
\section{Chapitre \ref{ChapEspacesdeHilbert}}
\setcounter{chapter}{8}
%\setcounter{Exer}{0}
\setcounter{exo}{0} \dexo \hfill \newline D'apr\e s le th\e or\ee me de projection \ref{desprojections} page
~\pageref{desprojections}, pour tout $h \in C$, on a les deux in\e galit\e s, Re$(f_1 - u_1,h-u_1) \leq 0$ et Re$(f_1 -
u_1,h-u_1) \leq 0$ o\u $u_i = Pf_i$. On choisit $h=u_2$ dans la premi\ee re  et $h=u_1$ dans la deuxi\ee me puis on
additionne, on obtient
$$\mbox{Re}(f_1-f_2,u_2-u_1)+\Vert u_2-u_1 \Vert^2 \leq 0,$$
donc,
$$\Vert u_2-u_1 \Vert^2 \leq \mbox{Re}(f_2-f_1,u_2-u_1) \leq \vert (f_2-f_1,u_2-u_1) \vert.$$
Par l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz, on en conclut que $\Vert u_2-u_1 \Vert \leq \Vert f_2-f_1 \Vert.$ \fexo \dexo
\hfill \newline ************************************************** PARSEVAL
********************************************** \fexo \dexo \hfill \newline
**************************************************BILINEAIRE********************************************* \fexo \dexo
\hfill \newline *****************************************************sin |nx|
******************************************* \fexo \dexo \hfill \newline 1) On note $\PP_2 = $vect$\{1,x,x^2\}$, c'est
un espace vectoriel de dimension finie donc ferm{é}. Par le th{é}or{è}me de projection dans $L^2(-1,1)$, $\exists ! P
\in \PP_2$ tel que $d(x^3,\PP_2) = \Vert x^3 -P \Vert$ et $(x^3 -P,v) = 0$, $\forall v \in \PP_2$ o{\`u} $( , )$
d{é}note le produit scalaire usuel dans $L^2$. En choisissant successivement $v=1,x,x^2$, on détermine explicitement
$P$ et on trouve $P(x) = \frac{3}{5} x$ d'o{\`u} $\Vert x^3 -P \Vert^2 = \int_{-1}^1 {\vert
x^3 - \frac{3}{5} x \vert}^2 dx = \frac{8}{175}$.\\
Si $g \in \PP_2^{\perp}$ alors
\begin{eqnarray*}
(x^3,g) &=& (x^3 - q,g),\quad \forall q \in \PP_2,\\
        &\leq& d(x^3,\PP_2) \Vert g \Vert,
\end{eqnarray*}
donc finalement si $g \in \PP_2^{\perp}$ et $\Vert g \Vert = 1$ alors $(x^3,g) \leq \Vert x^3 -P \Vert$ o{\`u}
$P(x)=\frac{3}{5} x$. Soit $g_0 = \frac{x^3 - P}{\Vert x^3 -P \Vert}$ alors $g_0 \in \PP_2^{\perp}$, $\Vert g_0 \Vert
=1$ et $(x^3,g_0)=(x^3-P,g_0)=\Vert x^3 -P \Vert=\frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}$ donc
$$ \max \{\int_{-1}^1 x^3 g(x) dx\,:\, g \in \PP_2^{\perp}, \Vert g \Vert = 1 \}
= (x^3,g_0) = d(x^3,\PP_2).$$ 2) Si $x_0 \in H$ et si M est un sous-espace vectoriel ferm{é} de H alors $d(x_0,M) =
\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert$ o{\`u} $P_Mx_0$ est la projection orthogonale de $x_0$ sur $M$ et $(x_0-P_Mx_0,v) = 0$,
$\forall v \in M$. Si $y \in M^{\perp}$, $\Vert y \Vert = 1$ alors $(x_0,y) = (x_0 - P_Mx_0,y) \leq \Vert x_0 - P_Mx_0
\Vert$ donc
$$ \max \{ (x_0,y) : y \in M^{\perp}, \Vert y \Vert = 1 \} \leq \Vert x_0 -
P_Mx_0 \Vert = \min \{ \Vert x_0 - x \Vert, x \in M \},$$ et
$$(x_0-P_Mx_0,\frac{x_0-P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}) = (x_0, \frac{x_0 -
P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}) = \Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert.$$ Donc le max est atteint en $y = \frac{x_0 -
P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}$ et sa valeur est {é}gale {à} $d(x_0,M)$ d'o{\`u}
