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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse Fonctionnelle\hfill{}  \par}
{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2007-2008}

\vspace{1cm}

{\centering Devoir \`a rendre au plus tard le vendredi 09/05/2008\\}

\vspace{1cm}


{\large \bf Partie I. D\'{e}finition des distributions}\\ %---------------------------------------------------------------


On note ${\cal D}(\Omega)=C_0^\infty(\Omega)$ l'ensemble des fonctions
$C^\infty$ \`{a} support compact dans un ouvert $\Omega$ de $\RR^N$.
Ces fonctions sont aussi appel\'{e}es \emph{"fonctions test"}.\\

Si $\alpha = (\alpha_1, ..., \alpha_N)\in \NN^N$, on notera
$|\alpha|=\alpha_1+...+\alpha_N$ et $\partial^\alpha u$ la d\e riv\e e partielle
$$\partial^\alpha u =\frac{\partial^{|\alpha|}u}{\partial x_1^{\alpha_1}...\partial x_N^{\alpha_N}}.$$

On dira qu'une suite \emph{$\varphi_n$ de ${\cal D}(\Omega)$ tend vers $\varphi \in {\cal D} (\Omega)$} ssi

$\bullet$  Il existe pour $n$ assez grand un compact $K$ de $\Omega$ tel que
supp$(\varphi_n-\varphi) \subset K$ et

$\bullet$  $\lim_{n\to \infty} \partial^\alpha\varphi_n = \partial^\alpha \varphi$
 uniform\'{e}ment sur $K$ pour tout multi-indice $\alpha$.\\

On appelle \emph{espace des distributions}, ${\cal D}'(\Omega)$ le dual de ${\cal D}(\Omega)$.
Chaque distribution est donc une forme lin\'{e}aire sur ${\cal D}(\Omega)$ continue pour la notion de convergence introduite ci-dessus.
On note $<u,\varphi> = u(\varphi)$.

En d'autres termes, une forme lin\'{e}aire sur ${\cal D}(\Omega)$ est une distribution si et seulement si
pour tout compact $K$ de $\Omega$ il existe un entier $p$  et une constante $C$ tels que pour toute fonction
$\varphi\in {\cal D}(\Omega)$ \`{a} support dans $K$ on ait
$$\vert <u,\varphi>\vert \leq C \sup_{x\in K,  \vert \alpha \vert \leq p} \vert \partial^\alpha \varphi (x)\vert$$
%En effet, supposons par contradiction que
%$$\exists K, \forall p\in\natural, \exists C, \exists \varphi_p,
%\quad{supp}\varphi_p \subset K, sup_{x\in K, \vert \alpha\vert \leq p}
%\vert \partial ^\alpha \varphi_p(x)\vert = \frac {1}{p}$$
% et
%$$\vert <u, \varphi_p> \geq 1$$
%On  d\'{e}duit de la premi\ee re relation que $\varphi_p$ tend vers 0 dans ${\cal
%D}(\Omega)$, et la deuxi\ee me relation contredit alors
% la continuit\'{e} de $u$.
Lorsque l'entier $p$ peut \^{e}tre choisi ind\'{e}pendamment de $K$, on dit  que
\emph{la distribution est d'ordre fini}, et la plus petite valeur de
$p$ possible est appel\'{e}e l'ordre de $u$.\\

On munit ${\cal D}'(\Omega)$ de la topologie de la \emph{convergence simple}, c'est-\`{a}-dire que $u_n$ tend vers $u$ si et seulement si
$<u_n, \varphi>\to <u, \varphi>$ pour  tout $\varphi\in {\cal D}(\Omega)$.\\

On admettra le th\e or\ee me suivant, qui est  cons\e quence du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus~:
\newline
Si une suite de distributions $u_n$ est telle que $<u_n, \varphi>$ converge pour tout $\varphi$ dans ${\cal D}(\Omega)$,
alors $u_n$ tend vers une distribution $u$ telle que $<u,\varphi>=\lim_{n\to \infty}<u_n, \varphi>$.\\

