\setcounter{chapter}{13} \setcounter{chapter}{13}
\section{Chapitre 3}
\setcounter{chapter}{3}
%\setcounter{Exer}{0}
\setcounter{exo}{0} \dexo \hfill \newline ************************************ BOSSE ROULANTE
*************************************** \fexo \dexo \hfill \newline *************************************RIEMANN
LEBESGUE ************************************* \fexo \dexo \hfill \newline Soient $E$ l'espace de Banach de dimension
finie en question et $\Ep =(f_i)_{i \in I}$
son dual topologique.\\
On note $\overline{S}^w$ la fermeture de $S(0,1)=\{x, ||x||=1\}$ pour la topologie faible et $\overline{B}(0,1)$ la
boule unit\ea ferm\e e pour la topologie forte. On va commencer par montrer que la boule ouverte (fort) $B(0,1) \subset
\overline{S}^w$.) Soit $x_0 \in B(0,1)$, les ensembles $V(x_0,J,\ep) = \{ y \in E, \vert <f_i,x_0-y> \vert < \ep,
\forall i \in J \}$ o{\`u} $J \in P.F.I$ et $\ep > 0$ constituent une base de voisinages (ouverts) faibles de $x_0$
dans $E$. Montrons
que $V(x_0,J,\eps) \cap S(0,1) \not= \emptyset$.\\
On choisit $y_0 \in E$, $y \not= 0$ tel que $<f_i,y_0> = 0$ pour tout $i$ dans $J$ (c'est possible sinon l'application
$F : E \rightarrow {\RR}^J$ d\e finie par $F(x) = (f_i(x))_{i \in J}$ est lin\e aire et injective donc $\dim E <
\infty$, c'est absurde). Alors pour tout $t \in \RR$, $x_0 +ty_0 \in V(x_0,J,\eps)$. On veut trouver $t$ tel que $\Vert
x_0 +ty_0 \Vert = 1$. Posons $g(t) = \Vert x_0 +ty_0 \Vert$ alors $g$ est continue sur $\RR$, $g(0) < 1$ et $g(t)
\rightarrow + \infty$ quand $t$ tend vers l'infini, donc il existe $t_0 > 0$ tel que $g(t_0) = 1$ et $x_0 +ty_0 \in
S(0,1) \cap V(x_0,J,\eps)$. D'o\u
$B(0,1) \subset \overline{S}^w$.\\
On a donc $S(0,1) \subset \overline{B}(0,1)=B(0,1) \cup S(0,1) \subset \overline{S}^w$. Enfin $\overline{B}(0,1)$ est
un convexe ferm\ea fort donc ferm\ea faible, d'o\u $\overline{S}^w = \overline{B}(0,1)$. \fexo \dexo
********************************************** DEMI ESPACE COMPLEXE ******************************* \fexo \dexo
\index{N}{${\cal V}_{\om}(x)$ est l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie faible} \hfill \newline 1)
Montrons d'abord que si $\forall x \not= 0$, $\exists p$ semi-norme telle que $p(x) \not= 0$ alors $(E,\cal P)$ est
s{é}par{é}. Soit donc $x \not= 0$, et $p$ telle que $p(x) \not= 0$ alors si $r= \frac{1}{2} p(x)$ on a $B(x,r) \cap
B(0,r) = \emptyset$ et on s{é}pare $0$ et $x$. Si $x \not= y$, on peut {é}crire $y = x+z$ avec $z \not= 0$ et on a
$B(x,r) \cap B(x+z,r) = \emptyset$. (la
r{é}ciproque est vraie).\\
Utilisons ce crit{è}re, soit donc $x \not= 0$, par Hahn-Banach, $\exists f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$ telle que
$f(x) > 0 =f(0)$ donc $p_f (x) \not= 0$
et la topologie faible est s{é}par{é}e.\\
2) Soit $U$ un ouvert faible non vide, pour montrer qu'il est un ouvert fort, il faut montrer que $\forall x \in U$,
$\exists r > 0$ tel que $B(x,r) \subset U$. Soit donc $x_0 \in U$ par hypoth{è}se, $\exists \ep > 0$ et $\exists J \in
