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\newtheorem{Exer}{Exercice}  %Exercice
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\def\dexo{\begin{exo}\rm}    %sans
\def\fexo{\end{exo}}  
% ensembles Q R N Z C
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse Fonctionnelle\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD 6: Lemme de Baire et applications\\}

\vspace{0.5cm}
 \dexer  Th{é}or{è}me de l'application ouverte
\hfill
\newline\newline
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$ surjective alors \\
1) Montrer qu'il existe $C>0$ tel que $B(0,2C) \subset \overline {T(B(0,1))}$. Pour cela, utiliser les ensembles
$F_n = n \overline{T(B(0,1))}$.\\
2) D{é}montrer qu'en fait $B(0,C) \subset T(B(0,1))$. Soit $y \in B(0,C)$, on construira une suite $(z_n)_n$ telle que
$\Vert z_n \Vert < \frac{1}{2^n}$ et $\Vert y - Tz_1 - ...- Tz_n \Vert < \frac{C}{2^n}$, $\forall n$ et on en déduira
que la série $x=\displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} z_n$  converge et que $||x||<1$.
 \fexer
\dexer  Th{é}or{è}me d'isomorphisme d'espaces de Banach
\hfill \newline\newline
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$ bijective, montrer que $T^{-1}$ est continue.  
 \fexer
\dexer  Normes équivalentes
\hfill \newline\newline
Soit E un espace vectoriel norm{é} muni de deux normes
${\Vert\,\Vert}_1$ et ${\Vert\,\Vert}_2$. Si E est complet pour les deux normes et si ${\Vert\,\Vert}_1 \leq \; C
\;{\Vert\,\Vert}_2$, montrer que les deux normes sont {é}quivalentes. 
 \fexer
\dexer  Th{é}or{è}me du graphe ferm{é}
\hfill
\newline\newline
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in L(E,F)$ \index{N}{$L(E,F)$ est l'espace des applications lin{é}aires de
$E$ dans $F$}. On suppose que le graphe de T, G(T)$= \{(x,y) \in E \times F,
\quad y=Tx \}$, est ferm{é} dans $E \times F$, montrer que T est continue.\\
(On pourra consid{é}rer la norme du graphe $\Vert x \Vert = \Vert x \Vert_E + \Vert Tx \Vert_F$.) 
  \fexer
 \dexer Base algébrique dénombrable et complétude
 \hfill  
\newline\newline
Existe-t'il une norme sur $E=\RR[x]$ qui en fasse un espace de
Banach ?
 \fexer
\dexer  
\hfill
\newline\newline
Rappel : Soit $f \in L^p \cap L^q$ avec $1 \leq p<q$ alors
$$ {\Vert f \Vert}_r \leq {\Vert f \Vert}_p^{\theta}\,
\, {\Vert f \Vert}_q^{1-\theta}, \mbox{ o{\`u} } \frac{1}{r} = \frac{\theta}{p} + \frac{1-\theta}{q},$$
avec $\theta \in [0,1]$ et donc $f \in L^r$, $\forall r \in [p,q]$.\\ \\
Soit E un sous-espace vectoriel ferm{é} de $L^1$ tel que $E \subset \displaystyle{\bigcup_{1< q \leq +\infty}} L^q$.
On va montrer que $\exists p > 1$ tel que $E \subset L^p$ avec injection continue. On considère les ensembles $$E_n =
\{ f \in E \cap L^{1+\frac{1}{n}},\,{\Vert f \Vert}_{1+\frac{1}{n}} \leq\,n\}.$$
a) Montrer que $E = \bigcup_n E_n$. \\
b) Montrer que $\forall n$, $E_n$ est ferm{é} dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$.\\
c) Montrer que
$\exists n_0$ tel que int$(E_{n_0}) \not= \emptyset$. \\
d) En déduire que $id : E, \Vert\,\Vert_1 \longrightarrow L^{1+\frac{1}{n_0}}$ est continue. 
 \fexer
\dexer  
\hfill \newline \newline 
Soit $T:L^2\rightarrow L^{2}$ vérifiant : $\forall f,g\in  L^{2}$, $\displaystyle{\int T(f) g= \int fT(g)}$.\\
Montrer que $T$ est linéaire et continue.
