\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\textwidth 16cm \textheight 22.4cm \oddsidemargin -0.71cm \evensidemargin
-0.71cm \topmargin -0.6cm

%macros et autres yann
% ensembles Q R N Z C indicatrice polynomes
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}} \gdef\ind{\indi}

\def\RR{\mathbb R}
\def\RRM{\small\mathbb R}
%{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}

\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}} \gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}} \gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
% ensembles Q R N Z C indicatrice polynomes
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}} \gdef\ind{\indi}

\gdef\RR{{\hbox{\rm I\kern-.20em\hbox{R}}}} \gdef\NN{\hbox{\rm
I\kern-.25em\hbox{N}}} \gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} } \gdef\CC{\rm
\hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\newcommand \R {\RR}
\newcommand \Z {\ZZ}
\newcommand \N {\NN}
\newcommand \Sum{\Sigma}
\newcommand \hu {\hat{u}}
\newcommand \tu {\tilde u}
\def\cqfd{\enddemo}     % fin de preuve
\newcommand{\indi}{{1\!\!1}}
\newcommand \com[1]{\fbox{\sf  #1}}
\newcommand \trait{
\noindent\noindent
\begin{picture}(454,5)(0,-5)
\drawline(0,2)(454,2)
\end{picture}}
\newcommand{\lp}{{\ell}^p}
\newcommand{\lpp}{{\ell}^{p^{\prime}}}
\newcommand{\pp}{p^{\prime}}



%\def\R{é}sum{é}{\small\noindent\bf R{é}sum{é}. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\RR
\def\real{\RR}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\NN{I\!\!N}
\def\relative{{\ZZ}}

\def\complex{{\CC}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int{é}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ajouts sylvie
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\vfi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\psieps}{\psi_{\varepsilon}}
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\newcommand{\grad}{\nabla}
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\newcommand{\Epp}{E^{\prime \prime}}
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\newcommand{\DDK}{{{\cal C}_{c,K}^{\infty}}}
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\def\bz{\hbox{\bf z}}
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%                   italique !

%\newtheorem{exo}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{exo}{Exercice}
\def\dexo{\begin{exo}\rm}    %sans
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\def\dexer{\dexo}    %sans
\def\fexer{\fexo}        %italique !

\def\quest{\vspace{0.25 cm} \noindent }
\def\subquest{\vspace{0.2cm}}


\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
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\def\ee {{è}}
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\def\e {{é}}
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\def\u {{\`u} }
\def\uu {{\^u}}
\def\oo {{\^o}}
\def\ooo {{\"o}}

\begin{document}
{\raggedright  Mathématiques\hfill{}
Analyse  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} S.Fabre  2009-2010}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD2  Topologie\\}

\vspace{0.5cm}


Bibliographie recommandée : poly analyse, J.Dixmier "topologie générale", G.Choquet "cours de topologie". 
\vspace{0.5cm}
\dexer
\hfill \newline
Soit $E$ un espace topologique "grossier" i.e. les ouverts de $E$ sont $\left\{ \emptyset,E \right\}$. Montrer que si $E$ contient plus d'un élément, il n'est pas séparé.
\fexer
\dexer 
Soit $E$ un espace m\'etrique, montrer que \\
1) l'espace $E$ est s\'epar\'e,\\
2) si $A$ est une partie de $E$ et si $x \in E$ alors $x \in \overline{A}$
$\Longleftrightarrow$
$d(x,A) = \displaystyle {\inf_{y \in A}}d(x,y) = 0$ $\Longleftrightarrow$ $\exists (x_n)_n
\subset
A$ telle que $x_n
\rightarrow
x$.
\fexer
\dexer {\bf Continuit\'e s\'equentielle}  \\Soient $E$ et $F$ deux 
espaces topologiques séparés. Soit $f : E\to F$ une application séquentiellement continue (\ccaadd si $x_n\to x $ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$).\\
On suppose que $E$ est métrisable et on souhaite montrer que $f$ est continue.\\
1) Ecrire la continuité des deux applications "identité".\\
2) En supposant que $f$ n'est pas continue en un certain $x_0\in E$, construire une suite qui donnera une contradiction. Préciser à quel moment, la continuité des deux applications "identité" est utilisée.
\fexer
\dexer {\bf Valeur d'adh\'erence dans un espace métrique}  \\
Soient $E$ un espace métrique, $(x_n)_n$ une suite de points de $E$ et $x \in E$. Montrer que si $x$ est valeur
d'adh\'erence de la suite $(x_n)_n$ alors il existe une sous-suite
$(x_{n_k})_k$ qui converge vers $x$.
\fexer
\dexer
\hfill \newline
1) Soient $E$ un espace topologique compact et $F$ un espace topologique séparé. Soit $f :E \rightarrow F$ une application continue. Montrer que $f(E)$ est compact.\\
2) Soient $E$ un espace métrique compact et $F$ un espace métrique. Soit $f :E \rightarrow F$ une application continue. Montrer que $f$ est uniformément continue. 
\fexer
\dexer Métrique compact $\Rightarrow$ complet
\hfill \newline
Soit $E$ un espace métrique compact, montrer que $E$ est complet.
\fexer
\dexer
\hfill \newline
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels norm{é}s. on suppose que $E$ est de dimension finie. 

