

\section*{Examen d'analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan magistère, 2008} \pagestyle{myheadings}
  \noindent{\it On recommande très vivement la précision dans la rédaction.
En particulier, donner des références explicites pour les résultats utilisés dans les démonstrations. }

\medskip



\dexer Topologie. Soit $X$  un espace compact, $Y$ un espace séparé et $f: X\to Y$ une bijection continue. Montrer que
$f^{-1}$ est continue.


\fexer

\dexer Topologie.

 \quest 1) Vérifier que $d(x,y)=|\frac 1 x-\frac 1 y|$ est une distance sur $X=]0,+\infty[$.

\quest  2) Vérifier que la topologie donnée par cette distance est la même que la topologie induite sur $X$ par la
topologie habituelle sur $\RR$.


\quest  3)  Montrer que $]0,1]$ est une partie complète de $X$.

\quest 4)  Expliquer le dicton: ``la complétude n'est pas une notion topologique.'' \fexer
\dexer Séries de Fourier.

\quest 1) Développer en série de Fourier en cosinus la fonction $2\pi$-périodique définie  sur $]-\pi,\pi[$ par
$f(x)=|x|$.

\quest 2) En quel(s) sens la série  converge-t-elle vers $f$?

\quest 3) En utilisant le développement  de Fourier de $f$, calculer $A=:\sum_1^\infty \frac 1{n^2}$ et
$B=:\sum_1^\infty \frac 1 {n^4}.$
 \fexer




\dexer Soit $E$ un espace muni de deux topologies $\mathcal O$ et $\mathcal O'$. On  suppose qu'il  y a une base de
voisinages $\mathcal U$ pour $\mathcal O$ et une base de voisinages $\mathcal U'$ pour  $\mathcal O'$ telles que pour
tout élément de $\mathcal U'$ contient un élément de $\mathcal U$ et vice-versa. Montrer que  $\mathcal  O=\mathcal
O'$.


\fexer



\dexer  Montrer que $C^0([0,1])$ muni du produit scalaire $f.g=\int_0^1 f(x)g(x)dx$ n'est pas un espace de Hilbert.

\nada{\it Soit $f\in L^2(0,1)$ qui ne soit pas continue et $f_n$ dans $C^0$ qui tend vers $f$. Donc $f_n$ est de Cauchy
pour la norme $L^2$. Si $C^0$ était complet $f_n$ convergerait vers un élément $g$ de $C^0$ dans $L^2$ et on aurait
donc toujours par la réciproque de Lebesgue $f=g$ presque partout, une contradiction. } \fexer



\dexer{\bf Calcul de limites faibles}

\quest 1) La suite $u_n(x)=\indic_{[0,1]}\sin nx$ converge-t-elle
faiblement dans $L^2([0,2\pi])$ et si oui,  quelle est sa limite
faible ? Cette suite converge-t-elle   fortement ?

\quest 2) Mêmes questions pour $u_n(x)=\sin^2(nx)\indic_{[0,1]}$.
\fexer

%\dsolution \quest 1) Soit $f\in L^2(\real)$ : est elle aussi par
%l'inégalité de Cauchy-Schwartz dans $L^1([0,1])$ et le lemme de
%Riemann-Lebesgue nous assure que $\int
%f(x)\indic_{[0,1]}\sin(nx)dx\to 0$. Donc la suite converge
%faiblement vers 0. On voit aisément que $\int \sin^2(nx)dx\geq C>
%0$ et donc la suite ne converge pas fortement. En effet, si elle
%convergeait fortement, sa limite devrait être la limite faible et
%donc 0.
%
%\quest 2) On écrit $u_n(x)=\indic_{[0,1]}(\frac 12{1-\cos(2nx)}$
%et par le même raisonnement qu'au 1) on déduit que $u_n$ tend
%faiblement vers $\frac 12\indic_{[0,1]}$, et qu'elle ne converge
%pas fortement. \fsolution

\dexer    Montrer que de toute suite
bornée dans $H^1_{per}([0,2\pi])$ on peut extraire une sous-suite
convergeant uniformément sur tout compact. \fexer




\dexer Parmi les applications $u: C_0^\infty(\real)\to\real$ qui  suivent, déterminer celles qui sont  des
distributions sur $\real$. Expliquer.

\begin{description}
  \item[(a)] $<u,\varphi>=\varphi(0)^2$;
  \item[(b)] $<u, \varphi>=\int_0^1 \varphi^{(k)}(t)dt,$ $k\in \natural$;
  \item[(c)] $<u, \varphi>=\sup_{t\in\real} \varphi(t)$;
    \item[(d)] $<u,\varphi>=\sum_{j=0}^\infty \varphi^{(j)}(0)$ et $<u,\varphi>=\sum_{j=0}^\infty \varphi^{(j)}(j).$
\end{description}


\fexer

\dexer \label{discretisationdistribution} Si $u\in \mathcal
D'(\real)$ est une distribution sur $\real$, on  définit sa
translatée de $h\in\real$ par $$<\tau_h u,
\varphi>=<u,\tau_{-h}\varphi>,$$ où on note
$\tau_h\varphi(x)=\varphi(x-h).$

\quest 1) Vérifier que $\tau_h u$ est une distribution.

\quest 2) Vérifier la compatibilité des deux définitions, à savoir
que si $u\in L^1_{loc}$ et $\tilde u$ la distribution qui lui est
associée canoniquement, $\tau_h \tilde u=\tau_h u$ au sens des
distributions.

\quest 3) Montrer que si $u\in\mathcal D'(\real)$,
$$\frac{\tau_hu-u}h\to u'$$ au sens des distributions.

