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\begin{document}

{\raggedright  Analyse Fonctionnelle\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering Complété d'un espace métrique\\}

\vspace{0.5cm}
\hfill
\newline\newline
Soit $(E,d)$ un espace métrique. \\On note $C$ l'ensemble des suites de Cauchy $U=(u_n)_n$ de $E$.\\
Le but de l'exercice est de plonger $(E,d)$ dans un espace complet dont la distance prolonge celle de $E$.\\ \\
1) a) Soient $U=(u_n)_n$ et $V=(v_n)_n \in C$. Montrer que la suite $(d(u_n,v_n))_n$ converge. On note $\delta (U,V)$ sa limite.\\
b) Montrer que $\delta$ est symétrique et vérifie l'inégalité triangulaire.\\ \\
2) On considère la relation d'équivalence sur $C$ définie par $$(U \sim V)\Leftrightarrow (\delta (U,V)=0).$$ On note $\widehat{E}$ l'espace quotient $C/\!\sim$ et $\widehat{U}$ la classe d'équivalence dans $\widehat{E}$ de $U\in C$.\\
a) Quelle est la classe d'équivalence d'une suite convergente dans $E$?\\
b) Montrer que si $U \sim U^{\prime}$ et $V \sim V^{\prime}$ alors $\delta (U,V)=\delta (U^{\prime},V^{\prime})$. Lorsque $\widehat{U},\widehat{V}\in \widehat{E}$, le réel $\delta (U,V)$ est donc indépendant du choix des représentants. On le note $\delta (\widehat{U},\widehat{V})$.\\
c) Ainsi définie, montrer que $\delta$ est une distance sur $\widehat{E}$.\\
d) Montrer qu'il existe une injection naturelle $i:E\rightarrow \widehat{E}$, isométrique et que $i(E)$ est dense dans $\widehat{E}$.\\ \\
3) Montrer que $\widehat{E}$ est complet. On l'appelle "complété" de $E$.\\ \\
4) Unicité du "complété" à isométrie bijective prés:\\
Soient $(\widehat{E}_1,d_1)$ et $(\widehat{E}_2,d_2)$ deux complétés de $E$, c'est-à-dire qu'ils sont tous les deux complets et qu'il existe une isométrie $i_1$ (resp. $i_2$) de $E$ dans $\widehat{E}_1$ (resp. dans $\widehat{E}_2$), avec $i_1(E)$ (resp. $i_2(E)$) dense dans $E$.\\ 
Montrer qu'il existe une unique isométrie $\varphi$ de $\widehat{E}_1$ dans $\widehat{E}_2$ bijective telle que $\varphi(i_1(x))=i_2(x)$ pour tout $x\in E$.\\ \\
Remarque : Par abus, on identifie souvent $E$ et $i(E)$ dans $\widehat{E}$. Ainsi, $\widehat{E}$ est un espace complet dans lequel $E$ est plongé et sa métrique prolonge celle de $E$.
\newpage
Corrigé:\\ \\
1)a) On montre que la suite $(d(u_n,v_n))_n$ est de Cauchy dans $\RR$. Pour tous $p,q \in \NN$, on a
$$d(u_p,v_p)\leq d(u_p,u_q)+d(u_q,v_q)+d(v_q,v_p),$$
donc, en échangeant le rôle de $p$ et $q$,
$$\vert d(u_q,v_q)-d(u_p,v_p) \vert \leq d(u_p,u_q)+d(v_q,v_p).$$
Les suites $U$ et $V$ étant de Cauchy, on en déduit que $(d(u_n,v_n))_n$ est de Cauchy.\\
b) Immédiat par passage à la limite puisque $d$ est symétrique et vérifie l'inégalité triangulaire.\\
2)a) Soit $U=(u_n)_n$ une suite de $E$ convergeant vers $x \in E$. Une suite convergente est de Cauchy donc $U\in C$. Soit $V=(v_n)_n\in C$. On a
$$U \sim V\Leftrightarrow \delta (U,V)=0\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} d(u_n,v_n)=0.$$
Les inégalités $d(x,v_n)\leq d(x,u_n)+d(u_n,v_n)$ et $d(u_n,v_n)\leq d(u_n,x)+d(x,v_n)$ montrent que $U\sim V$ si et seulement si $\lim_{n\rightarrow\infty} d(x,v_n)=0$. Finalement, la classe de $U$ est l'ensemble des suites qui convergent vers $x$.\\
b) Si $U \sim U^{\prime}$ et $V \sim V^{\prime}$, comme $\delta$ satisfait l'inégalité triangulaire, on a
$$\delta (U,V)\leq \delta (U,U^{\prime})+\delta (U^{\prime},V^{\prime})+\delta (V^{\prime},V)=\delta (U^{\prime},V^{\prime}),$$