a) Montrer que toutes les normes sur E sont {é}quivalentes.

b) Soit $u : E \rightarrow F$ lin{é}aire, montrer que u est continue.\fexer
\dexer
\hfill \newline
Soit $E = \mathds{Q}[\sqrt{2}] = \left\{ a+b\sqrt{2}, a \in \mathds{Q}, b \in \mathds{Q}
\right\}$. On d{é}finit sur $E$, $N_0(a+b\sqrt{2}) = \vert a+b\sqrt{2} \vert$
et
$N_1(a+b\sqrt{2}) = \max(\vert a \vert, \vert b \vert)$.

a) V{é}rifier que $N_0$ et $N_1$ sont des normes sur $E$.\\
Soit $x = \sqrt{2} -1$, montrer que $\forall n \geq 1$, $x^n = a_n+b_n\sqrt{2}$
o{\`u} $a_n,b_n \in \mathds{Q}$ et $a_nb_n < 0$. En d{é}duire que $(\sqrt{2}+1)^n =
\vert
a_n \vert + \vert b_n \vert \sqrt{2}$.

b) Montrer que $N_0$ et $N_1$ ne sont pas {é}quivalentes sur $E$. ($E$ est un
$\mathds{Q}$-espace vectoriel de dimension finie, commenter.)
\fexer
\dexer
\hfill \newline
Soit $E={\cal C}^1 ([0,1])$. Pour $f \in E$, on pose $N(f) = { ({f(0)}^2 +
\int_0^1 f^{\prime}(t)^2 dt)}^{1/2}$ et $\Vert f {\Vert}_{\infty} = \sup_{[0,1]}
\vert f(x) \vert.$\\
a) V{é}rifier que N est une norme sur E.\\
b) Montrer que pour toute $f$ dans $E$, ${\Vert f \Vert}_{\infty} \leq \sqrt {2}
\;
N(f)$.\\
c) Montrer que ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et N ne sont pas {é}quivalentes sur
E.
\fexer
\dexer 
\hfill \newline
Soient E et F deux espaces vectoriels norm{é}s. On note ${\cal {L}}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires et continues de $E$ dans $F$. \\
Montrer que  si F est complet, l'espace ${\cal {L}}(E,F)$ est complet (donc
$E^{\prime}$
est toujours complet).
\fexer
\dexer Théorème à connaitre
\hfill \newline
Soit $E$ un espace m\'etrique, les conditions suivantes sont \'equivalentes :\\
(i) L'espace $E$ est compact.\\
(ii) Toute suite de points de $E$ admet une valeur d'adh\'erence.\\
(iii) Toute suite de points de $E$ a une sous-suite convergente.
 \\
(Indication pour $(iii) \Rightarrow (i)$ : Soit $(O_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert
de $E$,\\
1) montrer que $\exists r>0$, tel que $\forall x \in E$, $\exists i \in I$, tel que
$B(x,r)
\subset O_i$.\\
2) montrer que $E$ est recouvert par un nombre fini de $O_i$.)
\fexer
\newpage
\setcounter{exo}{0}
\noindent {\bf Corrigé des exercices}
\dexo
\hfill \newline
Soient $x,y \in E$ avec $x\neq y$. Soient $V \in {\cal V}(x)$ et $W \in {\cal V}(y)$. Par 