P.F.I.$ tels que $V(x_0,J,\ep) \subset U$. Cherchons $r$ tel que $B(x_0,r) \subset V(x_0,J,\ep)$. On a
$$\vert < f_i,x-x_0> \vert < \Vert f_i \Vert\, \Vert x-x_0 \Vert \leq (\sup_J
\Vert f_i \Vert) \Vert x-x_0 \Vert.$$ Cela sugg{è}re de choisir $r< \frac{\ep}{\sup_J \Vert f_i \Vert}$, ce qui donne
le r{é}sultat. (Si $\forall i$, $f_i \equiv 0$, alors $E=V(x_0,J,\ep)$ est bien
un ouvert fort.)\\
3) Si $f \in (E_w)^{\prime}$ alors $\forall U$ ouvert de $\RR$, $f^{-1}(U)$ est
un ouvert faible et la question pr{é}c{è}dente montre que $f \in E^{\prime}$.\\
Si $f \in E^{\prime}$, soit $x_0 \in E$, montrons que $f$ est continue faiblement en $x_0$, c'est {à} dire que $\forall
\ep > 0$, $\exists V \in {\cal V}_{\omega}(x_0)$ tel que $x \in V$ $\Longrightarrow$ $\vert f(x)-f(x_0)\vert <
\ep$. Il est clair que $V=V(x_0,f,\ep)$ convient.\\
4) On suppose dim$E < \infty$. D'apr{è}s la question 2), il reste {à} montrer que $U$ ouvert fort est un ouvert faible.
Soit $x_0 \in U$ suppos{é} non vide, alors $\exists r > 0$ tel que $B(x_0,r) \subset U$. On va montrer que $\exists
\ep>0$ et $\exists J \in P.F.I.$ tels que $V(x_0,J,\ep) \subset B(x_0,r)$.\\
Soit $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$ telle que $\forall i$  $\Vert e_i \Vert = 1$. Tout $x$ de $E$ s'{é}crit $x =
\displaystyle{\sum_1^n} x_ie_i$, soit $f_i : E \rightarrow \RR$ d{é}finie par $f(x) =x_i$ alors $f_i \in E^{\prime}$ et
on a
$$\Vert x - x_0 \Vert \leq \sum_1^n \vert x_i - x_{0i} \vert = \sum_1^n \vert <
f_i, x-x_0 > \vert.$$ D'o{\`u} si $x \in V=V(x_0,\{1,...,n\},\ep)$ alors $\Vert x - x_0 \Vert < n\ep$, on choisit donc
$\ep \leq \frac{r}{n}$ et on a bien $V \subset B(x_0,r)$. \fexo \dexo \hfill \newline On suppose  que dim$E = + \infty$
et que les applications
\begin{eqnarray*}
id :&(E,\sigma(E,E^{\prime}))& \rightarrow \, (E,d),\\
id :&(E,d)& \rightarrow \, (E,\sigma(E,E^{\prime}))
\end{eqnarray*}
sont continues.\\
1) $\forall k \in \NN^{\star}$, $B_d(0,\frac{1}{k})$ est un voisinage de $0$ pour d, donc $\exists V(0,I_k,\ep_k)
\subset B_d(0,\frac{1}{k})$ o{\`u} $\ep_k > 0$ et $I_k$ est un ensemble fini d'indices. L'ensemble $\{ f_j, j \in I_k,
k
\in \NN^{\star} \}$ est d{é}nombrable et constitue la suite cherch{é}e.\\
2) L'ensemble $V=V(0,g,1)$ est un voisinage de $0$ pour la topologie faible, par hypoth{è}se $\exists k_0 \in
\NN^{\star}$ tel que $B_d(0,\frac{1}{k_0}) \subset V$. Alors d'apr{è}s 1),
$$ \bigcap_{i \in I_{k_0}} \{x \in E : \vert < f_i,x > \vert < \ep_{k_0} \}
\subset V.$$ On pose $I=I_{k_0}$ alors $\displaystyle{\bigcap_{i \in I}} \ker f_i \subset V$. Et $\vert < g,x > \vert <
1$ sur un espace vectoriel, donc n{é}cessairement $g(x) = 0$, $\forall x \in \displaystyle{\bigcap_{i \in I}} \ker
f_i$, par suite $\displaystyle{\bigcap_{i \in I}} \ker
f_i \subset \ker g$.\\
3) Pour simplifier les notations, on notera $I = \{ 1,2,...,k \}$, et soit
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{1} (x),...,f_{k} (x)).
