\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\newtheorem{lem}{Lemma}
\newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{theor}{Theorem}
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\newtheorem{defi}{D\'efinition}
\newtheorem{rem}{Remarque}
% ensembles Q R N Z C
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}} \gdef\NN{\hbox{\rm
I\kern-.25em\hbox{N}}} \gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} } \gdef\CC{\rm
\hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\begin{document}
\author{}
 \date{}
\title{Partiel d'Analyse du 25/11/2005}
\maketitle NB: Les notes de cours et de Td ainsi que le polycopi\'e
sont autoris\'es. L'\'epreuve est
constitu\'ee d'une s\'erie d'exercices ind\'ependants. \\ \\ \\
%{ \bf Exercice 1}
%Soit E un espace m\'etrique complet, pour toute partie $A \subset E$, on note $\delta(A) = \sup_{x,y
%\in A} d(x,y)$, avec la convention que $\delta(\emptyset)=0$. Soit $(F_n)_n$ une suite de parties
%ferm\'ees non vides de $E$ telle que $\forall n$, $F_{n+1} \subset F_n$ et $\delta(F_n) \rightarrow 0$
%quand $n \rightarrow \infty$. Montrer qu'il existe $x_0$ dans $E$ tel que
%$$\bigcap_{n} F_n = \{x_0\}.$$
%\\ \\
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
Soit $E={\cal C}[0,1]$ que l'on munit de $\Vert f \Vert = \sup_{x
\in [0,1]} \vert f(x) \vert$. On
rappelle que $(E,\Vert\,\,\Vert)$ est un espace de Banach.\\
1) Soit
$$H = \left\{ \vfi \in E : \int_0^1 \vfi(t) dt = \frac{1}{2} \vfi(0) \right\},$$
et enfin soit $f \equiv 1$.

a) V\'erifier que $H$ est un hyperplan ferm\'e de $E$.

b) Montrer que $\vfi \in E$, $\Vert f-\vfi \Vert \leq \frac{1}{3}$
$\Longrightarrow$ $\vfi \not\in H$.

c) Montrer que $d(f,H) = \inf_{\vfi \in H} \Vert f-\vfi \Vert =
\frac{1}{3}$. Est-ce atteint ? Que pouvez-vous en
conclure sur $E$ ?\\ \\
2) On note $B_E = \overline{B_E(0,1)}$. On dit que $T \in {\cal
L}(E,E)$ est
un op\'erateur compact si $\overline{T(B_E)}$ est compact (fort) dans $E$.\\
Soit $K \in {\cal C}([0,1]\times[0,1])$. Pour $f \in E$, on
d\'efinit $T(f)$ par
$$T(f)(x) = \int_0^1 K(x,y) f(y) dy.$$

a) Montrer que $\forall f \in E$, $T(f) \in E$ puis que $T \in {\cal
L}(E,E)$.