 \fexer
\dexer  
\hfill \newline\newline
Soient $1\leq p \leq q < \infty$. Soit $a(x)$ une fonction mesurable définie sur $\Omega$.\\
On suppose que $au\in L^{q}(\Omega)$ pour tout $u \in L^{p}(\Omega)$.\\
1) En utilisant le théorème du graphe fermé, montrer qu'il existe $C>0$ tel que pour tout $u \in L^{p}(\Omega)$,
$$\Vert au \Vert_q  \leq C\,\Vert u \Vert_p.$$
2) Vérifier que $a^{q} \in L^{1}_{loc}(\Omega)$.\\
3) Montrer qu'il existe $g \in L^{(\frac{p}{q})^{\prime}}$ unique telle que pour tout $v \in L^{\frac{p}{q}}$,
$$\int_{\Omega} \vert a \vert^{q} v = \int_{\Omega} gv.$$
4) En déduire que $a \in L^{r}(\Omega)$ avec $r = \frac{pq}{q-p}.$
 \fexer
\newpage
{ \bf Corrigé} 
\\
\dexo \hfill \newline
1) Soit $F_n = n \overline{T(B(0,1))}$ alors $F_n$ est ferm{é} et $F = \cup_n F_n$ car $T$ est surjective. Par le lemme de Baire, on
sait qu'il existe $n_0$ tel que int($F_{n_0}$)$\not= \emptyset$ et donc int$\left( \overline{T(B(0,1))} \right) \not=
\emptyset$. Alors il existe $r>0$ et $y_0 \in F$ tels que $B(y_0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}$. Si $y_0 \in
\overline{T(B(0,1))}$ alors $- y_0$ aussi et $B(y_0,r) = y_0+B(0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}$ donc $B(0,r) \subset
\overline{T(B(0,1))}+\overline{T(B(0,1))} \subset 2\overline{T(B(0,1))}$ d'o{\`u} $B(0,\frac{r}{2}) \subset
\overline{T(B(0,1))}$
et $2C = \frac{r}{2}$ convient.\\
2) Soit $y \in B(0,C)$ fix{é}, on cherche $x \in B(0,1)$ tel que $y = Tx$. On sait que $B(0,C) \subset \frac{1}{2}
B(0,2C) \subset \overline{T(\frac{1}{2} B(0,1))}$ donc $\forall \ep>0$, $\exists z_{\ep}$, $\Vert z_{\ep} \Vert <
\frac{1}{2}$ tel que $\Vert y -Tz_{\ep} \Vert < \ep$.\\
On choisit $\ep = \frac{C}{2}$, cela nous donne un $z_1$ tel que $\Vert z_1 \Vert < \frac{1}{2}$ et $\Vert y -Tz_1
\Vert < \frac{C}{2}$. Alors $y -Tz_1 \in B(0, \frac{C}{2}) \subset \overline{T(\frac{1}{4} B(0,1))}$ et on recommence,
pour $\ep = \frac{C}{4}$, $\exists z_2$ tel que $\Vert z_2 \Vert < \frac{1}{4}$
et $\Vert y -Tz_1 -Tz_2 \Vert < \frac{C}{4}$, etc...\\
On construit ainsi une suite $(z_n)_n$ telle que $\Vert z_n \Vert < \frac{1}{2^n}$ et $\Vert y - Tz_1
- ...- Tz_n \Vert < \frac{C}{2^n}$, $\forall n$.\\
La suite $x_n = z_1+...+z_n$ est de Cauchy dans $E$ donc converge vers un $x \in E$, comme $T$ est continue, $Tx_n
\rightarrow Tx$, donc $y = Tx$. Il reste
{à} voir que $\Vert x \Vert < 1$.\\
Par exemple, $\exists \ep>0$ tel que $\Vert z_1 \Vert \leq \frac{1}{2} - \ep$ alors
$$\Vert x_n \Vert \leq \sum_1^n \Vert z_k \Vert \leq \sum_1^n \frac{1}{2^k} -
\ep \leq 1 - \ep,$$ d'o{\`u} le r{é}sultat.