\end{eqnarray*}
ImF est convexe ferm{é} (car vectoriel de dimension finie) et $e_1=(1,0...0) \not\in $ImF car $\displaystyle{\bigcap_{i
\in I}} \ker f_i \subset \ker g$. D'apr{è}s le th{é}or{è}me d'Hahn-Banach \ref{hahn-banachfermecompact}, $\exists h \in
(\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$ et $\exists \alpha \in \RR$ tels que $h(F(x)) < \alpha < h(e_1)$, $\forall x
\in E$. Comme ImF est vectoriel, on en d{é}duit que $h(F(x)) = 0$, $\forall x \in E$ et comme $h \in
(\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$, $\exists (\mu_0,...,\mu_k) \in {\RR}^{k+1} \setminus \{0\}$ tel que $h(x) =
\displaystyle{\sum_0^k} \mu_i x_i$ si $x=(x_0,...,x_k) \in {\RR}^{k+1}$. D'o{\`u} on obtient
$$ \mu_0 g(x) + \sum_1^{k} \mu_i f_i(x) = 0 < \alpha < \mu_0,\quad \forall x
\in E.$$ Donc $\mu_0 \not= 0$ et $g(x) = \sum (-\frac{\mu_i}{\mu_0}) f_i(x)$ pour tout $x$. (On peut d{é}montrer ce
r{é}sultat par une preuve purement alg{é}brique,
par exemple un raisonnement par récurrence sur $k$.)\\
4) Soit $F_n = \mbox{vect} \{ f_1,...,f_n \}$, d'apr{è}s 2) et 3), $\forall g \in E^{\prime}$, $\exists N$ tel que $g
\in F_N$ donc $E^{\prime} = \bigcup F_n$. Comme $E^{\prime}$ est complet, $F_n$ ferm{é} (car dim$F_n < \infty$), on
peut appliquer le lemme de Baire et $\exists n_0$ tel que int$(F_{n_0}) \not= \emptyset$. Si $f \in \mbox{int}F_{n_0}$
alors $\exists r>0$ tel que $B(f,r) \subset F_{n_0}$ par suite $E^{\prime}=F_{n_0}$ car $F_{n_0}$ est vectoriel et donc
dim$E^{\prime} \leq n_0$.\\
5) On en conclut que dim$E < \infty$, en effet soit
\begin{eqnarray*}
\Phi :& E &\rightarrow \RR^{n_0}\\
      & x &\mapsto (f_1(x),...,f_{n_0}(x)).
\end{eqnarray*}
$\Phi$ est lin{é}aire et injective (car $\Phi(x)=0$ $\Longrightarrow$ $\forall f \in E^{\prime}$, $f(x)=0$
$\Longrightarrow$ $x=0$ par Hahn-Banach) donc dim$E \leq n_0$ ce qui est contraire {à} l'hypoth{è}se. \fexo \dexo
\hfill \newline Par l'exercice \ref{dualitecomplexereelle} page ~\pageref{dualitecomplexereelle}, si pour tout $i$,
$Re(f_i(x))=0$, alors $f_i(x) = 0$ et $f(x) = 0$ par hypoth\ee se, donc $Re(f(x)=0$. D'o\u
 $$\bigcap_i ker Re(f_i) \subset ker Re(f).$$
Comme $E$ peut \eee tre vu comme un espace vectoriel r\e el, on peut appliquer le r\e sultat du 3) de l'exercice pr\e
c\e dent donc, $\exists (\lambda_1,...,\lambda_n) \in {\RR}^{n}$ tels que $Re(f) = \displaystyle{\sum_i} \lambda_i
Re(f_i).$ De la formule \ref{fref} page ~\pageref{fref}, on en d\e duit que pour tout $x \in E$,
$$f(x) = \sum_{j=1}^{n} \lambda_j (Re(f_j)(x) - i Re(f_j(ix))) = \sum_{j=1}^{n} \lambda_j f_j(x).$$
\fexo \dexo \hfill \newline 1) On montre que $(1) \Longrightarrow (2) \Longrightarrow (3) \Longrightarrow (1)$. Pour