définition des voisinages, il existe $U$ ouvert tel que $x\in U\subset V$. Alors $U=E$ donc $V=E$. De 
même, $W=E$. On ne peut donc pas séparer $x$ et $y$.\fexo
\dexo
\hfill \newline
1) Si $x \neq y$, $B(x,r) \cap B(y,r) = \emptyset$ avec $r =
\displaystyle{\frac{d(x,y)}{4}}$.\\
2) $d(x,A) = \displaystyle{\inf_{y \in A}} d(x,y)$.
\begin{eqnarray*}
d(x,A) = 0 &\Longleftrightarrow& \forall \ep > 0,\,\;\exists y_{\ep} \in A \mbox{ tel que }
d(x,y_{\ep}) \leq \ep,\\
           &\Longleftrightarrow& \forall \ep > 0,\,\; B(x,\ep) \cap A \neq \emptyset,\\
           &\Longleftrightarrow& x \in \overline{A}.
\end{eqnarray*}
Si $d(x,A)= 0$ alors pour $\ep = \frac{1}{n}$, $\exists x_n \in A$ tel que $d(x,x_n) \leq
\frac{1}{n}$ donc il
existe une suite $(x_n)_n \subset A$ telle que $x_n \longrightarrow x$.\\
Si il existe une suite $(x_n)_n \subset A$ telle que $x_n \longrightarrow x$ alors $\forall V
\in {\cal V}(x)$, $\exists N$
tel que $\forall n \geq N$, $x_n \in V$ donc $\forall V \in {\cal V}(x)$, $V \cap A \neq
\emptyset$ et $x \in \overline{A}$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Remarque : On a toujours continuité $\Rightarrow$ continuité séquentielle.\\
1) $E$ est métrisable si et seulement si il existe une distance $d$ sur $E$ telle que les deux applications "identité" suivantes
\begin{eqnarray*}
i_1:&(E,d)&\rightarrow E,\\
i_2:& E &\rightarrow (E,d),
\end{eqnarray*}
sont continues. Ce qui s'écrit pour $i_1$: 
$$\forall x, \forall V \in {\cal V}(x), \exists r>0, \mbox{ tel que } d(x,y)< r \Rightarrow f(y) \in V.$$
Et pour $i_2$:
$$\forall x, \forall \ep >0, \exists V \in {\cal V}(x), \mbox{ tel que } y\in V \Rightarrow d(x,y)<\ep.$$
2) On suppose que $f$ n'est pas continue en $x_0
\in E$, alors
$\exists W \in {\cal V}(f(x_0))$ tel que $\forall V \in {\cal V}(x_0)$, $f(V)\not\subset W$. Comme $i_2$ est continue, en choisissant 
$\ep = \frac{1}{n}$, $n \in \NN^{\star}$, on voit qu'il existe $V_n \in {\cal V}(x_0)$ tel que $y\in V_n$ $\Rightarrow d(x_0,y)<\frac{1}{n}$. On peut donc construire une suite $(y_n)_n$ telle que $d(x_0,y_n)<\frac{1}{n}$ et $f(y_n) \notin W$ pour tout $n$.\\
Alors la suite $(y_n)_n$ converge vers $x_0$ dans $(E,d)$. Comme $i_1$ est (séquentiellement) continue, $y_n\rightarrow x_0$ dans $E$. Or la suite $(f(y_n))_n$ ne converge pas vers $f(x_0)$, puisque $f(y_n) \notin W$ pour tout $n$. C'est absurde.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Si $x$ est valeur d'adh\e rence de la suite $(x_n)_n$ alors $\forall \ep > 0$, $\forall n$,
