\paragraph{Exercices sur les distributions (2)}

\dexer Les applications suivantes définissent-elles des distributions sur $\RR$?
$$\varphi \to \sum_{n\geq 0} \varphi^{(n)}(n);$$
$$\varphi\to \sum_{n\geq 0}\varphi^{(n)}(0).$$
\fexer


\dexer
 Calculer la dérivée au sens des distributions dans $\RR$ des fonctions suivantes:

\quest 1) La fonction de Heaviside.

\quest 2) La valeur absolue $x\to|x|$.

\quest 3) La racine carrée $x\to\sqrt{|x|}$. La formule des sauts  s'applique-t-elle à cette fonction? Si ce n'est pas le cas, généraliser les hypothèses de la formule des sauts pour qu'elle s'applique.

\quest 4) Soit $\varphi\in  C_0^\infty(\RR)$. Montrer que la limite $T(\varphi)=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|y|\geq\varepsilon} \frac{\varphi(y)}{2|x|^\frac 32}dy$ existe.  Vérifier que $T$ est une distribution.

\quest 5) Exprimer la dérivée au sens des distributions de la fonction $u(x)=\frac 1{\sqrt{|x|}}$. Est-ce que cette dérivée est une fonction? En utilisant la question précédente exprimer $u'$ comme la limite d'une intégrale simple.
\fexer



\dexer On considère la fonction de Heaviside dans $\RR^2$, $h(x,y)=1$ pour $x\geq 0$, $h(x,y)=0$  sinon.

\quest 1) Calculer $\frac{\partial h}{\partial x}$.  Interpréter le résultat en utilisant la mesure produit sur $\RR^2$, $\delta_0\otimes \lambda$, où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $\RR$.

\quest 2) Mêmes  questions avec $c(x,y)=1$  si $x^2+y^2\leq 1$, $c(x,y)=0$ sinon. On introduira la mesure vectorielle $\vec n$ uniforme supportée par le cercle unité et orientée dans la direction de la normale, définie pour $\varphi\in C^0(\RR)$ par $\vec n(\varphi)=\int_0^{2\pi} \varphi(\cos\theta, \sin\theta)(\cos\theta, \sin\theta)d\theta$.
\fexer

\dexer  On pose pour $x\in \RR$ et $n\in \NN^*$, $f(x)=(-1)^n$ si $x\in [\frac 1{n+1}, \frac 1{n}]$, $f(x)=0$ pour $x\leq 0$ ou $x\geq 1$.

\quest 1) Dessiner $f$.

\quest 2) Calculer $f'$. La formule des sauts s'applique-t-elle? Donner une généralisation de la formule des sauts qui puisse s'appliquer à un cas de ce type, à savoir à une fonction bornée ayant un nombre dénombrable de sauts s'accumulant en un point.

\fexer

\dexer On pose dans $\RR^2$  $f(x,y)=\ln (x^2+y^2)^\frac 12=\ln r$.

\quest 1) Est-ce une distribution?

\quest 2)  Pour $u\in C^2(\RR^2)$ démontrer la formule du
Laplacien en coordonnées polaires :
$\Delta u=u_{rr}+\frac 1r u_r+\frac 1{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial \theta^2}.$

\quest 3) Calculer $\Delta f(x,y)$ pour $(x,y)\neq 0$ (dérivée classique).

\quest 4) Montrer que $\Delta f=2\pi \delta_0$ (au sens des distributions).

\fexer



\dexer
 Théorème de densité.

 \quest 1) Montrer que $C^\infty_{per}$ est dense dans $H^m([0,2\pi]^2)$, pour tout $m\geq 0$.

Indication:  tronquer le développement en série de Fourier de $u\in H^m([0,2\pi]^2)$  et montrer que la somme  $u_N$ série tronquée obtenue ne gardant que les coefficients de fréquence plus petite que $N$ est bien dans $C^\infty_{per}.$  Montrer alors que $u_N$ tend dans $H^m([0,2\pi]^2)$ vers $u$.

\quest 2) Mêmes questions pour  $H^m_{per}([0,2\pi])$. Montrer de plus que la convergence de $u_N$ vers $u$ est uniforme si $m\geq 1$, et que $u$ est donc continue.

