




\dexer{ \textbf{(Théorème de la classe monotone}, $\cite{W}$, p. 205)} Soit $\cal H$ une classe de fonctions bornées de
$\Omega$ dans ${\mathbb R}$ vérifiant
\newline (i) $\cal H$ est un espace vectoriel sur ${\mathbb R}$
\newline (ii) la fonction constante 1 est un élément de $\cal H$
\newline (iii)  si $f_n$ est une suite croissante de fonctions positives de $\cal H$,
tendant vers une fonction $f$ bornée sur $\Omega$,  alors $f\in \cal H$.
\newline Alors, si $\cal H$ contient les fonctions indicatrices de tous les ensembles
d'un $\pi$-système $\cal I$, $\cal H$ contient aussi toutes les fonctions
$\sigma({\cal I})$-mesurables et bornées sur $\Omega$.

\quest 1) Soit $\cal D$ la classe des ensembles $F$ tels que $\indic_F\in \cal H$.
Montrer que $\cal D$ est un $\lambda$-système et en déduire que $\cal D$ contient
$\sigma({\cal I}).$

\quest 2) Soit $f$ une fonction $\sigma({\cal I})$-mesurable telle  qu'il existe
$K\in {\mathbb N}$, $0\leq f(s)\leq K$, $\forall s\in \Omega.$ Pour $n\in {\mathbb N}$, on
considère les fonctions en escalier approximant $f$,
$$f_n(s)=\sum_{i=0}^{K2^n}i2^{-n}\indic_{A(n,i)}(s),$$
où
$$A(n,i)=\{s, \; i2^{-n}\leq f(s)\leq (i+1)2^{-n}\}.$$
Montrer que $f_n \in \cal H$, puis que $f\in \cal H$. En déduire le théorème.
\fexer