simplifier les notations on montrera que $T$ est continue en $0$, le lecteur se convaincra que la continuit{é} de $T$
en $0$ implique la
continuit{é} de $T$ partout.\\
$(1) \Longrightarrow (2)$ :\\
$\forall \Omega \in {\cal V}_{w}(0)$, existe-t'il $\omega \in {\cal V}_{w}(0)$ tel que $x \in \omega$ $\Longrightarrow$
$Tx \in \Omega$ ? On peut toujours choisir $\Omega = \{ y \in F : \vert < f_i,y > \vert < \ep, \forall i=1,...,n \}$
o{\`u} $f_i \in F^{\prime}$ et $\ep > 0$. Maintenant,
\begin{eqnarray*}
Tx \in \Omega &\Longleftrightarrow& \vert < f_i,Tx> \vert < \ep,\,\forall
i=1,...,n,\\
 &\Longleftrightarrow& \vert < f_ioT,x> \vert < \ep,\,\forall i=1,...,n.
 \end{eqnarray*}
Si $\omega = \{x \in E : \vert < f_ioT,x> \vert < \ep,\,\forall i=1,...,n \}$ o{\`u} $f_ioT \in E^{\prime}$, alors
$\omega$ est bien un voisinage faible de $0$
donc $(2)$.\\
$(2) \Longrightarrow (3)$ :\\
$\forall \Omega \in {\cal V}_{w}(0)$, existe-t'il $r>0$ tel que $x \in B(x,r)
\Longrightarrow Tx \in \Omega$ ?\\
On sait par hypoth{è}se qu'il existe un voisinage faible de $0$, $\omega$, tel que $x \in \omega \Longrightarrow Tx \in
\Omega$ et on a vu dans l'exercice 1
ci-dessus, qu'un ouvert faible est un ouvert fort donc $(3)$.\\
$(3) \Longrightarrow (1)$ :\\
On utilise le th{é}or{è}me du graphe ferm{é} (voir l'exercice \ref{grapheferme} page ~\pageref{grapheferme}), soit
$(x_n,y_n)_n \in G(T)=\{(x,y) \in E\times F, y=Tx \}$ telle que $x_n \rightarrow x$ et $y_n=Tx_n
\rightarrow y$, a-t'on $y=Tx$ ? \\
Comme $T$ est continue de $E$ fort dans $F$ faible, $Tx_n \rightharpoonup Tx$ et d'autre part la convergence forte
impliquant la convergence faible $Tx_n \rightharpoonup y$, donc n{é}cessairement $y=Tx$. D'o{\`u} le graphe de $T$ est
ferm{é} et $T$ est continue (pour les topologies fortes).\\
2) Soit $T : E_w \longrightarrow F$ lin{é}aire continue. La continuit{é} en $0$ implique que $\exists \ep > 0$,
$\exists f_1,..,f_n \in E^{\prime}$ tels que
$$ \vert < f_i,x > \vert < \ep,\quad \forall i=1,...,n \Longrightarrow \Vert Tx
\Vert_F < 1.
$$
Alors $\bigcap_i \ker f_i \subset \ker T$. On va montrer que dim(Im$T$)$\leq n$. Soit $y_1 =Tx_1,...,y_{n+1}=Tx_{n+1}
\in $ Im$T$, existe-t'il $(\lambda_1,...,\lambda_{n+1})$ non tous nuls tels que $\displaystyle{\sum_1^{n+1}} \lambda_k
Tx_k = 0$ ?\\
Ou encore tels que $T(\displaystyle{\sum_1^{n+1}} \lambda_k x_k) = 0$ ? On remarque que si il existe
$(\lambda_1,...,\lambda_{n+1})$ non tous nuls tels que $ \displaystyle{\sum_1^{n+1}} \lambda_k x_k \in \bigcap_i \ker
f_i$, c'est fini. Donc on veut
$$ \sum_1^{n+1} \lambda_k < f_i,x_k > = 0,\quad 1\leq i \leq n.