\fexo
\dexo \hfill \newline
Par le th{é}or{è}me de l'application ouverte, $\exists C>0$ tel que $B_F(0,C) \subset T(B_E(0,1))$. Comme $T$ est bijective,
$\forall x \in E$ tel que $\Vert Tx \Vert < C$ on a $\Vert x \Vert < 1$. Donc $\Vert x \Vert \leq \frac{1}{C} \Vert Tx
\Vert$ et $T^{-1}$ est continue. 
 \fexo
\dexo \hfill \newline
On applique le r{é}sultat pr{é}c{é}dent {à} $id : E,\Vert
x \Vert_2 \rightarrow E, \Vert x \Vert_1$.
\fexo
\dexo \hfill \newline
Sur $E$, on consid{è}re $\Vert x \Vert_1 = \Vert x \Vert_E$ et $\Vert x \Vert_2 = \Vert x \Vert_E + \Vert Tx \Vert_F$.
Si $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet, comme $\Vert x \Vert_1 \leq \Vert x \Vert_2$, $\forall x\in E$, en appliquant
l'exercice ci-dessus, on obtient l'{é}quivalence des normes $\Vert x \Vert_1$ et
$\Vert x \Vert_2$ et donc $T$ est continue.\\
V{é}rifions que $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet. Soit $(x_n)_n$ une suite de Cauchy pour $\Vert x \Vert_2$, alors
$(x_n)_n$ est de Cauchy pour $\Vert x \Vert_1$ donc elle converge vers un $x \in E$ au sens de la norme $\Vert x
\Vert_1$. La suite $(Tx_n)_n$ est aussi de Cauchy dans $F$ complet donc converge vers un certain $y \in F$. Or
$(x_n,Tx_n)_n \in G(T)$ ferm{é}, donc $y=Tx$ et $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet.
 \fexo \dexo \hfill \newline

 \fexo 
 \dexo \hfill \newline
a) Montrons que $E = \bigcup_n E_n$. \\Si $f \in E$ alors $\exists q>1$ tel que $f \in L^1 \cap L^q$. Donc $\exists N_0$ tel
que {à} la fois $\Vert f \Vert_1 \leq N_0$ et $\forall n \geq N_0$, $1+ \frac{1}{n} < q$. Soit $r_n=1+ \frac{1}{n}$
alors grâce au rappel,
$$\Vert f \Vert_{1+\frac{1}{n}} \leq \Vert f \Vert_1^{\theta_n} \Vert f
\Vert_q^{(1-\theta_n)},\;\;\mbox{o{\`u}}\;\; \frac{1}{r_n} = \frac{n}{n+1} = \theta_n + \frac{1-\theta_n}{q}.$$ Or
$\theta_n (1- \frac{1}{q})=\frac{n}{n+1} - \frac{1}{q}$ o{\`u} $q>1$ donc $\theta_n \longrightarrow 1$ et $\Vert f
\Vert_1^{\theta_n} \Vert f \Vert_q^{(1-\theta_n)} \longrightarrow \Vert f \Vert_1$. Donc $\exists N \geq N_0+1$ tel que
$\forall n \geq N$ $\Vert f \Vert_{1+\frac{1}{n}} \leq \Vert f \Vert_1 + 1 \leq N_0+1 \leq N$ et $f \in E_N$ par
exemple. D'o{\`u} $E = \bigcup_n
E_n$.\\
b) Montrons que $\forall n$, $E_n$ est ferm{é} dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$. \\Soit $(f_p)_p \subset E_n$ telle que $f_p
\longrightarrow f$ dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$.
A-t'on $f \in E_n$ ?\\
$\Vert f_p - f \Vert_1 \longrightarrow 0$ $\Longrightarrow$ il existe une sous-suite $(f_{p_k})_k$ telle que $f_{p_k}
\longrightarrow f$ p.p. (voir la réciproque du TCD), donc
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \longrightarrow \vert f
\vert^{1+\frac{1}{n}}\;\;\mbox{p.p.},\\
\vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \in L^1,\;\vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}}
\geq 0\;\;\mbox{p.p.},\\
\forall k,\;\;\int \vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \leq n^{1+\frac{1}{n}}.
