^1$.
Sur $\{T<\infty\}$, $M_{T\wedge  n}\to M_T$ quand $n\to  \infty.$
Sur $\{T=\infty\},$ $M_{T\wedge n}=M_n\to M_\infty=M_T$ p.s.

\fsolution