$\exists i \geq n$ tel que
$d(x,x_i) \leq \ep$. En choisissant par exemple $\ep = \frac{1}{k}$, on construit une suite
$(n_k)_k$
strictement croissante telle que $d(x,x_{n_k}) \leq \frac{1}{k}$. La suite $(x_{n_k})_k$ tend
alors vers $x$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
1) On veut montrer que $f(E)$ est compact.\\
D'abord $f(E)$ est séparé car $F$ l'est. Supposons maintenant que $f(E)\subset \bigcup_{i\in I} U_i$ où chaque $U_i$ est un ouvert de $F$. Comme $f$ est continue, $f^{-1}(U_i)$ est ouvert dans $E$ et $E\subset \bigcup_{i\in I} f^{-1}(U_i)$. Puisque $E$ est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini : $\exists J$ fini$\subset I$ tel que $E\subset \bigcup_{j\in J} f^{-1}(U_j)$. Alors $f(E)\subset \bigcup_{j\in J} U_j$. D'où $f(E)$ est compact. (Rappel $f(f^{-1}(A))\subset A$ et $A\subset f^{-1}(f(A))$.)\\
2) Comme $f$ est continue, $\forall x\in E$, $\forall \varepsilon >0$, $\alpha _x>0$ tel que $d(x,y)<\alpha _x$ $\Longrightarrow $ $d(f(x),f(y))< \frac{\varepsilon }{2}$.\\
On a alors $E\subset \bigcup_{x\in E}B(x,\frac{\alpha _x}{2})$ et $E$ est compact. \\Donc $E\subset \bigcup_{i=1}^N B(x_i,\frac{\alpha _{x_i}}{2})$. On pose $\delta = \frac{1}{4} \min(\alpha _{x_1},...,\alpha _{x_N})>0$.\\
Si $y$ et $z$ sont tels que $d(y,z)<\delta $, $\exists i\leq N$, tel que $y\in B(x_i,\frac{\alpha _{x_i}}{2})$ et
$d(z,x_i)<\delta + \frac{\alpha _{x_i}}{2}< \alpha _{x_i}$. Donc $\exists i\leq N$ tel que $y,z\in B(x_i,\alpha
_{x_i})$. Alors $$d(f(y),f(z))\leq d(f(y),f(x_i))+d(f(x_i),f(z))<\varepsilon.$$ Donc $f$ est uniformément continue.\fexo
\dexo
\hfill \newline
Soit $(x_n)_n\subset E$ une suite de Cauchy. Alors $\forall \ep >0$, $\exists N$ tel que $\forall n,m\geq N$, $d(x_n,x_m)\leq \ep$. Comme $E$ est compact, il existe une sous-suite $(x_{nk})_k$ qui converge vers $x$ dans $E$. On fixe $n\geq N$. Pour $n_k\geq N$, on a bien sûr $d(x_{nk},x_n)\leq \ep.$ Quand $k\rightarrow \infty$, $x_{nk}\rightarrow x$ et $d(x_{nk},x_n)\rightarrow d(x,x_n)$. Donc en passant à la limite dans l'inégalité ci-dessus, on obtient $d(x,x_n)\leq \ep$. Ceci est vrai pour tout $n\geq N$. $E$ est bien complet.\fexo