de même $\delta (U^{\prime},V^{\prime})\leq \delta (U,V)$. Donc $\delta (U,V)=\delta (U^{\prime},V^{\prime})$.\\
c) D'aprés la question 1)b), il suffit de voir que $\delta (\widehat{U},\widehat{V})=0$ si et seulement si $\widehat{U}=\widehat{V}$. Ceci est vrai par construction de la relation d'équivalence.\\
d) Pour tout $x\in E$, on note $(x)\in C$ la suite constante égale à $x$. On définit $i:E\rightarrow \widehat{E}$ par $i(x)=\widehat{(x)}$. On a
$$\delta (i(x),i(y))=\delta ((x),(y))=d(x,y),$$
c'est-à-dire $i$ est isométrique, et c'est donc une injection.\\
Montrons que $i(E)$ est dense dans $\widehat{E}$. Soit $\widehat{U}\in \widehat{E}$ avec $U=(u_n)_n\in C$. Nous allons voir que $\widehat{U}$ est la limite de la suite $(i(u_n))_n$. Soit $\varepsilon >0$, la suite $(u_n)_n$ est de Cauchy, donc il existe $N>0$ tel que pour tous $p,q\geq N$, $d(u_p,u_q)\leq \eps$. En fixant $p\geq N$, on en déduit
$$\delta (\widehat{U}, i(u_p))=\delta (U,(u_p))=\lim_{n\rightarrow\infty} d(u_n,u_p)\leq \eps.$$
Et c'est vrai pour tout $p\geq N$, donc $\lim_{p\rightarrow\infty} i(u_p)=\widehat{U}$.\\
3) Soit $(\alpha_n)_n$ une suite de Cauchy de $\widehat{E}$. Comme $i(E)$ est dense, pour tout $n$, il existe $x_n$ dans $E$ tel que $\delta(\alpha_n,i(x_n))\leq \frac{1}{n}$. L'inégalité
$$d(x_p,x_q)=\delta (i(x_p),i(x_q))\leq \delta(i(x_p),\alpha_p)+\delta(\alpha_p,\alpha_q)+\delta(\alpha_q,i(x_q))\leq \delta(\alpha_p,\alpha_q)+\frac{1}{p}+\frac{1}{q},$$
montre que $(x_n)_n$ est de Cauchy dans $E$. On note $\alpha$ la classe de $(x_n)_n$ dans $\widehat{E}$. Montrons que $(\alpha_n)_n$ converge vers $\alpha$ dans $\widehat{E}$. Comme 
$$\delta(\alpha_n,\alpha)\leq \delta (\alpha_n,i(x_n))+\delta (i(x_n),\alpha)\leq \frac{1}{n}+\delta (i(x_n),\alpha),$$
il suffit de voir que $\lim_{n\rightarrow\infty} \delta (i(x_n),\alpha)=0$.\\
Soit $\varepsilon >0$, la suite $(x_n)_n$ est de Cauchy dans $E$, donc il existe $N>0$ tel que pour tous $p,q\geq N$, $d(x_p,x_q)\leq \varepsilon$. Alors, si on fixe $n\geq N$,
$$\delta (i(x_n),\alpha)=\lim_{p\rightarrow\infty} d(x_n,x_p)\leq \varepsilon,$$
et ceci pour tout $n\geq N$, d'où le résultat.\\
4) On définit l'application $\varphi$ sur $i_1(E)$ par $\varphi(i_1(x))=i_2(x)$ pour tout $x\in E$. Elle est isométrique sur $i_1(E)$ car $\forall x,y \in E$,
$$d_2(\varphi(i_1(x)),\varphi(i_1(y)))=d_2(i_2(x),i_2(y))=d(x,y)=d_1(i_1(x),i_1(y)).$$
En particulier, $\varphi$ est uniformément continue sur $i_1(E)$ dense dans $E_1$ et à valeurs dans $E_2$ complet. Par le théorème de prolongement, il existe un unique prolongement de $\varphi$ sur $E_1$, encore noté $\varphi$, qui est uniformément continu sur $E_1$. Par continuité et densité, il est facile de voir que ce prolongement reste isométrique sur $E_1$ tout entier. En particulier, $\varphi$ est injective.\\
Montrons que $\varphi$ est surjective. Soient $\beta \in E_2$. Par densité de $i(E_2)$, il existe une suite $(\beta_n=i_2(x_n))_n$ de $i(E_2)$ qui converge vers $\beta$. De plus pour tous $p,q$,
$$d_1(i_1(x_p),i_1(x_q))=d(x_p,x_q)=d_2(i_2(x_p),i_2(x_q))=d_2(\beta_p,\beta_q).$$
La suite $(i_1(x_n))_n$ est donc de Cauchy dans $E_1$ complet, elle converge vers $\alpha \in E_1$. Comme $\varphi$ est continue,
$$\varphi(\alpha)= \lim_{n\rightarrow\infty} \varphi(i_1(x_n))= \lim_{n\rightarrow\infty} i_2(x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty} \beta_n=\beta,$$
d'où la surjectivité.


 \end{document}