$$\max \{ (x_0,y) : y \in M^{\perp}, \Vert y \Vert = 1 \} = \min \{ \Vert x_0 - x
\Vert, x \in M \}.$$ \fexo \dexo \hfill \newline 1) $(S,\Vert\,\Vert_1)$ est un Banach et on veut montrer que $i :
(S,\Vert\,\Vert_1) \longrightarrow \Linf$ est continue, pour cela on utilise le th{é}or{è}me du graphe ferm{é}, voir
l'exercice \ref{grapheferme} page ~\pageref{grapheferme}. Soit $f_n \longrightarrow f$ dans $(S,\Vert\,\Vert_1)$ et
$f_n \longrightarrow g$ dans $\Linf$, a-t'on $f=g$ p.p. ? oui, car il existe une
sous-suite de $f_n$ qui converge p.p. vers $f$.\\
D'autre part, on a $\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_2$ donc $S$ est ferm{é} dans
$L^2$ et $\Vert f \Vert_{\infty} \leq M \Vert f \Vert_2$.\\
2) On vient de voir que $(S,\Vert\,\Vert_2)$ est un espace de Hilbert. On consid{è}re la fonction $f_c(x) =
\displaystyle{\sum_1^n} c_i \Phi_i(x)$ o{\`u} $c=(c_i)_i \in B= \overline{B}(0,1)$ alors $f_c \in S$ et $\Vert f_c
\Vert_2^2 = \sum_i \vert c_i \vert^2 \leq 1$, $\forall c \in B$. Donc $\forall c \in B$, $\Vert f_c \Vert_{\infty} \leq
M$. Soit $D$ une partie d{é}nombrable et dense dans $B$. Comme $D$ est d{é}nombrable, $\exists \Om^{\prime} \subset
\Om$ tel que $\mu(\Om^{\prime})=1$ et tel que $\forall x \in \Om^{\prime}$, $\forall c \in D$,
$\vert f_c(x) \vert \leq M$.\\
Pour $x$ fix{é} dans $\Om^{\prime}$, $c \mapsto f_c(x)$ est continue sur $B$, et par
 densit{é} de $D$ dans $B$, on a \\
 $\vert f_c(x) \vert \leq M$, $\forall c \in B$ et
$\forall x \in \Om^{\prime}$. En choisissant convenablement $c$, on peut facilement montrer que $\sup_{c \in B} \vert
f_c(x) \vert = (\displaystyle{\sum_1^n} \vert \Phi_i(x) \vert^2)^{\frac{1}{2}}$. Donc
$$\forall x \in \Om^{\prime},\quad \sum_1^n \vert \Phi_i(x) \vert^2 \leq M^2.$$
On int{è}gre cette in{é}galit{é} et on obtient $n \leq M^2$. Donc n{é}cessairement dim$S < \infty$. \fexo
%%%%%%%%%%%base Haar%%%%%%%%%%%
\dexo \hfill \newline
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Le support de $H_k^l$ est $I_k^l = [\frac{k}{2^l}, \frac{k+1}{2^l}]$. Donc si $l=l^{\prime}$ et $k \not=
k^{\prime}$, les supports de $H_k^l$ et $H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}}$ sont disjoints donc $(H_k^l,
H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}})_{L^2} = 0$. Si $l\not=l^{\prime}$, par exemple $l>l^{\prime}$ alors
$H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}}$ est constante sur les intervalles dyadiques de longueur $2^{-l^{\prime}-1}$ donc est
constante sur le support de $H_k^l$. Comme $H_k^l$ est de moyenne nulle, on en d{é}duit que $(H_k^l,
H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}})_{L^2} = 0$. Enfin $\Vert H_k^l \Vert_{L^2}^2 = 2^l \int_{I_k^l} 1 dx = 1$. Donc
$(H_k^l)_{l,k}$ forme un
syst{è}me orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Il y a
\begin{eqnarray*}
1 & \mbox{fonction constante par morceaux sur les intervalles de longueur}&
\frac{1}{2},\\
1+2 &.............................................. & \frac{1}{4},\\
... &.............................................. &..,\\
1+2+...+2^{j-1}&..............................................& \frac{1}{2^j}.