Pour $x\in \RR^N$, on notera $|x|$ la norme euclidienne usuelle.\\  \\



{\bf 1. Exemples de distributions}\\%-----------------------------------------------------------------------------------------------

1). \emph{ Fonctions de $L^1_{loc}$.} A une  fonction $f\in L^1_{loc}(\RR^N)$, on associe la distribution $\tilde f$ d\'{e}finie par
 $$<\tilde f, \varphi> = \int_{\RR^N} f(x)\varphi(x)dx.$$
Montrer que
\begin{itemize}
\item[(i).] $\tilde f$ est une distribution;
\item[(ii).] une suite de fonctions qui converge dans $L^1_{loc}$, converge aussi au sens des distributions.
\end{itemize}\medskip

2). \emph{ Mesure de Radon positive.} On appelle mesure de Radon positive toute forme lin\'{e}aire positive sur ${\cal D}(\Omega)$.
Montrer qu'une mesure de Radon positive est une distribution d'ordre 0 sur $\Omega$.\medskip

3). \emph{ Peignes de Dirac.} Soit $a>0 $.  On pose
$$\Delta_a=\sum_{n\in \ZZ} \delta_{na}.$$ Montrer que $\Delta_a$ est une distribution sur $\RR$.\\\\



{\bf 2. Op\e rations sur les distributions}\\%--------------------------------------------------------------------------------------

4). \emph{ Translat\'{e}e d'une distribution.}  On defini la translation d'une distribution $u\in\mathcal D'(\Omega)$ par
$$<\tau_hu,\varphi> = : <u,\tau_{-h}\varphi>,$$ o\`{u} $\tau_h\varphi(x)=\varphi(x-h)$.
Montrer que c'est une distribution si $u$ en est une.\medskip

5). \emph{ Dilat\e e d'une distribution.} Si $f$ est une fonction et $\lambda >0$, on appelle sa dilat\e e de $\lambda$:
$f_\lambda(x) = f(\frac x \lambda)$. Si $u$ est une distribution
sur $\RR^N$, on d\e finit sa dilat\e e par $$<u_\lambda,
\varphi>= |\lambda|^N<u, \varphi_{\frac 1 \lambda}>.$$ V\e rifier que $u_\lambda$ est une distribution.\medskip

6). \emph{ Multiplication par une fonction $C^\infty$.} On pose, si $f\in C^\infty(\RR^n)$ et $u\in {\cal D}'(\Omega)$,
$$<fu, \varphi>=<u, f\varphi>.$$ Montrer que c'est une distribution sur $\Omega$.\medskip

7). \emph{ Echantillonnage.} V\e rifier que, dans ${\cal D}'(\RR)$, $f\delta_a=f(a)\delta_a$, et plus g\e n\e ralement,
$$f\Delta_a = \sum_{n\in \ZZ} f(na)\delta_{na}.$$

Définition: \emph{ Conjugu\e e complexe}: on pose $<\overline{u}, \varphi> = \overline{<u, \overline{\varphi}>}.$\medskip

8). \emph{ La d\e rivation d'une distribution.} Si $u$ est une distribution, montrer que $\partial ^\alpha u$,
d\'{e}finie par $$<\partial^\alpha u, \varphi> = (-1)^{\vert \alpha \vert}<u,\partial^\alpha \varphi>$$ est aussi une distribution.
\begin{itemize}
\item[(i).] V\e rifier que cette d\'{e}finition de la d\'{e}riv\'{e}e co\"{\i}ncide avec la d\'{e}finition classique quand $u$ est une fonction $C^1$.
\item[(ii).] Si une suite de distributions converge, v\e rifier que ses d\'{e}riv\'{e}es convergent aussi.
\item[(iii).] Inversement, si $f\in L^1_{loc}(\RR)$ est localement int\e grable et si $F$ est une primitive de $f$, alors montrer que
$F'=f$, la d\e riv\e e \e tant entendue au sens des distributions.
\end{itemize}\medskip

