\noindent
Dans la suite, $(\O,\cF,\PP)$ désigne un espace probabilisé.
\section{Définitions}
\begin{deff}
Une variable aléatoire $X$ sur $(\O,\cF,\PP)$ est une application mesurable de $(\O,\cF)$ dans $(\RR^d,\cB(\RR^d))$, c'est-à-dire une application $X:\O\rightarrow \RR^d$ telle que
$$\forall A \in \cB(\RR^d),\; X^{-1}(A)=\{\o \in \O; \; X(\o)\in A\} \in \cF$$
\end{deff}

\begin{remf}
1) On réserve parfois le nom de variable aléatoire pour le cas $d=1$. Pour le cas $d\geq 2$, on utilise le terme plus approprié de vecteur aléatoire.\\
2) On parle aussi de variables aléatoires pour des applications $X:\O\rightarrow \bar{\RR}=[-\infty;+\infty]$ pouvant prendre des valeurs infinies. La tribu que l'on met sur $[-\infty;+\infty]$ est la tribu engendrée par les ouverts de $\bar{\RR}$, images réciproques des ouverts de $[-1,1]$ par la bijection bicontinue $f :\bar{\RR}\rightarrow [-1,1]$ définie par :
$$\forall x\in \RR, \; f(x)=\cfrac{2}{\pi}\arctan (x)\; ;\; f(\pm \infty)=\pm 1$$
3) On sait que si $X:\O \rightarrow \RR$ (mesurable ou non mesurable) alors $X^{-1}(\cB (\RR))$ est une tribu. $X$ est une variable aléatoire ssi $X^{-1}(\cB (\RR))$ est une sous-tribu de $\cF$. $X^{-1}(\cB (\RR))$ est donc la plus petite tribu sur $\O$ rendant $X$ mesurable.\\
4) $\cB (\RR^d)$ est engendrée par
\begin{equation*}
\begin{cases}
\{\prod_{i=1}^{d}(-\infty;\a_i); \; \a_i \in \RR\},\\
\{\prod_{i=1}^{d}(-\infty;\a_i]; \; \a_i \in \RR\},\\
\{\prod_{i=1}^{d}(\a_i,\b_i); \; \a_i,\b_i \in \RR\}...
\end{cases}
\end{equation*}
Par conséquent, pour montrer que $X=(X_1,\ldots,X_d)$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\RR^d$, il suffit de vérifier :
$$\forall \a=(\a_1,\ldots,\a_d) \in \RR^d,\;\; \{\o \in \O; \forall i \in \NN_d,\; X_i(\o) <\a_i\} \in \cF$$
ou
$$\forall \a=(\a_1,\ldots,\a_d),\b=(\b_1,\ldots,b_d) \in \RR^d,\;\; \{\o \in \O;\forall i \in \NN_d, \a_i< X_i(\o) <\b_i\} \in \cF$$
En particulier, ceci montre que $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\RR^d$ ssi pour tout $i\in \NN_d$, $X_i$ est une variable aléatoire réelle (la raison profonde étant en fait que la tribu borélienne sur $\RR^d$ est la tribu produit de $d$ copies de $\RR$).
\end{remf}

\noindent
\textbf{Notation :} On désignera par $m$ l'ensemble des variables aléatoires sur $(\O,\cF,\PP)$ à valeurs dans $(\RR, \cB(\RR))$ et par $\bar{m}$ l'ensemble des variables aléatoires à valeurs dans $(\bar{\RR}, \cB (\bar{\RR}))$ (qui contient $m$).\\

\begin{propf} On a les propriétés élémentaires suivantes :\\
1) $(m,+,.)$ est une algèbre.\\
2) Si $(X_n)_n \in m^\NN$ alors $\inf_n X_n \;,\; \sup_n X_n\;,\; \liminf_n X_n\;,\;\limsup_n X_n$ sont des éléments de $\bar{m}$.\\
3) De plus, $\left\{\o \in \O\; ;\; \lim_{n\rightarrow \infty} X_n (\o) \mbox{ existe et appartient à $\RR$}\right\} \in \cF$.\\
4) Par suite, si $(X_n)_n$ est une suite d'éléments de $\bar{m}$ et si on pose
$$A=\left\{\o \in \O\; ;\; \lim_{n\rightarrow \infty} X_n (\o) \mbox{ existe et appartient à $\RR$}\right\} \in \cF$$
alors $(Y_n)_n=(\indic_A X_n)_n$ est une suite d'éléments de $m$.
\end{propf}