b) Montrer que $T(B_E)$ est \'equicontinue. En d\'eduire
que $T$ est un op\'erateur compact.\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
On note $ {\ell}^{\infty} = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR
\mbox { tel que } \sup_n \vert x_n \vert < \infty \}$ que l'on munit
de $ {\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_{n \geq 1} \vert x_n \vert.$ \\
\\On rappelle que
$({\ell}^{\infty},\Vert\,.\,\Vert_{\infty})$ est un espace de Banach.\\
Enfin, on note ${\cal C}_0 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR
\mbox { tel que }
\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}} \vert x_n \vert = 0 \}$.\\
1) V\'erifier que $({\cal C}_0, \Vert\,.\,\Vert_{\infty}) $ est un espace de Banach.\\
2) Soit $(y_1,...,y_N) \in \RR^N$, on d\'efinit
%\begin{eqnarray*}
$T_N : {\cal C}_0  \rightarrow \RR$ par $T_N(x) =
\displaystyle{\sum_{n = 1}^N} x_n y_n$
%\end{eqnarray*}
si $x=(x_n)_n$. Montrer que $T_N$ est lin\'eaire et continue. Calculer $\Vert T_N \Vert$.\\
3) Soit $y=(y_n)_n$ une suite de nombres r\'eels v\'erifiant la
propri\'et\'e suivante,
$$\forall x=(x_n)_n \in {\cal C}_0, \qquad \sum_{n \geq 1} \vert x_n y_n \vert < \infty,$$
montrer que la s\'erie $\displaystyle{\sum_{n \geq 1}} \vert y_n \vert$ est convergente.\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Question pr\'eliminaire :\\
Soient $(E,\tau)$ et $(F,\sigma)$ deux espaces topologiques s\'epar\'es.\\
Soit $f:(E,\tau)\rightarrow (F,\sigma)$ une application s\'equentiellement continue.\\
On suppose que l'espace $(E,\tau)$ est m\'etrisable, montrer que $f$
est continue.
 (On pourra raisonner par l'absurde.)\\ \\
Dans toute la suite de cet exercice, on suppose que $E={\cal
C}[0,1]$. Pour $f$ et $g$ dans
 $E$, on pose
$$d(f,g) = \int_0^1 \frac{\vert f(x)-g(x) \vert}{1+\vert f(x)-g(x) \vert} dx.$$
1) V\'erifier que $d$ est une distance sur $E$.\\ \\
2) Pour $x \in [0,1]$ et $f \in E$, on d\'efinit la semi-norme $p_x(f)=\vert f(x) \vert$ sur $E$.\\
%V\'erifier que $p_x$ est une semi-norme sur $E$.\\
On note $(E,\tau)$ l'espace $E$ muni de la topologie associ\'ee \`a
la famille de semi-normes $(p_x)_{x \in [0,1]}$. (C'est la topologie de la convergence simple.)\\
Rappel : On dit que $U \subset E$ est ouvert dans $(E,\tau)$ si ou
bien $U = \emptyset$ ou bien $\forall f \in U$, $\exists \eps>0$,
$\exists x_1, x_2,...,x_N$ dans $[0,1]$ tels que
$$\bigcap_{1 \leq i \leq N} \left\{ g \in E : p_{x_i}(f-g) < \eps \right\} \subset U.$$
V\'erifier que cette topologie est s\'epar\'ee. Soit $(f_n)_n$ une
suite de fonctions dans $E$, v\'erifier que $f_n \rightarrow f$ dans
$(E,\tau)$ $\Longleftrightarrow$ $f_n(x) \rightarrow
f(x)$ pour tout $x \in [0,1]$.\\ \\
%( On rappelle qu'il a \'et\'e d\'emontr\'e
%en Td que
%$(E,{\cal P})$ est s\'epar\'e $\Longleftrightarrow$ $\forall x \in E$, $x \not= 0$, $\exists p \in
%{\cal P}$ tel
%que $p(x) \not= 0$.)\\
3) Montrer que $id : (E,\tau) \rightarrow (E,d)$ est
s\'equentiellement continue. (Utiliser le
th\'eor\`eme de convergence domin\'ee.)\\ \\
4) Montrer que $id : (E,\tau) \rightarrow (E,d)$ n'est pas continue
en $f=0$.
En d\'eduire que l'espace $(E,\tau)$ n'est pas m\'etrisable.\\ \\
%5) Montrer que $id : (E,d) \rightarrow (E,\tau)$ n'est pas continue.\\
5) On note $E_{\tau}^{\prime}= \{ F :(E,\tau) \rightarrow \RR \mbox{
lin\'eaire et continue}\}$.

a) Soit ${\delta}_x : E \rightarrow \RR$ d\'efinie par
${\delta}_x(f)=f(x)$. Montrer que $\forall x \in [0,1]$, ${\delta}_x
\in E_{\tau}^{\prime}$.

b) Soit $F \in E_{\tau}^{\prime}$, montrer qu'il existe $x_1,..,x_N
\in [0,1]$ tels que
$$\bigcap_{1 \leq i \leq N} \ker {\delta}_{x_i} \subset \ker F.$$
En d\'eduire qu'il existe des r\'eels $\lambda_1,...,\lambda_N$ tels
que
$$ F = \sum_{i=1}^N \lambda_i {\delta}_{x_i}.$$
6) Pour $f \in E$, on note $\Vert f \Vert = \sup_{x \in [0,1]} \vert
f(x) \vert$. Etudier la continuit\'e des applications $id : (E,\Vert
\, \Vert) \rightarrow (E,d)$ et
$id : (E,d) \rightarrow (E,\Vert \, \Vert)$.\\ \\
7)$^{\star}$ L'objet de cette question est de montrer que l'espace
$(E,d)$ n'est pas complet. On se place dans l'espace de Lebesgue
$L^1(0,1)$ qui contient $E$. On note $f_0$ la fonction indicatrice
de l'intervalle $[0,1/2]$.

a) Montrer qu'il n'existe pas de fonction $g \in E$ telle que
$g=f_0$ p.p.

b) Construire une suite de fonctions continues $(f_n)_n$ dans $E$
qui converge p.p. et dans $L^1(0,1)$ vers $f_0$. V\'erifier que
cette suite est de Cauchy dans $(E,d)$. S'il existe $g \in E$ telle
que $d(f_n,g) \rightarrow 0$, montrer que $g=f_0$ p.p. En d\'eduire
que l'espace $(E,d)$ n'est pas complet.
\\ \\
{\bf NB :} La question 7)$^{\star}$ ci-dessus, faisant appel \`a
l'int\'egrale de Lebesgue, est hors bar\^eme.
 \end{document}