9). \emph{Discr\e tisation de la d\e rivation.} Si $u\in {\cal D}'(\RR)$, montrer que
$$\partial u=\lim_{h\to 0}\frac1h(\tau_{-h}u-u)\hbox{ dans }{\cal D}'(\RR).$$
%{Bony, 5.1.5}
\\



{\bf 3. Distributions \a support compact}\medskip %-----------------------------------------------------------------------

Soit $u\in {\cal D}'(\Omega)$ une distribution. On consid\ee re le plus grand ouvert $\omega$ tel que la restriction de $u$ aux fonctions
test \a support dans $\omega$ soit nulle.  Le compl\e mentaire de cet ouvert est appel\ea \emph{le support de la distribution} $u$ et not\ea {\rm Supp}$(u)$.\medskip

On note ${\cal E}'(\Omega)$ l'espace des distributions dans $\Omega$ \a support compact.\medskip

10). D\e duire, de la d\e finition des distributions, que toute distribution \a support compact est d'ordre fini.\medskip

11). On peut alors \e tendre la dualit\ea $C_0^\infty$-${\cal D}'$ en une dualit\ea $C^\infty$-${\cal E}'$.

Montrer que si $\varphi\in C^\infty$ et $\theta \in C_0^\infty$ est une fonction \e gale \a 1 sur un voisinage de Supp($u$), alors $<u, \theta
\varphi>$ ne d\e pend pas de $\theta$. On peut donc d\e finir $<u, \varphi>=<u,\theta\varphi>$.\\ \\



{\large \bf Partie II. Distributions temp\'{e}r\'{e}es}\medskip %-----------------------------------------------------------------------------

On defini la \emph{classe de Schwartz}
$${\cal S}(\RR^N)=\{\varphi\in C^\infty(\RR^N) |\forall n, \forall \alpha,\beta\in\NN^n \hbox{ on a } \vert x\vert^\beta \partial^\alpha \varphi(x) \to0,  \vert x\vert \to +\infty\}.$$

On exprime aussi ces relations en disant que $\varphi$ et toutes ses d\e riv\e es sont `\`{a} d\'{e}croissance
rapide". Il est \'{e}quivalent de dire que les quantit\'{e}s
$${\cal N}_p(\varphi)=\sum_{\vert \alpha\vert\leq p,  \vert \beta\vert\leq p}\vert\vert  x^\alpha\partial^\beta\varphi(x)\vert\vert_{L^\infty}
$$ sont finies pour tout $p$.

(Notation : $\vert\alpha\vert = \alpha_1+...+\alpha_n$, $x^\alpha = x_1^{\alpha_1}...x_n^{\alpha_n}$ et $\partial^\beta =
\frac{\partial^{\beta_1+...+\beta_n)}}{\partial x_1^{\beta_1}...\partial x_n^{\beta_n}}$).\\

%On dira qu'une suite \emph{$\varphi_n$ de ${\cal S}(\RR^N)$ tend vers $\varphi \in {\cal S}(\RR^N)$} ssi
%$$\forall n, \forall \alpha,\beta\in\NN^n \lim_{\vert x\vert \to +\infty} \vert x\vert^\beta \partial^\alpha \varphi(x)=0.$$

On appelle \emph{distribution temp\'{e}r\'{e}e} toute forme lin\e aire continue sur $\cal S$.  Si $u$ est une distribution temp\e r\e e, on   note $u\in{\cal S}'(\RR^n)$.