Ces propriétés, très faciles à démontrer, sont admises. On remarquera qu'elles se généralisent aisément au cas de variables aléatoires multidimensionelles compte tenu du $4)$ de la remarque précédente.\\

A partir de maintenant, on utilisera une forme abrégée pour écrire des événements faisant intervenir des variables aléatoires. Ainsi, pour noter par exemple l'événement $\{\o \in \O\; ;\; X(\o)\leq C\}$, on écrira simplement $\{X\leq C\}$.

\section{$\s$-algèbre générée par une collection de variables aléatoires}
\begin{deff}
On se donne une famille $(Y_\g)_{\g\in \cC}$ de variables aléatoires sur $(\O,\cF,\PP)$ index\'ee par un ensemble ${\cal C}$ quelconque. La tribu engendrée par la famille  $(Y_\g)_{\g\in \cC}$, notée $\G=\s(Y_\g \; ;\; \g \in \cC)$, est définie comme la plus petite tribu sur $\O$ rendant mesurable chaque $Y_\g$ pour $\g \in \cC$. Autrement dit,
$$\G=\s\left(\left\{\o \in \O\; ;\; Y_\g (\o) \in B\right\}\; ; \; \g \in \cC \; ;\; B\in\cB (\RR^d)\right)$$
\end{deff}

\begin{remf}
1) Si $X$ est une variable aléatoire alors $\s (X)$ est une sous-tribu de $\cF$.\\
2) Si $X$ est une variable aléatoire et $f :(\RR^d,\cB(\RR^d))\rightarrow (\RR^k,\cB(\RR^k))$ est mesurable alors $f(X)$ est $\s(X)$-mesurable.
\end{remf}

\begin{propf}
Soit $X$ une variable aléatoire. Une fonction $Y : \O\rightarrow \RR$ est $\s(X)$-mesurable ssi il existe une fonction borélienne $f$ telle que $Y=f(X)$.
\end{propf}

Cette propriété sera démontrée en TD et est une simple conséquence du théorème de la classe monotone. Elle est cependant très importante dans la mesure où elle fait clairement comprendre ce que signifie ``être $\s (X)$-mesurable''.\\

\section{Distributions et fonctions de répartition}
\begin{deff}
Soit $X:(\O,\cF,\PP)\rightarrow (\RR^d,\cB (\RR^d))$. On appelle mesure image de $\PP$ par $X$ ou encore loi de $X$ la mesure de probabilité $\PP_X$ sur $(\RR^d,\cB (\RR^d))$ définie par :
$$\forall A\in \cB(\RR^d),\; \PP_X (A)=\PP(X^{-1}(A))$$
\end{deff}

On sait que $\left\{\prod_{i=1}^d (-\infty; c_i]\; ; \; c_i \in \RR\right\}$ est un $\pi$-système qui génère $\cB (\RR^d))$. Par le théorème d'unicité des probabilités coïncidant sur un $\pi$-système, la loi de $X$ est entièrement déterminée par la fonction
$$F_X (x)=\PP (X\leq x)=\PP_{X}((-\infty;x])$$
ce qui motive la définition suivante :
\begin{deff}
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\RR^d$. On définit la fonction de répartition de $X$ sur $\RR^d$ par
$$\forall x\in \RR^d,\; F_X (x)=\PP (X\leq x)$$
\end{deff}

\noindent
et on a par ce qui précède la propriété suivante :

\begin{propf}
Deux variables aléatoires ayant même fonction de répartition ont même loi.
\end{propf}

Les fonctions de répartitions jouissent de propriétés très caractéristiques, du moins dans le cadre de la dimension $1$. Dans le reste de cette section, on se limite donc à la dimension $1$.

