\setcounter{chapter}{13}
\section{Chapitre \ref{ChapitreEspacesReflexifs}}
\setcounter{chapter}{4}
%\setcounter{Exer}{0}
\setcounter{exo}{0} \dexo \hfill \newline ************************************ FNS SCI
*************************************************** \fexo \dexo \hfill \newline En ce qui concerne $A$, on raisonne
comme dans l'exercice \ref{polaire} page ~\pageref{polaire}, $A^{\perp\perp}$ est ferm\ea et contient
$\overline{vect(A)}$. Si il existe $x \in A^{\perp\perp}$ qui n'est pas dans $\overline{vect(A)}$, on s\e pare $\{ x
\}$ et $\overline{vect(A)}$ par un hyperplan ferm\ea et
on conclut comme dans l'exercice \ref{polaire} du chapitre $2$.\\
De m\eee me pour $B$, $B^{\perp\perp}$ est ferm\ea et contient $\overline{vect(B)}$. Si il existe $f_0 \in
B^{\perp\perp}$ qui n'est pas dans $\overline{vect(B)}$, par le th\e or\ee me d'Hahn-Banach version ferm\e -compact, il
existe $\xi \in \Epp$, non identiquement nulle, il existe $\alpha \in \RR$ tels que $<\xi,f_0> < \alpha < <\xi,f>$ pour
tout $f \in vect(B)$. Comme $vect(B)$ est vectoriel, on en d\e duit que $<\xi,f> = 0$ pour tout $f \in vect(B)$ et
$\alpha < 0$. Si $E$ est r\e flexif, $\exists x_0 \in E$ tel que $<\xi,f> = <f,x_0>$ pour tout $f \in \Ep$, alors
$<f,x_0> = 0$ pour tout $f \in B$ donc $x_0 \in B^{\perp}$ et $<f_0,x_0> = 0 < \alpha$ ce qui est absurde. \fexo \dexo
\hfill \newline
$E \subset {(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$ :\\
Soit $x \in E$ alors $V = \{ f \in E^{\prime} : \vert <f,x> \vert < \ep \}$ est un voisinage faible-$\star$ de $0$ dans
$E^{\prime}$. Donc $f \mapsto <f,x>$ est continue sur $E_{w\star}^{\prime}$, d'o{\`u} $x \cong J(x) \in
{(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$.\\
${(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime} \subset E$ :\\
Soit $\vfi \in {(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$ et soit $\ep > 0$ alors $\exists \Omega$ voisinage faible-$\star$ de
$0$ dans $E^{\prime}$ tel que
$$ f \in \Omega \Longrightarrow \vert <\vfi,f> \vert < \ep.$$
On peut toujours choisir $\Omega = \{ g \in E^{\prime} : \vert <g,x_i> \vert < \beta,\,i=1,...,n \}$ o{\`u} $\beta > 0$
et pour $i=1,...,n$, $x_i \in E$. Mais $J(x_i) \in E^{\prime \prime}$ et $$\vert < J(x_i),g> \vert < \beta,\, \forall
i=1,...,n \Longrightarrow \vert <\vfi,g> \vert < \ep.$$ Donc $g \in \bigcap_i \ker J(x_i)$ $\Longrightarrow$ $\vert
<\vfi,g> \vert < \ep$, d'o{\`u} $\bigcap_i \ker J(x_i) \subset \ker \vfi$. D'apr{è}s l'exercice 2, question 3),
$\exists \lambda_1,...,\lambda_n \in \RR$ tels que $\vfi = \displaystyle{\sum_1^n} \lambda_i J(x_i) =
J(\displaystyle{\sum_1^n} \lambda_i x_i).$ Soit $x = \displaystyle{\sum_1^n} \lambda_i x_i \in E$ alors $\vfi = J(x)$,
