Analyse fonctionnelle ENS de Cachan 2008-2009

TD Fourier

Exercice 1 Généralisation du principe de localisation

Faire l’exercice 1 page 81 du poly.

Exercice 2 Transformée de Fourier discrète et Transformée inverse

Faire l’exercice 3 page 83 du poly.

Exercice 3 Matrice unitaire

Soit T = (t_{ij})_{ij} une matrice complexe et carrée dans M_{N}(C^{|} ). On note T^{⋆} = (t_{ij}^{⋆})_{ij} sa matrice adjointe définie de façon unique par

(T x, y)_{2} = (x, T^{⋆}y)_{2}, ∀x, y ∈ C^{|} ^{N},

où (,)_{2} dénote le produit hermitien usuel sur C^{|} ^{N}. On dira que T est unitaire si T T^{⋆} = T^{⋆}T = I.

1) Vérifier que pour tous i, j, t_{ij}^{⋆} = \overline{t_{ji}}.

2) Montrer que T est unitaire ⟺ ∥T x∥_{2}^{2} = ∥x∥_{2}^{2}, ∀x ∈ C^{|} ^{N} ⟺ (T x, T y)_{2} = (x, y)_{2}, ∀x, y ∈ C^{|} ^{N}.

Exercice 4

Dans tout l’exercice, on suppose que N ≥ 2 est un entier pair.

1) On pose ω_{N} = exp (\frac{2iπ}{N} ), racine N-ième de l’unité. Montrer que ∑_{k=0}^{N−1} ω_{N}^{k} = 0, puis que ∑_{k=0}^{N−1} ω_{N}^{kl} = 0 pour l ≠ 0 modulo N et finalement que pour tout k_{0}, ∑_{k=k_{0}}^{k_{0}+N−1} ω_{N}^{kl} = 0 pour tout l ≠ 0 modulo N.

2) On définit la transformée de Fourier discrète par

T_{N} : C^{|} ^{N} ⟶ C^{|} ^{N}
u = (u_{l})_{l} ⟼ ũ = (ũ_{n})_{n} où ũ_{n} = \frac{1}{N} ∑_{l=0}^{N−1} u_{l}ω_{N}^{−nl}, n = −\frac{N}{2} , ..., \frac{N}{2} − 1.

Vérifier que \sqrt{N} T_{N} est unitaire et en déduire la formule T_{N}^{−1} = N ^{t}\overline{T_{N}}.

1/2 Corrigé : Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

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