D'une mani\ee re \e quivalente, $u$ est une distribution temp\e r\e e s'il existe $p\in\NN$ et une constante $C_p$ tels que
$$\forall \varphi \in {\cal S},\; \vert<u,\varphi>\vert \leq C_p{\cal N}_p(\varphi).$$

On munit aussi ${\cal S'}(\RR^N)$ de la topologie de la \emph{convergence simple}. Ainsi, on dit qu'une suite $u_n$ d'\e l\e ments de ${\cal S}'$ converge vers $u\in {\cal S}'$ si $<u_n, \varphi> \to <u, \varphi>$ quand $n\to \infty$.\\

D'apr\ee s le th\e or\ee me de Banach-Steinhaus, si $<u_n, \varphi>$ converge pour tout $\varphi\in \cal S$, alors il existe $u$ dans ${\cal S}'$ telle que $u_n\to u$ (résultat admis).\\

On peut interpr\'{e}ter ${\cal S}'(\RR^N)$ comme le dual de ${\cal S}(\RR^N)$.  En effet, l'in\e galit\'{e} pr\e c\e dente exprime que $u$ est continue par rapport \`{a} chacune des semi-normes ${\cal N}_p$ d\e finies sur $\cal S$.\\ \\


{\bf 4.  Propri\e t\e s des distributions temp\e r\e es, exemples}\\ %----------------------------------------------------

1). \emph{Un contrexemple}. D\e montrer que pour tout $\varphi\in C_0^\infty$ et pour tout entier $p$, il existe une constante $C>0$ telle que
${\cal N}_p(\tau_a\varphi)  \leq C(1+\vert a\vert^p)$ pour tout $a\in \RR$.  En d\'{e}duire que la fonction $e^x$ n'appartient pas \`{a} ${\cal S}'(\RR)$.\medskip
%(Bony, 9.3.4, 5 et 6)

2). \emph{Peignes de Dirac dans ${\cal S}'$}.
\begin{itemize}
\item[(a).] D\'{e}montrer que $u=\sum_{-\infty}^{\infty} a_k\delta_k$ appartient \`{a} ${\cal S}'(\RR)$ si et seulement si la suite $a_k$ est \`{a} croissance lente.  (C'est-\`{a}-dire: $\exists C>0,  \exists N, \quad \vert a_k\vert \leq C(1+\vert k\vert^N)$ pour tout $k$).
%\skipaline
%3) G\e n\e ralisation. A quelle condition a-t-on $\sum a_k\delta_k^{(n_k)}\in {\cal S}'$ ?

\item[(b).]  Soit $(a_k)\in \RR$. D\'{e}montrer que $a_k\delta_k \to 0$ dans ${\cal D}'(\RR)$ mais que la convergence ne se v\'{e}rifie dans ${\cal S}'(\RR)$ que si $(a_k)$ est \`{a} croissance lente.
\end{itemize}\medskip

3). D\e montrer que si une fonction est ``\`{a} croissance lente", i.e. il existe $k>0$ et $C>0$ tels que $|f(x)|\leq C(1+|x|^k)$, pour tout $x$, alors $f$ est une distribution temp\e r\e e.\medskip

4) D\e montrer que toute fonction de $L^1_{loc}(\RR)$, de $L^p(\RR)$, $p\geq 1$, est une distribution temp\e r\e e,  ainsi que toute distribution \`{a} support compact.\medskip

5)  D\e montrer que si $f_n(x)$ est une suite de fonctions qui tend simplement vers $f(x)$ et s'il existe $C$ et $p$ tels que $f_n(x)\leq C(1+|x|^p)$, pour tout $n$ et tout $x$, alors $f_n\to f$ dans ${\cal S}'$.\medskip

6). On dit qu'une fonction $f$ est dans ${\cal O}(\RR^N)$ si elle est \`{a} croissance lente ainsi que toutes ses d\e riv\e es, c'est-\`{a}-dire~:
$$\forall \alpha, \;\exists C,\;\exists m,\quad |\partial^\alpha f(x)|\leq C(1+|x|^m),\,\,\forall x.$$
D\e montrer que si $f\in {\cal O}$, alors:
\begin{itemize}
\item[(i).]  pour tout $\varphi \in \cal S$, $f\varphi\in \cal S$; pour tout $u\in {\cal S}'$, $fu\in {\cal S}'$.
\item[(ii).] si $u_n\to u$ dans ${\cal S}'$, alors $fu_n\to fu$ dans ${\cal S}'$.
\end{itemize}
Par contre, si on multiplie une fonction de ${\cal S}$ par une fonction "seulement" $C^\infty$, on peut sortir de l'espace ${\cal S}$. Trouver un exemple. \\ \\