d'o{\`u} le r{é}sultat. \fexo \dexo \hfill \newline Soit $f_n : E \longrightarrow \RR$ telle que $f_n(x)=x_n$ si
$x=(x_n)_n$. Alors $f_n \in E^{\prime}$ et $\Vert f_n \Vert = 1$. S'il existe une sous-suite $(f_{nk})_{nk}$ qui
converge vers un $f$ dans $E_{w\star}^{\prime}$ alors $\forall x \in E$, $<f_{nk},x> = x_{nk} \longrightarrow <f,x>$
quand $k$ tend vers $+ \infty$. Donc en fait il s'agit de trouver une suite de r{é}els qui ne converge pas...c'est
facile. Par exemple, soit $x = (x_n)_n$ tel que $x_{nk}=(-1)^k$ et $x_n = 0$ ailleurs, alors $x \in \linf$ et
$<f_{nk},x> = (-1)^k$ ne converge pas. Donc il n'existe pas de sous-suites faiblement-$\star$ convergentes bien que
$(f_n)_n$ soit dans un compact faible-$\star$. Mais ce compact n'est pas m{é}trisable, on peut en conclure par exemple
que $\linf$ n'est pas s{é}parable ni r{é}flexif. En effet, $\ell^1$ est séparable et si $\ell^\infty$ était réflexif,
il serait donc aussi séparable. \fexo \dexo \hfill \newline 1) $K \subset \displaystyle{\bigcup_{n>0}} B(0,n)$ et K
compact $\Longrightarrow$ $\exists N$
tel que $K \subset B(0,N)$.\\
2) $\forall x \in B_E$, $Tx$ est dans un compact donc $\exists N$ tel que $Tx \in
B(0,N)$ $\Longrightarrow$ $\Vert Tx \Vert \leq N$.\\
3) Soit $(x_n)_n \in E$ telle que $x_n$ converge faiblement vers $x \in E$, alors $\Vert x_n \Vert$ est born{é}e car
$E$ est un Banach et donc $\exists R>0$ tel que $\forall n$, $x_n \in \overline{B} (0,R)$. Comme $T$ est compacte,
$(Tx_n)_n$ est dans un compact fort et il existe une sous-suite $(Tx_{nk})_{k}$ qui converge fortement vers $y \in F$.
D'autre part $T$ est lin{é}aire continue donc continue de E faible dans F faible et $Tx_{nk} \rightharpoonup Tx$
d'o{\`u} $y = Tx$. $Tx$ est la seule valeur d'adh{é}rence de la suite $(Tx_n)_n$ donc toute la suite converge vers $Tx$
d'o{\`u} ($\star$).\\
4) Montrons que $T(B_E)$ est ferm{é}. Soit $y_n =Tx_n \in T(B_E)$, on suppose que
$Tx_n \longrightarrow y$, a-t-on $y=Tx$ o{\`u} $x \in B_E$ ?\\
Comme E est  r{é}flexif et que $\Vert x_n \Vert \leq 1$, $\forall n$,  il existe une sous-suite $(x_{nk})_{k}$ telle
que $x_{nk} \rightharpoonup x$. Alors ($\star$) $\Longrightarrow$ $Tx_{nk} \longrightarrow Tx$ donc $y=Tx$ et $\Vert x
\Vert \leq \liminf \Vert x_{nk} \Vert \leq 1$ et $T(B_E)$ est ferm{é}.\\
Soit encore $y_n =Tx_n \in T(B_E)$, alors E r{é}flexif $\Longrightarrow$ $x_{nk} \rightharpoonup x$ et $Tx_{nk}
\longrightarrow Tx$ donc $Tx$ est valeur
d'adh{é}rence de $(y_n)_n$ et $T(B_E)$ est compact.\\
5) Soit $B = \{x \in \ker (Id-T) : \Vert x \Vert \leq 1 \}$. Soit $(x_n)_n \in B$ alors de $\Vert x_n \Vert \leq 1$ et
$T$ compact, on d{é}duit qu'il existe une sous-suite $x_{nk}=Tx_{nk}$ qui converge vers $y$. Il est clair que $y \in B$