$$
C'est un syst{è}me lin{é}aire de $n$ {é}quations {à} $n+1$ inconnues dont on sait qu'il existe des solutions non
triviales, d'o{\`u} le r{é}sultat. \fexo \dexo \hfill \newline
1) ${\Vert x^N -x \Vert}_1$ = reste d'une s{é}rie convergente.\\
2) f est lin{é}aire et $\vert f(x) \vert \leq \Vert y \Vert_{\infty} \Vert x
\Vert_1$ donc $f \in (\lun)^{\prime}$.\\
a) On a montr{é} que $\Vert \Lambda_y \Vert \leq \Vert y \Vert_{\infty}$. On a $\Lambda_y(e^N)=y_N$ donc $\Vert \Lambda
\Vert \geq \Vert y \Vert_{\infty}$, d'o{\`u}
$\Lambda$ est une isom{é}trie.\\
b) $\Lambda$ est injective car isom{é}trique. Montrons qu'elle est surjective. Soit $\ell \in (\lun)^{\prime}$ alors
par lin{é}arit{é} et continuit{é} de $\ell$, on a $< \ell,x > = \displaystyle{\sum_1^{\infty}} x_ny_n$ si $x=(x_n)_n
\in \lun$ et $\exists M>0$ tel que $\forall x \in \lun$, $\vert <\ell,x > \vert \leq M \Vert x \Vert_1$. En particulier
pour $x=e^n$, on obtient $\vert <\ell,e^n>\vert = \vert y_n \vert \leq M$ et $y \in \linf$. Donc $\ell = \Lambda_y$ et
$\Lambda$ est bijective. Par l'exercice \ref{isombanach} page ~\pageref{isombanach}, on conclut que $\Lambda$ est un
isomorphisme d'espaces de
Banach.\\
3) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{é}l{é}ments de $\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible
$\Longleftrightarrow$ $\forall y \in \linf <y,x^n> \rightarrow <y,0>=0$ $\Longleftrightarrow$
$\displaystyle{\sum_1^{\infty}} x_i^n y_i
\rightarrow 0$, $\forall y=(y_i)_i \in \linf$.\\
4) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{é}l{é}ments de
$\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible.\\

a) On montre facilement que $d$ est une distance sur $K$.\\

b) On veut montrer que $\exists \ep > 0$ et $\exists y^1,...,y^n \in \lun$ tels que
$$V=\{ g \in K : \vert < g-f,y^i> \vert < \ep, \forall i=1,...,n \} \subset
\Omega.$$ On a $$d(f,g) = \sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert + \sum_{i \geq n+1} \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i
\vert\,\, \mbox{et}\,\, \sum_{i \geq n+1} \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert \leq 2 \sum_{i \geq n+1} \frac{1}{2^i} =
\frac{1}{2^{n-1}},$$ pour $f,g \in K$. Soient donc $\ep$ et $n$ tels que $\ep + \frac{1}{2^{n-1}} < r$ et $y^i=e^i$
pour $1\leq i \leq n$, alors
$$\sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert = \sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert
<f-g,e^i> \vert \leq \ep \sum_1^n \frac{1}{2^i} \leq \ep,$$ si $g \in V$. D'o{\`u} $d(f,g) \leq \ep + \frac{1}{2^{n-1}}
< r$, $\forall g \in V$ donc $V \subset
\Omega$.\\

c) La question pr{é}c{è}dente montre que l'application $id : (K,\sigma(\linf,\lun)) \rightarrow (K,d)$ est continue. Or
$K$ est compacte faible $\star$, donc$(K,d)$ est
compact.\\

d) Soit $\ep > 0$ fix{é}. Soit $A_n = \{ f \in \linf : \vert <f,x^n > \vert \leq \ep \}$ alors $A_n$ est ferm{é} faible