\end{eqnarray*}
Donc card($S_j$)$=2^j-1$. Or $W_j$ est un espace de codimension 1 dans un espace de dimension $2^j$, l'espace des
fonctions constantes par morceaux sur les intervalles dyadiques de longueur $2^{-j}$, donc le syst{è}me $S_j$ forme une
base de $W_j$.\\
3) Les fonctions indicatrices des intervalles dyadiques sont denses dans $L^2(0,1)$ donc $\{1, H_k^l, l \geq 0,
k=0,...,2^l-1 \}$ forme une base orthogonale de $L^2(0,1)$. Si on enl{è}ve la fonction {é}gale {à} 1, les $H_k^l$
forment une base orthogonale de $\{f \in L^2(0,1),$ f {à} moyenne nulle $\}$, et par sym{é}trie par rapport {à} $0$ et
dilatations, les $H_k^l$, $l \geq -j$, $k= -2^l,...,2^l-1$ forment une base orthogonale des fonctions de
$L^2(-2^l,2^l)$
d'int{é}grale nulle sur $[-2^j,0]$ et $[0,2^j]$.\\
3) Soit maintenant $f \in L^2(\RR)$, comme les fonctions {à} supports compacts sont denses dans $L^2$, on peut supposer
que $f$ est {à} support compact. On d{é}coupe $f$ en $f= \ind_{(0,+\infty)} f + \ind_{(-\infty,0)} f$. Soit $g =
\ind_{(0,+\infty)} f$ alors $g$ est {à} support compact dans $\RR^+$, soit $[0,A]$ son support alors $A \leq 2^j$ pour
un $j$. On connaît une base de $L^2(0,2^j)$ en ajoutant aux $H_k^l$ la fonction $e_1= 2^{-\frac{j}{2}} \ind_{(0,2^j)}$
donc $g= (g,e_1) e_1 + \displaystyle{\sum_{i \geq 2}} (g,e_i) e_i$ o{\`u} les $e_i$ pour $i \geq 2$ sont les $H_k^l$.
Alors $\Vert g - \displaystyle{\sum_{i \geq 2}} (g,e_i) e_i \Vert_2 = \vert (g,e_1) \vert$. Montrons que pour $\ep > 0$
on peut choisir $j$ tel que $\vert (g,e_1) \vert \leq \ep$. On a
$$\vert (g,e_1) \vert = \vert \int_0^A 2^{-\frac{j}{2}} g(x) dx \vert \leq
2^{-\frac{j}{2}} \Vert g \Vert_2 \sqrt{A},$$ et on veut rendre ce terme plus petit que $\ep$, il est clair que c'est
vrai pour $j$ assez grand. On raisonne de la m{\^e}me fa{\c c}on pour le terme $\ind_{(-\infty,0)} f$, donc on
approxime arbitrairement bien toute fonction {à} support compact et par densit{é} toute fonction de $L^2(\RR)$. \fexo
\dexo \hfill \newline 1) Pour montrer que $(x,2y)=2(x,y)$, on applique l'identit{é} du parall{é}logramme avec
$a=x+y$ et $b=y$.\\
2) On forme $(1)-(2)+(3)$.\\
3) Il est facile de voir que $(nx,y) = n(x,y)$ si $n \in \ZZ$. Si $p,q \in \ZZ$ avec $q \not= 0$, alors
$p(x,y)=(px,y)=(\frac{pq}{q}x,y)=pq(\frac{1}{q}x,y)$ donc $(\frac{1}{q}x,y)=\frac{1}{q}(x,y)$ et on en d{é}duit que
$(\frac{p}{q}x,y)=\frac{p}{q}(x,y)$. Enfin, par d{é}finition de $(\,,\,)$, l'application $\lambda \mapsto (\lambda
x,y)$ est continue donc on conclut ais{é}ment. \fexo \dexo \hfill \newline
1) Il suffit de voir que $\forall n$, $\int_0^{\infty} x^n w(x) dx < \infty$.\\
On pose $u = \log x$ alors
$$\int_0^{\infty} x^n w(x) dx = \int_{\RR} e^{(n+1)u} e^{-u^2} du < \infty.$$
2) Avec le m{\^e}me changement de variable, on montre que $f \in L^2_w(0,+\infty)$, et $\forall n \geq 0$,
\begin{eqnarray*}
\int_0^{\infty} x^n f(x) w(x) dx & = & \int_{\RR} e^{(n+1)u} e^{-u^2} \sin(2\pi u)
du,\\
 & = & e^{\left(\frac{n+1}{2}\right)^2} \int_{\RR} \sin(2\pi u) e^{-(u -
\frac{n+1}{2})^2} du,\\
  & = & (-1)^{n+1}e^{\left(\frac{n+1}{2}\right)^2} \int_{\RR} \sin(2\pi u) e^{-u^2}
du = 0,
  \end{eqnarray*}
car la fonction int{é}gr{é}e est impaire. Donc $(f,p) = 0$, $\forall p \in \PP$. Si $\PP$ est dense dans
$L^2_w(0,+\infty)$, on en d{é}duit que $f \equiv 0$ ce qui est absurde. \fexo \dexo \hfill \newline
