
\dexer On considère la fonction de Heaviside dans $\RR^2$, $h(x,y)=1$ pour $x\geq 0$, $h(x,y)=0$  sinon.

\quest 1) Calculer $h'$.  Interpréter le résultat.

\quest 2) Mêmes  questions avec $c(x,y)=1$  si $x^2+y^2\leq 1$, $c(x,y)=0$ sinon.
\fexer

\dexer  On pose pour $x\in \RR$ et $n\in \NN^*$, $f(x)=(-1)^n$ si $x\in [\frac 1{n+1}, \frac 1{n}]$, $f(x)=0$ pour $x\leq 0$ ou $x\geq 1$.

\quest 1) Dessiner $f$.

\quest 2) Calculer $f'$. La formule des sauts s'applique-t-elle? Donner une généralisation de la formule des sauts qui puisse s'appliquer à un cas de ce type, à savoir à une fonction bornée ayant un nombre dénombrable de sauts s'accumulant en un point.

\fexer

\dexer
 Théorème de densité.

 \quest 1) Montrer que $C^\infty_{per}$ est dense dans $H^m([0,2\pi]^2)$, pour tout $m\geq 0$.

Indication:  tronquer le développement en série de Fourier de $u\in H^m([0,2\pi]^2)$  et montrer que la somme  $u_N$ série tronquée obtenue ne gardant que les coefficients de fréquence plus petite que $N$ est bien dans $C^\infty_{per}.$  Montrer alors que $u_N$ tend dans $H^m([0,2\pi]^2)$ vers $u$.

\quest 2)  En déduire la généralisation suivante de la formule d'intégration par parties: si $u$ et  $v$ sont dans $H^1_{per}([0,2\pi])$,  alors pour tout $a,b\in\RR$, on a $\int_a^b u'v=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b uv'.$
\fexer

\dexer
 On note $\Omega=[0,2\pi]^2$ et $\partial \Omega$  son bord.
Supposons que $u\in C^\infty_{per}([0,2\pi]^2)$. On note $u(x_0,.)$ la restriction, ou ``trace'' de $u$ au segment $\{x_0\}\times [0,2\pi],$ $u(.,y_0)$ sa trace sur le segment $[0,2\pi]\times \{y_0\}.$ L'objectif de l'exercice est de montrer que si $u\in H^1([0,2\pi]^2)$, alors $u$ a une trace bien définie sur chaque segment du domaine, et en particulier sur le bord du domaine qui est l'union des quatre segments.

\quest 1) En utilisant que

$u(x_0,y)=u(x,y)+\int_{x_0}^x \frac{\partial u}{\partial x}(t,y)dt,$
déduire  que
$$|u(x_0,y)|\leq |u(x,y)|+ (2\pi)^\frac 12\left(\int_{x_0}^x |\frac{\partial u}{\partial x}|^2dt\right)^\frac 12.$$


\quest 2) Par des intégrations adéquates en $x$ et  $y$,  déduire qu'il existe une constante $C$ telle que
$$||u(x_0,.)||^2_{L^2([0,2\pi])}=\int_{[0,2\pi]} |u(x_0,y)^2|dy\leq C||u||_{H^1_{per}([0,2\pi]^2)}^2.$$

\quest 2)
  Théorème de trace: utilisant la densité de $C_0^\infty$ dans $H^1$,  en déduire que si $u$ est dans $H^1([0,2\pi]^2)$, $u$ a un représentant qui vérifie l'inégalité de trace pour tout $x_0$, $y_0$, et en particulier sur le bord de $[0,2\pi]^2$.

\fexer