\dexo
\hfill \newline
a)Soient $n = \dim E$ et $e_1,...,e_n$ une base de E. On d{é}finit pour $x
= \displaystyle{\sum_1^n} x_ie_i \in E$, la norme \\${\Vert x \Vert}_1 = \displaystyle{\sum_1^n}
\vert x_i
\vert$. Soit $S_1 = \{x \in E : {\Vert x \Vert}_1 = 1 \}$ et soit $N$ une autre
norme sur E, de $N(x) \leq (\sup_i N(e_i)) {\Vert x \Vert}_1$ on d{é}duit la
continuit{é} de N sur $(S_1,{\Vert \, \Vert}_1)$ compact, donc N est
born{é}e et atteint ses bornes. Il existe $\alpha$ et $\beta \geq 0$ tels que
$\forall x \in S_1$, $\alpha \leq N(x) \leq \beta$. Comme $\alpha = N(y)$ pour
un $y \in S_1$, $y \not= 0$ et $\alpha > 0$. Enfin, $\forall x \not= 0$,
$\frac{x}{{\Vert x \Vert}_1} \in S_1$ donc $\alpha {\Vert x \Vert}_1 \leq N(x)
\leq \beta {\Vert x
\Vert}_1$.\\
b) Soit $x = \displaystyle{\sum_1^n} x_ie_i \in E$, on a ${\Vert u(x) \Vert}_F \leq (\sup_i
{\Vert u(e_i) \Vert}_F) {\Vert x \Vert}_1$ donc u est continue.\fexo
\dexo
\hfill \newline
a) Il est clair que $N_0$ et $N_1$ sont des normes sur $E$ (elles le sont sur
$\RR$ et $\sqrt{2} \not\in \mathds{Q}$.)\\
On raisonne par r{é}currence, pour $n=1$, on a $a_1=-1$ et $b_1=1$ donc
$a_1b_1 <0$. On suppose que $x^n \in E$ et $a_nb_n < 0$ alors $x^{n+1} = a_{n+1}
+ b_{n+1} \sqrt{2}$ o{\`u} $a_{n+1} = 2b_n-a_n$ et $b_{n+1} = a_n - b_n$ donc
$a_{n+1}b_{n+1}
= b_n(a_n - b_n) - (a_n - b_n)^2 < 0$. \\
Enfin si $(\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert \sqrt{2}$ alors
$(\sqrt{2}+1)^{n+1} = (2\vert b_n \vert + \vert a_n \vert) + \sqrt{2} (\vert a_n
\vert + \vert b_n \vert)$. Or $a_{n+1} = 2b_n-a_n$ et $a_nb_n < 0$ montre que
$\vert a_{n+1} \vert = 2\vert b_n \vert + \vert a_n \vert$. De m{\^e}me pour
$b_{n+1}$, $\vert b_{n+1} \vert = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert$, donc
$\forall n \geq 1$, $(\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert
\sqrt{2}$.\\
b) D'une part, $N_0(x^n) = \vert \sqrt{2}-1 \vert^n \rightarrow 0$. D'autre
part, par exemple : $$N_1(x^n)(1+\sqrt{2})= N_1((\sqrt{2}+1)^n)(1+\sqrt{2})\geq (\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n
\vert \sqrt{2} \rightarrow +\infty,$$ donc les deux normes ne sont pas
{é}quivalentes.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
a) Il est clair que N d{é}rive d'un produit scalaire.\\
b) Par l'in{é}galit{é} de Cauchy-Schwarz, on a $\vert f(x) \vert \leq \vert
f(0) \vert + {(\int_0^1 f^{\prime}(t)^2 dt)}^{\frac{1}{2}}$. En {é}levant au
carr{é} et en utilisant l'in{é}galit{é} $2ab \leq a^2+b^2$, on obtient
facilement ${\vert f(x)
\vert}^2 \leq 2 N(f)^2$, $\forall x \in [0,1]$.\\
c) On choisit $f_n(x) = x^n$. Alors $\forall n$, $\Vert f_n {\Vert}_{\infty} =1$
et $N(f_n) = \frac{n}{\sqrt{2n-1}} \rightarrow + \infty$. Donc ces deux normes
ne sont pas {é}quivalentes.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Soit ${(f_n)}_n \subset {\cal {L}}(E,F)$ une suite de Cauchy alors