On note ${\cal V} = \bigcup_n V_n$.\\
1) $V$ est un Hilbert et $a$ v{é}rifie les hypoth{è}ses du th{é}or{è}me de Lax-Milgram (théorème \ref{laxmilgram} page
~\pageref{laxmilgram}), donc il existe un unique $u$ dans $V$ tel que $a(u,v) = \ell(v)$, $\forall v \in V$. Et,
$\alpha \Vert u \Vert^2 \leq a(u,u) \leq \Vert \ell \Vert \Vert u \Vert$ $\Longrightarrow$ $\Vert u \Vert \leq
\frac{1}{\alpha} \Vert \ell
\Vert_{V^{\prime}}$.\\
2) $V_n$ est ferm{é} dans $V$ donc Lax-Milgram s'applique et il existe un unique $u_n \in V_n$ tel que $\forall v_n \in
V_n$, $a(u_n,v_n) = \ell(v_n)$ et comme en 1), on montre que $\Vert u_n \Vert \leq \frac{1}{\alpha} \Vert \ell
\Vert_{V^{\prime}}$. $V$ est r{é}flexif, donc il existe une sous-suite $(u_{n_k})_k$ telle que $u_{n_k}
\rightharpoonup u\star$ dans $V$ faible.\\
3) Soit $n_0$ fix{é}, comme $V_{n_0} \subset V_n$, $\forall n \geq n_0$, on a $a(u_n,v) = \ell(v)$, $\forall v \in
V_{n_0}$. Or $a(.,v) \in V^{\prime}$ donc $a(u_{n_k},v) \rightarrow a(u\star,v)$, $\forall v \in V$. D'o{\`u}
$a(u\star,v) = \ell(v)$, $\forall v \in V_{n_0}$ et ceci $\forall n_0 \geq 1$ donc $a(u\star,v)=\ell(v)$, $\forall v
\in {\cal V}$. Mais ${\cal V}$ est dense dans $V$, $a(u\star,.) \in V^{\prime}$ et $\ell \in V^{\prime}$ donc
$a(u\star,v)=\ell(v)$, $\forall v \in V$ et par unicit{é} dans
Lax-Milgram, on en d{é}duit que $u = u\star$.\\
En raisonnant par l'absurde, on voit facilement que $u_n \rightharpoonup u$ faiblement
dans $V$.\\
4) $a(u_n - u,u_n - u) = a(u_n - u,u_n) - a(u_n - u,u)$. Le terme $a(u_n - u,u)$ tend vers $0$ car $u_n \rightharpoonup
u$ faiblement. $a(u_n - u,u_n) = \ell(u_n)-a(u,u_n) = 0$, donc $$\alpha \left( \Vert u_n-u \Vert\right)^2 \leq a(u_n -
u,u_n - u) \longrightarrow 0.$$
5) $\delta_n = d(u,V_n) = \inf_{V_n} \Vert u-v_n \Vert$.\\
a) $V_n$ est convexe ferm{é} donc par le th{é}or{è}me de projection il existe un unique
$v_n \in V_n$ tel que $\delta_n = \Vert u-v_n \Vert$.\\
b) Comme $V_n \subset V_{n+1}$, $\delta_{n+1} \leq \delta_n$. La suite $(\delta_n)_n$ est d{é}croissante positive donc
elle converge. D'autre part, $\overline{\bigcup V_n} = V$ donc $\forall \ep>0$, $\exists N$ tel que $\Vert u-w_N \Vert
\leq \ep$ o{\`u} $w_N \in V_N$. Donc $\delta_n \leq \ep$ et ceci $\forall n \geq N$, d'o{\`u} $\delta_n \rightarrow
0$.\\
c) $\forall w \in V_n$, $a(u_n,w) = \ell(w) = a(u,w)$ donc $a(u_n-u,w) = 0$. Donc si $w \in V_n$,
$$a(u_n-u,u-u_n) = a(u_n-u,u) = a(u_n-u, u-w)$$
$$\Longrightarrow \alpha \Vert u_n-u \Vert^2 \leq a(u-u_n,u-w) \leq \beta \Vert
u_n-u \Vert\; \Vert u-w \Vert,\,\,\forall w \in V_n,$$
$$\Longrightarrow \Vert u_n-u \Vert \leq \frac{\beta}{\alpha} \delta_n.$$
Questions subsidiaires :\\
1) $\dim V = + \infty \Longrightarrow p_n \rightarrow_{n\infty} + \infty$. En effet, sinon $\exists A>0$, $\exists
(p_{n_k})_k$ une sous-suite telle que $p_{n_k} \leq A$, $\forall k$. Or $V_n \subset V_{n+1} \Longrightarrow p_n \leq
p_{n+1}$ donc $\forall n$, $\exists k$ tel que $v_n \subset V_{n_k}$ d'o{\`u} $p_n \leq A$, $\forall n$ alors $\dim
{\cal V} \leq A$ et $\overline{{\cal V}} = V$ $\Longrightarrow$ $\dim V \leq A$, ce qui
est absurde.\\
2) Comme chaque $V_n$ est s{é}parable, que leur union est dense dans $V$ et qu'une union d'ensembles d{é}nombrables est
d{é}nombrable, on voit facilement que $V$ est s{é}parable. \fexo \setcounter{chapter}{13}