\quest 4) Donner une formule de discrétisation du même type pour
approcher $u''$.
 \fexer


 \dexer Montrer la proposition suivante :
\begin{proposition}\index{Croissance lente (suite \a )}
\label{coefficientsdeFourieracroissancelente} Soit $(c_k)_{k\in
\relative}$ une suite   \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant pour au moins une valeur de $M\in \natural$ une in\e
galit\ea du type
$$\forall k \in \relative,\; |c_k|\leq C(1+|k|)^M.$$
Alors la s\'erie \begin{equation} \label{seriedeFouriersurunreseau}\sum_{k\in \relative} c_k e^{ik.x} \end{equation}
converge au sens des distributions et d\'{e}finit une distribution $2\pi$-p\'{e}riodique. \end{proposition}
\fexer


\dexer Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $L^2(0,a)$.  On veut
calculer le développement en série de Fourier du produit $fg$.
\newline\newline a) Vérifier que $fg\in L^1(0,a)$.
\newline\newline b) On considère les sommes partielles
$$f_N=\sum_{-N}^{N} c_n(f)e^{2i\pi n\frac ta} \hbox{ et }
g_N=\sum_{-N}^{N} c_n(g)e^{2i\pi n\frac ta}.$$ Montrer que
$f_Ng_N$ tend vers $fg$ dans $L^1$. Calculer les coefficients de
Fourier de $f_Ng_N$.
\newline\newline
c) Montrer que les coefficients de Fourier de $f_Ng_N$ tendent
vers ceux de $fg$ et en déduire l'expression des coefficients de
Fourier de $fg$ en fonction de ceux de $f$ et de $g$.
\newline
\newline d) Soit $c=(c_n)_{n\in\relative}\in l^1(\relative)$. On
lui associe sa {\it fonction caractéristique} $f_c(t)=\sum_{n\in
\relative} c_n e^{int}$, définie sur $[0, 2\pi]$. On définit la
convolution discrète $c\ast d$ de deux suites $c=(c_n)$ et
$d=(d_n)$ de $l^1(\relative)$ par $(c\ast d)_n=
\sum_{k\in\relative} c_kd_{n-k}$.
\newline\newline
e) Montrer que $c\ast d\in l^1(\relative). $  Montrer que
$f_{c\ast d}=f_cf_d$. Que peut-on dire sur $c\ast d$, $f_{c\ast
d}$ si $c\in l^2$ et $d\in l^2$ ?
\newline
\newline f) Si $f_c$ est dans $L^1$, peut-on en déduire que $c\in l^1$?
\fexer



\dexer  On pose $x=(x_1,x_2)\in \real^2$, $k=(k_1, k_2) \in \real^2$ et on note $k.x=
k_1x_1+k_2x_2$ leur produit scalaire.
On rappelle que les fonctions $e_{k}(x)=\frac 1 {2\pi}e^{ik.x}$, $k\in
\relative^2$, forment une base hilbertienne de $L^2([0,2\pi])$ et  qu'on a
donc pour toute fonction $u\in L^2([0,2\pi]^2),$
\begin{equation}\label{developpementenseriedeFourierdouble} u= \sum_{k\in \relative^2}
c_k(u)e^{ik.x},\; \hbox{avec  }  c_k(u) = \frac 1 {(2\pi)^2}\int_{[0,2\pi]^2}
u(x)e^{-ik.x}dx,
\end{equation}
 la convergence de la s\e rie se v\e rifiant au sens
de $L^2([0,2\pi]^2)$.  
 

\quest 1) On considère la fonction définie sur $[0, 2\pi]^2$ par

$$u(x_1,x_2)=\sum_{k_1,k_2\in \natural^*} \frac 1{k_1^2+k_2^2} e^{i k_1x_1}e^{ik_2x_2}.$$
Montrer que cette série converge (en un sens que l'on précisera) et que $u\in L^2([0,2\pi]^2).$

\quest 2) Montrer que  $\sum_{k_1,k_2\in \natural} \frac 1 {k_1^2+k_2^2}=+\infty$.
(On pourra comparer cette série double à une intégrale double).

\quest 3) Montrer que les séries $\sum_{k_1,k_2\in \relative} \frac
{k_1}{k_1^2+k_2^2}e^{i k_1x_1+k_2x_2}$ et $\sum_{k_1,k_2\in
\relative}\frac{k_2}{k_1^2+k_2^2}e^{i k_1x_1+ik_2x_2}$ ne convergent pas dans
$L^2_{loc}$.

 

\quest 4) Calculer les dérivées partielles premières de $u$, $\frac{\partial u}{\partial x_1}$ et 
$\frac{\partial u}{\partial x_2}$. 

\quest 5)  Montrer que  $u\notin H^1_{loc}(\real^2)$.

\quest 6) Montrer que $\sum_{k\in
\relative^2}e^{ik.x}=(2\pi)^2\sum_{l\in\relative^2}\delta_l.$  Indication :
considérer les sommes finies $\sum_{|k_1|\leq N,\;|k_2|\leq N}e^{ik.x}$ et utiliser
 le résultat en  dimension 1.


 \quest 7) Montrer que
 $u$ est solution, au sens des distributions,
  de  $-\Delta u= C\sum_{m,n\in \relative}\delta_{m,n}$, $C$ constante à préciser.
  En déduire que l'équation $-\Delta u=\delta_0$ dans \newline ${\cal D}'(]-\pi,\pi[^2)$ a une
solution $u\in L^2_{loc}(]-\pi,\pi[^2)$  qui n'est pas dans $H^1$.
 \fexer