$$\forall \eps >0,\,\exists N \mbox{ tel que } \forall p,q \geq N,\quad \Vert f_p
- f_q \Vert \leq \eps. $$ En particulier, $\forall x \in E,$ ${\Vert f_p(x) -
f_q(x) \Vert}_F \leq \eps
{\Vert x \Vert}_E. \qquad (1)$. \\
Et $\forall x \in E$, la suite ${(f_n(x))}_n$ est de Cauchy dans $F$ complet donc
converge vers un {é}l{é}ment not{é} $f(x)$. la fonction $f$ est
lin{é}aire comme limite simple de fonctions lin{é}aires. On fixe $p$ dans
$(1)$ et on laisse $q \rightarrow \infty$, on obtient alors ${\Vert f_p(x) -
f(x) \Vert}_F \leq \eps {\Vert x \Vert}_E$, $\forall x \in E$, d'o{\`u}
$f=f-f_p+f_p$ est continue et $\Vert f_p - f\Vert \leq \eps,$ d{è}s que $p
\geq N$ donc $f_n \rightarrow f$ dans
${\cal {L}}(E,F)$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
On montre $(i)\Rightarrow (ii)$ (qui est toujours vrai):\\
On pose $A_n = \{ x_k, k \geq n \}$ o\`u $(x_n)_n \subset E$. Alors $F_n = \overline{A_n}$ est
ferm\ea et $F_{n+1} \subset F_n$.
Il faut montrer que $\displaystyle{\cap_n} F_n \neq \emptyset$. Si
$\displaystyle{\cap_n} F_n = \emptyset$ alors $E$ compact est la r\e union des ouverts
$E \setminus F_n$ donc
il existe $I$ partie finie de $\NN$ telle que $E = \displaystyle{\cup_{i \in I}} (E \setminus
F_i)$ alors
$\displaystyle{\cap_{i \in I}} F_i = \emptyset$,
c'est absurde car la suite $(F_n)_n$ est d\e croissante.
\hfill \newline
On sait donc d\e j\`a que $(i) \Rightarrow (ii)$ et que $(ii) \Leftrightarrow (iii)$. 
Il reste \`a montrer $(iii) \Rightarrow (i)$.\\
D\e montrons le point 1) par l'absurde, si pour tout $r>0$, il existe $x_r$ tel que, pour tout
$i$, $B(x_r,r) \not\subset O_i$,
en choisissant $r=\frac{1}{n}$, on construit une suite $(x_n)_n$ telle que $\forall i$, $B(x_n,
\frac{1}{n}) \not\subset O_i$. Par
hypoth\`ese, il existe une sous-suite $(x_{nk})_k$ convergeant vers un $x$ dans $E$. D'autre
part, il existe $i$ tel que $x \in O_i$ ouvert donc pour un certain $N$, $B(x,\frac{1}{N})
\subset O_i$.
Enfin, $\exists n \geq 2N$ tel que $x_n \in B(x,\frac{1}{2N})$. Alors
$$B(x_n,\frac{1}{n}) \subset B(x_n, \frac{1}{2N}) \subset B(x, \frac{1}{2N} + \frac{1}{2N})
\subset O_i,$$
ce qui est absurde.\\
D\e montrons le point 2).\\
Soit $y_1 \in E$, $\exists i_1$ tel que $B(y_1,r) \subset O_{i_1}$. Si $E= O_{i_1}$, c'est
fini.\\
Sinon, $\exists y_2 \in E \setminus O_{i_1}$ et $\exists i_2$ tels que $B(y_2,r) \subset
O_{i_2}$. Si $E = O_{i_1}\cup O_{i_2}$, c'est fini,
sinon $\exists y_3 \in E \setminus (O_{i_1}\cup O_{i_2})$ etc... Si le processus s'arr\ee te,
$E$ est compact. Sinon, il existe
une suite $(y_n)_n$ dans $E$ telle que $y_n \not\in O_{i_1}\cup ...\cup O_{i_{n-1}}$ et donc
$y_n \not\in B(y_1,r) \cup...\cup B(y_{n-1},r)$ pour tout $n$.
Par hypoth\ee se, une sous-suite converge or $d(y_n,y_m) \geq r > 0$ d\e s que $n>m$, c'est
absurde.
\fexo
\end{document}