\begin{propf}
Supposons que $F$ soit la fonction de répartition d'une variable aléatoire r\'eelle $X$. Alors :\\
a) $F:\RR \rightarrow [0,1]$ est croissante.\\
b) $\lim_{x\rightarrow +\infty} F(x)=1$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty} F(x) =0$.\\
c) $F$ est continue à droite (avec des limites à gauche puisque croissante).
\end{propf}

\begin{demo}\\
\noindent
a) trivial.\\
b) $\lim_{x\rightarrow +\infty} F(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} \PP(\{\o \in \O; X(\o)\leq x\})$ et cette limite existe car $F$ est croissante. Or $(A_n)_n =(\{X\leq n\})_n$ est une suite croissante d'événements tendant vers $\O$. Donc par $\s$-additivité de $\PP$, $\lim_{n\rightarrow} \PP(A_n) =1$. Par suite, $\lim_{x\rightarrow +\infty} F(x)=1$. Un raisonnement analogue montre que $\lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0$.\\
c) Soit $(x_n)_n$ une suite de points tendant vers $x$ avec pour tout $n\in \NN, \; x_n \geq x$. On a $F(x_n)=\PP(X\leq x_n)$ et $\{X\leq x_n\}\downarrow \{X\leq x\}$ donc $F(x_n)\downarrow F(x)$ et $F$ est continue à droite.
\end{demo}

\vspace{0.25 cm}
\noindent
\textbf{Existence de variables aléatoires ayant une fonction de répartition donnée}

\begin{thf}
Soit $F$ une fonction ayant les propriétés a,b,c de la proposition précédente. Il existe alors une variable aléatoire
$X$ sur un espace probabilisé $(\O,\cF,\PP)$ telle que la fonction de répartition de $X$ soit $F$.
\end{thf}

\begin{demo}
$(\O,\cF,\PP)=([0,1],\cB([0,1]),\l)$ o\`u $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$. On pose pour $\o \in \O$,
$$X(\o)=\inf\{z\in \RR\; ;\; F(z)\geq \o\}=\sup\{y \in \RR\; ;\; F(y)<\o\}$$
Il est facile de voir d'après la définition de $X$ que
$$\o \leq F(c) \Longleftrightarrow X(\o) \leq c $$
Par conséquent, $\PP(X\leq c)=\l (\o \leq F(c))=F(c)$.
\end{demo}

\section{Variables aléatoires à densités et variables al\'eatoires discrètes}
\begin{deff}
On dira qu'une variable aléatoire $X$ est à densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) ssi la loi de $X$ admet une densité (par rapport à la mesure de Lebesgue), i.e.
\begin{equation*}
\begin{split}
&\exists f\in \LL^{1}_{+} (\RR^d, \cB(\RR^d),dx),\; \forall A \in \cB(\RR^d),\\
&\PP_{X} (A) =\int_{A} f(x)dx
\end{split}
\end{equation*}
\end{deff}

\vspace{0.25cm}
\noindent
Exemples fondamentaux :\\
1) $X$ est une gaussienne de moyenne $m\in \RR^{d}$ et de matrice de covariance $\Gamma \in S_{d}^{+}$ (ensemble des matrices sym\'etriques d\'efinies positives) ssi $X$ admet la densité sur $\RR^d$ donnée par
$$f(x)=\cfrac{1}{(2\pi)^{d/2}|det \Gamma|^{1/2}}\exp\left(-\cfrac{1}{2}<\Gamma^{-1} (x-m),(x-m)>\right)$$
o\`u $<\cdot,\cdot>$ d\'esigne le produit scalaire euclidien usuel sur $\RR^d$.\\
2) $X$ est une exponentielle de paramètre $\l$ ssi $X$ admet la densité sur $\RR$ donnée par
$$f(x)=1_{\RR^+}(x)\l e^{-\l x}$$

\begin{deff}
Une variable aléatoire $X$ est dite discrète s'il existe un ensemble dénombrable $\cE$ tel que $\PP(X\in \cE)=1$. La loi de $X$ est alors caractérisée par une suite $(p_e)_{e\in \cE} \in [0,1]^{\cE}$ telle que $\sum_{e\in \cE} p_e =1$ et $p_e=\PP(X=e)$.
\end{deff}

\vspace{0.25cm}
\noindent
Exemples fondamentaux :\\
1) $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p\in [0,1]$ ssi :
$$\PP(X=0)=1-\PP(X=1)=1-p$$
2) $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p\in [0,1]$ ssi :
$$\forall n \in \NN^{*},\; \PP(X=n)=p(1-p)^{n-1}$$
3) $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\l \in \RR^{*}_{+}$ ssi :
$$\forall k \in \NN, \; \PP(X=k)=e^{-\l} \cfrac{\l^k}{k!}$$