$\star$, et $F_k = K \cap \displaystyle{\bigcap_{n \geq k}} A_n$ est aussi ferm{é} faible $\star$ dans $K$ compact donc
$F_k$ est compact faible $\star$. Son image par $id : (K,\sigma(\linf,\lun)) \rightarrow (K,d)$ (qui
est continue) est compacte donc ferm{é}e dans $(K,d)$. \\
$K = \bigcup_k F_k $ car $<f,x^n> \rightarrow 0$, $\forall f \in \linf$. Enfin, $(K,d)$ m{é}trique compact est complet,
on peut donc appliquer le lemme de Baire : il existe $k_0$ tel que Int$F_{k_0} \not= \emptyset$. Donc il existe $f_0
\in K$, $\exists
\rho > 0$ tels que $K \cap B_d(f_0,\rho) \subset F_{k_0}$.\\

e) En choisissant $f$ comme dans l'{é}nonc{é}, on a,
$$d(f,f^0) \leq 2 \sum_{i=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^{N\!-\!1}} <
\rho.$$ Donc $f \in F_{k_0}$ et
$$\vert <f,x^n> \vert = \vert \sum_1^N f_0^i x_i^n + \sum_{i=N+1}^{\infty} (\pm
x_i^n) \vert \leq \ep,\quad \forall n \geq k_0.$$ $\Longrightarrow$
$$\sum_{i=N+1}^{\infty} \vert x_i^n \vert \leq \ep + \sum_1^N \vert f_0^i x_i^n
\vert \leq \ep + \sum_1^N \vert x_i^n \vert,$$ car $f^0 \in K$, d'o{\`u}
$$\sum_{i=1}^{\infty} \vert x_i^n \vert \leq \ep + 2 \sum_1^N \vert x_i^n
\vert,\quad \forall n \geq k_0.$$

f) i {é}tant fix{é}, $x_i^n \rightarrow 0$ car $x_i^n = < e^i,x^n >$, donc $\exists I$ tel que $\forall n \geq I$,
$\vert x_i^n \vert \leq \frac{\ep}{2N}$. D{è}s que $n \geq \max(k_0,I)$, on a $\Vert x^n \Vert_1 \leq 2\ep$ d'o{\`u}
$x^n
\rightarrow 0$ dans $\lun$. \\
5) Comme $\lun$ n'est pas de dimension finie, les topologies faibles et fortes ne sont pas {é}quivalentes et cette
application ne peut donc pas {\^e}tre continue. \fexo \dexo \hfill \newline Comme $A$ est ouvert faible $\star$, $A$
est ouvert fort de $\Ep$ donc par le théorème de Hahn-Banach première forme géométrique, $\exists \xi \in \Epp$, $\xi
\not= 0$ et $\exists \alpha \in \RR$ tels que
$$< \xi,f>\;\leq \alpha\;\leq \;<\xi,g>\quad \forall f\in A,\,\forall g \in B.$$
Soit $f_0 \in A$ ouvert faible $\star$ alors $\exists V$ voisinage faible $\star$ de $f_0$ tel que $V \subset A$. On
peut toujours supposer que $V = \{ g \in \Ep : \vert <g-f_0,x_i>
\vert < \ep,\; \forall i=1,N \}$ o\`u $\ep > 0$ et $x_1,...,x_N \in E$.\\
Si $g=f_0+u$ o\`u $u \in \displaystyle{\bigcap_{1\leq i \leq N}} \ker J(x_i)$ alors $g \in V \subset A$ donc $<\xi,u>
\leq \alpha + <\xi,f_0>$ et ceci $\forall u \in \displaystyle{\bigcap_{1\leq i \leq N}} \ker J(x_i)$ vectoriel. D'o\`u
$<\xi,u> =0$ et $\displaystyle{\bigcap_{1\leq i \leq N}} \ker J(x_i) \subset \ker \xi$. Par un m\^eme raisonnement qu'à
l'exercice 2 chap. IV, on en déduit que $\exists \lambda_1,...,\lambda_N \in \RR$ tels que $\xi =
\displaystyle{\sum_1^N} \lambda_i J(x_i) = J(\displaystyle{\sum_1^N} \lambda_i x_i)$. D'o\`u $x =
\displaystyle{\sum_1^N} \lambda_i x_i$ convient ($x \not=0$ car $\xi \not= 0$). \fexo 