\end{array}   \right. \]
Le lemme de Fatou montre que $\vert f \vert^{1+\frac{1}{n}} \in L^1$, soit $f \in L^{1+\frac{1}{n}}$, et
$$\int \vert f \vert^{1+\frac{1}{n}} \leq \liminf \int \vert f_{p_k}
\vert^{1+\frac{1}{n}} \leq n^{1+\frac{1}{n}}.$$ Donc $f \in E_n$, et $E_n$ est ferm{é}.\\
c) Comme $E = \bigcup_n E_n$ avec $E_n$ ferm{é} dans
$(E,\Vert\,\Vert_1)$ et $(E,\Vert\,\Vert_1)$ est complet, on peut appliquer le lemme de Baire : $\exists n_0$
tel que int$(E_{n_0}) \not= \emptyset$. \\
d) On en déduit que $\exists f \in E$ et $\exists r>0$ tels que $B(f,r) \subset E_{n_0}$. Si
$g \in E$, $g \not= 0$ alors $f+ \frac{r}{2} \frac{g}{\Vert g \Vert_1} \in B(f,r) \subset E_{n_0}$ donc $g \in
L^{1+\frac{1}{n_0}}$ et $\vert \frac{r}{2} \frac{1}{\Vert g \Vert_1} \Vert g \Vert_{1+\frac{1}{n_0}} - \Vert f
\Vert_{1+\frac{1}{n_0}} \vert \leq n_0$ $\Longrightarrow$ $\Vert g \Vert_{1+\frac{1}{n_0}} \leq \frac{4n_0}{r} \Vert g
\Vert_1$.\\
D'o{\`u} $id : E, \Vert\,\Vert_1 \longrightarrow L^{1+\frac{1}{n_0}}$ est
continue.\\
\fexo 
\dexo \hfill \newline   

 \fexo  
\dexo \hfill \newline  
1) On définit l'opérateur linéaire $T:L^{p}(\Omega)\rightarrow L^{q}(\Omega)$ par $Tu=au$.\\
Montrons que $T$ est continu avec le téorème du graphe fermé. Soit $(u_n)_n$ une suite de $L^{p}(\Omega)$ telle que $u_n\rightarrow u$ dans $L^{p}(\Omega)$ et $Tu_n \rightarrow f$ dans $L^{q}(\Omega)$. Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que $u_n\rightarrow u$ p.p. et $au_n\rightarrow f$ p.p.. Donc $f=au$ p.p. soit $f=Tu$. On en déduit que le graphe est fermé donc $T$ est continu. Alors il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $u\in L^{p}(\Omega)$,
$$(1) \qquad \Vert au \Vert_q  \leq C \, \Vert u \Vert_p.$$
2) En choisissant dans $(1)$, $u=\II_{K}$ où $K$ est un compact quelconque de $\Omega$, on voit que $a^{q}$ est localement intégrable.\\
3) On déduit de $(1)$ que pour tout $v \in L^{\frac{p}{q}}(\Omega)$,
$$\int \vert a \vert^{q} \vert v \vert \leq C^{q} \Vert v \Vert_{\frac{p}{q}},$$
(prendre $u=\vert v \vert^{\frac{1}{q}}$).\\
L'application $v\longmapsto \displaystyle{\int \vert a \vert^{q} v }$ définit donc une forme linéaire continue sur $L^{\frac{p}{q}}(\Omega)$. Par conséquent, le théorème de dualité 4.1 nous dit qu'il existe une unique fonction $g\in L^{(\frac{p}{q})^{\prime}}$ telle que pour tout $v \in L^{\frac{p}{q}}$,
$$\int_{\Omega} \vert a \vert^{q} v = \int_{\Omega} gv.$$ 
4) On écrit $\Omega=\bigcup_N \Omega\cap B(0,N)$. On fixe $N$ et on approche la fonction \\ $signe(\vert a \vert^{q}-g)$ par une suite $(f_k)_k$ de fonctions régulières à support compact inclus dans $\Omega\cap B(0,N)$ telles que $f_k\rightarrow signe(\vert a \vert^{q}-g)$ p.p. et $\vert f_k \vert \leq 1$ p.p.\\
Le théorème de convergence dominée donne alors
$$\int_{\Omega\cap B(0,N)} \vert\;\vert a \vert^{q}- g\vert = 0,$$
pour tout $N$ donc $\vert a \vert^{q}= g$ p.p. D'où, $a \in L^{r}(\Omega)$.
\fexo


 \end{document}