{\large \bf Partie III. Transform\e e de Fourier}\\%--------------------------------------------------------------------------------

Soit $f\in L^1(\RR^N).$  Par $\hat f(\xi) = {\cal F}(f)(\xi)$ on entend que $\hat f(\xi)$ est la \emph{transform\'{e}e de Fourier} de $f(x)$ :
$$\hat f(\xi) =  \int_{\RR ^N}f(x)e^{-ix.\xi}dx,$$ o\`u $x.\xi$ d\e note le produit scalaire euclidien usuel.

On notera $$\overline{\cal F}(f) (\xi) = \int_{\RR^N} f(\xi)e^{ix.\xi}d\xi.$$
Cette notation est commode pour exprimer la formule d'inversion de Fourier.\medskip

1). V\e rifier que $\hat f(\xi)$ est une fonction continue tendant vers $0$ \a l'infini.
\\ \\


{\bf 5. Transform\'{e}e de Fourier des fonctions de {\cal S}}\\ %------------------------------------------------------------------------

Nous allons montrer toutes les  propri\'{e}t\'{e}s formelles de la transform\'{e}e de Fourier sur un espace de fonctions tr\`{e}s r\'{e}guli\`{e}res, de mani\`{e}re \`{a} ne jamais nous pr\'{e}occuper des questions de sommabilit\'{e}, d\'{e}rivation sous le signe somme, etc...\medskip

On rappelle que  $f\in {\cal S}(\RR^N)$, si $f\in C^\infty(\RR^N)$ et si pour tout $n$ et tous multindices $\alpha$, $\beta$ on a
$\vert x\vert^\beta \partial^\alpha f(x) \to 0$ quand  $\vert x\vert \to +\infty$.  Il est \e quivalent de dire que pour tout $p$ les
semi-normes $${\cal N}_p(f)=\sum_{|\alpha|\leq p,\; |\beta|\leq p}||x^\alpha\partial^\beta
f(x)||_{L^\infty}$$  sont finies pour tout entier naturel $p$.\\


2). (a). Si $f\in {\cal S}$, montrer que $\hat f \in {\cal S}$. \medskip

(b). Montrer que si $f$ est dans ${\cal S}$ alors
\begin{eqnarray*}
\label{magnifique} {\cal F}(\partial^\alpha(x^\beta f))(\xi)=(i)^{|\alpha|+|\beta|} \xi^\alpha\partial^\beta\hat f(\xi).
\end{eqnarray*}

(c). Montrer qu'il existe des constantes $C'_p$ telles que
\begin{eqnarray*}
{\cal N}_p(\hat f)\leq C'_p{\cal N}_{p+N+1}(f).
\end{eqnarray*}


{Formulaire sur la transform\e e de Fourier dans la classe de Schwartz :}\\
{\bf Notation} : Par $f(x) \leftrightarrow \hat f(\xi)$, ou par $\hat f(\xi) = {\cal F}(f)(\xi)$ on entend
que $\hat f(\xi)$ est la transform\'{e}e de Fourier de $f(x)$ :
$$\hat f(\xi) = : \int_{\RR ^N}f(x)e^{-ix.\xi}dx.$$

3) (a). { \emph{Le sinus cardinal}, $N=1$}.
Montrer que
$${\cal F}(\ind_{[-\frac T 2,\frac T 2]})(\xi)=2\frac{\sin {\frac T 2}\xi}{\xi}.$$