\quest 3)  En déduire la généralisation suivante de la formule d'intégration par parties: si $u$ et  $v$ sont dans $H^1_{per}([0,2\pi])$,  alors pour tout $a,b\in\RR$, on a $\int_a^b u'v=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b uv'.$
\fexer

\dexer
 On note $\Omega=[0,2\pi]^2$ et $\partial \Omega$  son bord.
Supposons que $u\in C^\infty_{per}([0,2\pi]^2)$. On note $u(x_0,.)$ la restriction, ou ``trace'' de $u$ au segment $\{x_0\}\times [0,2\pi],$ $u(.,y_0)$ sa trace sur le segment $[0,2\pi]\times \{y_0\}.$ L'objectif de l'exercice est de montrer que si $u\in H^1([0,2\pi]^2)$, alors $u$ a une trace bien définie sur chaque segment du domaine, et en particulier sur le bord du domaine qui est l'union des quatre segments.

\quest 1) En utilisant que

$u(x_0,y)=u(x,y)+\int_{x_0}^x \frac{\partial u}{\partial x}(t,y)dt,$
déduire  que
$$|u(x_0,y)|\leq |u(x,y)|+ (2\pi)^\frac 12\left(\int_{x_0}^x |\frac{\partial u}{\partial x}|^2dt\right)^\frac 12.$$


\quest 2) Par des intégrations adéquates,  déduire qu'il existe une constante $C$ telle que
$$||u(x_0,.)||^2_{L^2([0,2\pi])}=\int_{[0,2\pi]} |u(x_0,y)^2|dy\leq C||u||_{H^1_{per}([0,2\pi]^2)}^2.$$

\quest 2)
  Théorème de trace: utilisant la densité de $C_0^\infty$ dans $H^1$,  en déduire que si $u$ est dans $H^1([0,2\pi]^2)$, $u$ a un représentant qui vérifie l'inégalité de trace pour tout $x_0$, $y_0$, et en particulier sur le bord de $[0,2\pi]^2$.

\fexer

\newpage
\dexer  {\bf L'espace $H^{-1}_{per}(\RR)$}\newline

\quest 1)  On considère l'espace $H^{-1}_{per}(\RR)$ des distributions de la forme
$u=\sum_k  c_k e^{ikx}$ avec $\frac {c_k}k\in l^2(\relative\setminus\{0\})$.
Expliquer la notation $H^{-1}_{per}(\RR)$, en comparant avec $H^{m}_{per}(\RR), \;m\in \NN$.

\quest 2) Montrer  que l'on peut  écrire $u$ de manière unique sous la forme
 $u=C+g'$, où $C$ est une constante et $g\in\L^2_{per}$.

\quest 3) Réciproquement, montrer que si $u=f+g'$, avec $f, g\in L^2_{per}$, alors $u\in H^{-1}_{per}(\RR)$.

\quest 4) On  munit $H^{-1}_{per}(\RR)$ de la norme
$||u||_{H^{-1}}^2= 2\pi C^2+\int_{[0,2\pi]}|g|^2$ où $C$ et $g$ sont définies à la question 2).
Exprimer la norme de $u$ dans $H^{-1}$ en fonction de ses coefficients de Fourier $c_k(u)$.

\quest 5) Montrer que $H^{-1}_{per}(\RR)$ est un espace de Hilbert.

\quest 6)  Montrer que le peigne de Dirac $\sum_{k\in \relative} \delta_{2k\pi}$  est dans $H^{-1}_{per}$.

\quest 7) Montrer que si $f\in H^{-1}$, l'équation  de Poissson
$$u''=f,\;\; u(0)=u(2\pi)=0$$ a une solution unique  $u\in H^1_{per}$.

\quest 8) Soient $x_j=\frac {2\pi j}N$, $0<j<N-1$, des points régulièrement répartis  de $[0,2\pi]$.  Montrer que le problème de la ``pendaison des servantes'' (Homère, Odyssée, chant XXII) à une solution continue, au sens des distributions.
$$u''=\sum_{j=1}^{N-1} \delta_{x_j}, \;\; u(0)=u(2\pi)=0.$$
Les masses de Dirac modélisent des masses pendues à une corde aux points $x_j$.

\quest 9) En utilisant la formule des sauts, trouver la solution et la dessiner.

\quest 10) Ecrire un programme matlab, ou un algorithme précis pour résoudre ce problème en discret avec un nombre fini $2N$ de coefficients de Fourier. Quelles perturbations de la solution approchée par rapport à la solution exacte sont elles à attendre?

\quest 11) Pour  $u$ dans $H^1_{per}$ et $f, g\in L^2_{per}$, on pose $T(u)=\int fu-gu'.$  Montrer que c'est une forme linéaire continue sur $H^1_{per}$.

\quest 12) En déduire que tout élément de $H^{-1}_{per}$  peut être  considéré comme une forme linéaire continue sur $H^1_{per}$.

\quest
13) Réciproquement considérons une forme linéaire continue $T$ sur $H^1_{per}$. Montrer qu'on peut lui  associer un unique élément de $H^{-1}_{per}$.
\fexer