donc $B$ est compact et $dim(\ker (Id-T)) < \infty$. \fexo \dexo \hfill \newline On d{é}finit $J : E \longrightarrow
\Epp$ par  $J(x)=J_x$ avec
$${<J_x,f>}_{\Epp,\Ep} = {<f,x>}_{\Ep,E} \quad \forall x \in E,\,\,\forall f \in
\Ep.$$ On a $\Vert J_x \Vert = \sup_{\Vert f \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \Vert x \Vert$ par Hahn-Banach,
donc J est lin{é}aire isom{é}trique. \\
Ici, E est r{é}flexif donc J est surjective c'est-\`a-dire $J(E)= \Epp$.\\
Si $f \in E^{\prime}$ alors $\Vert f \Vert = \sup_{\Vert x \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \sup_{\Vert \xi \Vert \leq
1} \vert <\xi,f> \vert$ car $J$ est
isom{é}trique et surjective. \\
Par Hahn-Banach, $\sup_{\Vert \xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f> \vert = \max_{\Vert \xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f>
\vert$ et donc $\exists x_0 \in E$ tel que $\Vert x_0 \Vert \leq 1$ et $\Vert f \Vert = \vert <f,x_0> \vert$. \fexo
\dexo \hfill \newline On peut v{é}rifier facilement que si $\vfi_n$ converge faiblement vers $\vfi$ alors elle converge
simplement sur $[0,1]$ vers $\vfi$ et donc n{é}cessairement $\vfi(x) = 0$ si $x \not= 0$ et $\vfi(0) = 1$, donc $\vfi$
n'est pas continue, ce qui est impossible. On peut en conclure que E n'est pas r{é}flexif. \fexo \dexo \hfill \newline
1) $B_d(0,\frac{1}{n})$ est un voisinage de $0$ dans $(B_{E^{\prime}},d)$. Par {é}quivalence des topologies, $\exists
V_n$ voisinage faible $\star$ de $0$ tel que $V_n \subset B_d(0,\frac{1}{n})$. On peut supposer que
$$V_n = \bigcap_{i \in I_n} \left\{ f \in B_{E^{\prime}} : \vert < f,x_i > \vert <
\ep_n \right\},$$
o{\`u} $\ep_n > 0$, $T_n$ est une partie finie de $\NN^{\star}$ et $x_i \in E$.\\
L'ensemble $\left\{ x_i, i \in I_n, n \in \NN^{\star} \right\}$ constitue une suite
d{é}nombrable de points de $E$.\\
2) Si $x \in X$, $\exists n$ tel que $x \in X_n$ donc $x = \displaystyle{\sum_1^n} \lambda_i x_i$ o{\`u} $\lambda_i \in
\RR$. Comme $\QQ$ est dense dans $\RR$, pour $\ep > 0$, $\exists r_1,...,r_n \in \QQ$ tels que $\vert r_i - \lambda_i
\vert \leq \ep$. Si $y = \displaystyle{\sum_1^n} r_i x_i$ alors $y \in Y_n \subset Y$ et on a $\Vert x-y \Vert \leq \ep
\displaystyle{\sum_1^n} \Vert x_i \Vert$. Donc on a montr{é} que $\forall V \in {\cal V}(x)$, $V \cap Y \not=
\emptyset$. D'o{\`u} $X \subset \overline{Y}$.\\
3) Si $\overline{X} \not= E$, $\exists x_0 \in E\setminus \overline{X}$ et par Hahn-Banach, $\exists f \in E^{\prime}$,
$f \not\equiv 0$, $\exists \alpha \in \RR$, tels que $<f,x>\;< \alpha <\;<f,x_0>$, $\forall x \in \overline{X}$. Comme
$X$ est vectoriel, on en d{é}duit que $f \equiv 0$ sur $X$. On peut supposer que $\Vert f \Vert = 1$, alors $f \in
V_n$, $\forall n$ donc $f \in B_d(0,\frac{1}{n})$, $\forall n$ d'o{\`u} $f \equiv 0$ et c'est absurde. \fexo 