(b). \emph{ Transform\'{e}e de Fourier de la gaussienne.}
V\e rifier  que la gaussienne $g(x)=e^{-a|x|^2},$  o\`u $a>0,$
appartient \`{a} ${\cal S}(\RR^N)$ et montrer que sa transformée de Fourier est
        $$\hat g (\xi)=(\frac{\pi}{a})^{\frac{N}{2}}e^{-\frac {\vert \xi\vert ^2}{4a}}.$$


4). \emph{ S\e paration des variables. }
Pour $f_1,f_2,..f_N\in{\cal S}(\RR^N)$ v\'erifier que
       $${\cal F}(f_1(x_1)...f_N(x_N))(\xi_1,\xi_2,...,\xi_N)=\hat f_1(\xi_1)...\hat f_N(\xi_N).$$


5). \emph{Conjugu\'ee complexe. } 
Montrer que pour toute fonction $f\in{\cal S}$
        $${\cal F}(\bar f)(\xi)=\bar {\hat f}(-\xi).$$
De plus, \\
(i). si $f$ est r\'{e}elle et paire, $\hat f(\xi)$ est
r\'{e}elle et $$\hat f(\xi) = 2\int_0^{+\infty}f(x)cos (\xi x) dx.$$

(ii). si $f$ est r\'{e}elle et impaire, $\hat f(\xi)$ est
imaginaire et $$\hat f(\xi) = -2i\int_0^{+\infty}f(x)sin (\xi x) dx.$$


6). \emph{ Shift - Modulation. }
Pour $f\in{\cal S}(\RR^N)$, montrer que
       $$f(x-a) \leftrightarrow e^{-ia\xi}\hat f(\xi);$$
       $$e^{iax}f(x) \leftrightarrow \hat f(\xi -a),$$
       $$f(x)cos(ax) \leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( \hat f(\xi+a) + \hat f(\xi -a)\right ).$$


7). \emph{Changement d'\'{e}chelle. }
Si $f\in{\cal S}(\RR^N)$, $a\in\RR^*$ d\'emontrer que
$$f(ax) \leftrightarrow \frac {1}{a^N} {\hat f(\frac \xi a )}.$$


8). \emph{ D\'{e}riv\'{e}es  temporelles et fréquentielles. }
Pour $f\in{\cal S}(\RR)$ et $n\in\NN$, v\'erifier que
       $${\cal F}(f^{(n)}(x))(\xi)=(i\xi)^n\hat f(\xi);$$
       $${\cal F}((-ix)^nf(x))(\xi)= ( f^{(n)})(\xi).$$

\emph{ Th\'{e}or\`{e}me des moments. }
On appelle  \emph{moment d'ordre $n$ de $f$}, 
        $$m_n = \int _{-\infty}^{+\infty}x^nf(x)dx.$$ Alors $\hat
f^{(n)}(0)=(-i)^nm_n$.\medskip


9). \emph{ Formule d'inversion de Fourier. }
Si $f$ est dans la classe de Schwartz, montrer que
        $$f(x) =\frac {1}{(2\pi)^N} \int_{\RR^N}\hat f(\xi)e^{ix.\xi}d\xi.$$
En d'autres termes,
$$f(x) = \frac {1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat f(-\xi))(x).$$
ou bien
        $$f = \frac {1}{(2\pi)^N}\overline{\cal F}(\hat f),$$
\ccaadd encore
        $$\overline{\cal F}{\cal F} = (2\pi)^N Id.$$
        
        
10). \emph{ Convolution - multiplication. }
Si $f$ et $g$ appartiennent \a $L^1(\RR^N)$, alors la convol\e e  $f\ast g $ aussi. Montrer que
        $${\cal F}(f\ast g) = \hat{f}\hat {g}.$$
        $${\cal F}(f\cdot g)=\frac{1}{{(2\pi)}^N}\hat f\ast \hat g.$$
        

11). \emph{ Formule de Parseval. }
D\e montrer que si $f$ et $g$ sont dans $\cal S$ alors
        $$\int_{\RR^N}f(x)\overline{g}(x)dx = \frac {1}{(2\pi)^N}\int_{\RR^N}\hat f(\xi)\overline{\hat g}(\xi)d\xi.$$


