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\newtheorem{Exer}{Exercice}  %Exercice
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% ensembles Q R N Z C
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% Suppression de l'indentation
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse fonctionnelle\hfill{}
 \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD  Fourier \\}

\vspace{0.5cm}
 \dexer  Généralisation du principe de localisation
\hfill
\newline\newline
Faire l'exercice 1 page 81 du poly.
\fexer
 \dexer  Transformée de Fourier discrète et Transformée inverse
\hfill
\newline\newline
Faire l'exercice 3 page 83 du poly.
\fexer
 \dexer  Matrice unitaire
\hfill
\newline\newline
Soit $T=(t_{ij})_{ij}$ une matrice complexe et carrée dans $M_N(\CC)$. On note $T^{\star}=(t_{ij}^{\star})_{ij}$ sa matrice adjointe définie de façon unique par
$$(Tx,y)_2=(x,T^{\star}y)_2,\quad \forall x,y \in \CC^N,$$
où $(,)_2$ dénote le produit hermitien usuel sur $\CC^N$. \\On dira que $T$ est unitaire si $TT^{\star}=T^{\star}T=I$.\\
1) Vérifier que pour tous $i,j$, $t_{ij}^{\star}=\overline{t_{ji}}$.\\
2) Montrer que $T$ est unitaire $\Longleftrightarrow \Vert Tx \Vert_2^2=\Vert x \Vert_2^2, \,\forall x \in \CC^N$ $\Longleftrightarrow (Tx,Ty)_2=(x,y)_2,\,\forall x,y \in \CC^N$.
\fexer
 \dexer  
\hfill
\newline\newline
Dans tout l'exercice, on suppose que $N\geq 2$ est un entier pair. \\
1) On pose $\omega_N=\exp\left(\frac{2i\pi}{N}\right)$, racine $N$-ième de l'unité. Montrer que\\
$\sum_{k=0}^{N\!-\!1}\omega_N^k=0$, puis que $\sum_{k=0}^{N\!-\!1}\omega_N^{kl}=0$ pour $l\neq 0$ modulo $N$ et
finalement que pour tout $k_0$, $\sum_{k=k_0}^{k_0+N\!-\!1}\omega_N^{kl}=0$ pour tout $l\neq 0$ modulo $N$.\\
2) On définit la transformée de Fourier discrète par
\begin{eqnarray*}
T_N: \CC^N &\longrightarrow& \CC^N\\
u=(u_l)_l&\longmapsto&\tilde u=(\tilde u_n)_n \hbox{ où } \tilde u_n = \frac{1}{N}\sum_{l=0}^{N\!-\!1}u_l\omega_N^{-nl},\, n=-\frac N2, ...,\frac N2-1.
\end{eqnarray*}
 Vérifier que
$\sqrt{N}\;T_N$ est unitaire et en déduire la formule $T_N^{-1}=N\;^t\overline{T_N}$.  
\fexer 
\newpage
{\bf Corrigé:}  
\dexo
\hfill \newline

\fexo
\dexo
\hfill \newline

\fexo
\dexo
\hfill \newline

\fexo
 \end{document}