12). \emph{ Transform\'{e}e de Fourier dans $L^2(\RR ^N)$. }\\
Gr\^{a}ce \a la Formule de Parseval, qui exprime que la transform\e e de Fourier conserve
la norme $L^2$, montrer que la transform\'{e}e de Fourier peut-\^{e}tre prolong\'{e}e de mani\ee re
unique de ${\cal S}(\RR^N)$ \`{a} $L^2(\RR^N)$ et qu' elle est un isomorphisme de $L^2$.\medskip


13). \emph{ R\'{e}gularit\'{e} et d\'{e}croissance \`{a} l'infini. }\\
Si $f\in L^1(\RR^N)$ est \`{a} support compact, $\hat f$ est $C^\infty$.\medskip


14). \emph{ Support compact. }\\
Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f\neq 0$  dans $L^1(\RR^N)$   telle que $\hat f$ et
$f$ soient simultan\e ment \a support compact.\\
(Si par exemple $f$ est \a support compact, consid\'erer, pour $\xi \in \RR^N$ fix\ea et
pour $z\in \CC$, la fonction
$$g(z)=\int_K e^{-iz\xi.x}f(x)dx,$$
et v\'erifier que $g$ est une fonction holomorphe sur $\CC$ puis qu'elle est identiquement nulle.)\\ \\


{\bf 6. Transform\'{e}e de Fourier des distributions temp\'{e}r\'{e}es}\\%--------------------------------------------------------------------

On d\'{e}finit \emph{la transform\'{e}e de Fourier $\hat u$ d'une distribution temp\'{e}r\'{e}e $u$} par
$$\forall \varphi \in {\cal S}(\RR^N), \quad <\hat u, \varphi> = <u, \hat \varphi>.$$
O note la transform\'ee de Fourier par $ {\cal F}(u)=\hat u.$

En utilisant la définition de la transform\'ee de Fourier d'une distribution tempér\'ee et les propriétés de la transform\'ee de Fourier sur les fonctions \`a décroissance rapide, démontrer les propriét\'es qui suivent.\medskip

15). Si $u$ est une distribution temp\e r\e e, montrer que $\hat u$ est  une
distribution temp\'{e}r\'{e}e aussi.\\ \\
{Formulaire sur la transform\e e de Fourier des distributions temp\e r\e es}:\\
Sauf mention contraire, $u$ et $v$ d\e signent dans la suite des distributions temp\e r\e
es. \\
{\bf NB} :   Si $u\in {\cal S}'$ et $\varphi \in S$,
$<\hat u, \varphi>=<u, \hat \varphi>$. Pour démontrer les résultats qui suivent, on utilisera constamment et uniquement cette formule et le formulaire sur la transformée de Fourier dans la
classe de Schwartz (vu précédemment). \\
16). V\'erifier que $\delta\in{\cal S'}$ et montrer que \medskip
$$\left\{
\begin{array}{ll}
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  \hat \delta = 1  & \hat 1 = (2\pi)^N\delta \\
  {\cal F}(\delta_a) = e^{-ia.\xi} & {\cal F}(e^{ia.x}) = (2\pi)^N\delta_a \\
  {\cal F}(\partial^\alpha \delta) = i^{\vert \alpha\vert}\xi^\alpha &
        {\cal F}(x^\alpha) = (2\pi)^N(-i)^{\vert\alpha\vert}\partial^\alpha\delta.
\end{array}
\right.$$

17). \emph{Formule d'inversion. } Si $u\in{\cal S'}$, montrer que
$$\overline{{\cal F}}(\hat u)=(2\pi)^Nu$$

18). \emph{Shift - modulation. } Si $u\in{\cal S'}$, montrer que
$${\cal F}(\tau_a u) = e^{-ia.\xi}{\cal F}(u)$$
$${\cal F}(e^{ia.x}u)=\tau_a \hat u.$$

19). \emph{Changement d'\'echelle. } Pour $u\in{\cal S'}$ et $\lambda\in\RR^*$, montrer que
$${\cal F}(u(\frac x\lambda))(\xi)=|\lambda|^N\hat u(\xi).$$

20). \emph{ D\'{e}riv\'{e}es  temporelles et frequentielles. } Pour $u\in{\cal S'}(\RR^n)$ et $\alpha$ multi-indice, v\'erifier que
$${\cal F}(\partial^\alpha u)=i^{|\alpha|}\xi^\alpha \hat u.$$
$${\cal F}(x^\alpha u) = i^{|\alpha|}\partial^\alpha(\hat u).$$


21). Si $u\in {\cal E}'(\RR^N)$, alors montrer que $\hat
u\in {\cal O}_M$ (espace des fonctions $C^\infty$ \a croissance
lente ainsi que toutes leurs d\e riv\e es.)

%\newpage
%{\bf A. Formulaire sur la transform\e e de Fourier dans la classe de Schwartz}\\%--------------------------------------------------------------
%
%Soit $f\in{\cal S}$. On note sa transform\'{e}e de Fourier par:
%$${\cal F}(f)(\xi)=\hat f(\xi) = : \int_{\RR ^N}f(x)e^{-ix.\xi}dx.$$
%On a les propri\'et\'es suivantes. \medskip
%\begin{enumerate}
%\item \emph{Formule d'inversion*. } Pour $f\in{\cal S}(\RR^N)$
%       $$f(x) = \frac {1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat f(-\xi))(x).$$
%\item \emph{S\e paration des variables. } Pour $f_1,f_2,..f_N\in{\cal S}(\RR^N)$
%       $${\cal F}(f_1(x_1)...f_N(x_N))(\xi_1,\xi_2,...,\xi_N)=\hat f_1(\xi_1)...\hat f_N(\xi_N).$$
%\item \emph{Convolution* - Multiplication. } Pour $f,g\in{\cal S}(\RR^N)$
%       $${\cal F}(f\ast g)=\hat f\hat g;$$
%       $${\cal F}(f\cdot g)=\frac{1}{{(2\pi)}^N}\hat f\ast \hat g.$$
%\item \emph{Shift - Modulation. } Pour $f\in{\cal S}(\RR^N)$
%       $${\cal F}(f(x-a))(\xi)= e^{-ia\xi}\hat f(\xi);$$
%       $${\cal F}(e^{iax}f(x))(\xi)= \hat f(\xi -a),$$
%       $${\cal F}(f(x)cos(ax))(\xi)=\frac{1}{2}\left ( \hat f(\xi+a) + \hat f(\xi -a)\right ).$$
%\item \emph{Changement d'\'{e}chelle. } Pour $f\in{\cal S}(\RR^N)$
%       $${\cal F}(f(ax))(\xi)= \frac {1}{a^N} {\hat f(\frac \xi a )}.$$
%\item \emph{ D\'{e}riv\'{e}es  temporelles et frequentielles. }
%       $${\cal F}(f^{n}(x))(\xi)=(i\xi)^n\hat f(\xi);$$
%       $${\cal F}((-ix)^nf(x))(\xi)= {\cal F}( f^{(n)})(\xi).$$
%\end{enumerate}

%\newpage
%{\bf B  Formulaire sur la transform\e e de Fourier des distributions temp\e r\e es}\\
%Sauf mention contraire, $u$ et $v$ d\e signent dans la suite des distributions temp\e r\e
%es. Dmontrer toutes les
%formules qui suivent,\\
%{\bf NB} :   Si $u\in {\cal S}'$ et $\varphi \in S$,
%$<\hat u, \varphi>=<u, \hat \varphi>$, on utilisera constamment et uniquement cette
%formule et le formulaire sur la transforme de Fourier dans la
%classe de Schwartz (question prcdente). \\

\end{document} 