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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}

{\raggedright Analyse Fonctionnelle  \hfill{}
 \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2007-2008}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD Banach   \\}

\vspace{1cm}
%\\ 
%{\bf Exercice 1} $H^1$ est un Hilbert
%\\ \\
%Montrer que $H^1$ muni de $\Vert u \Vert = \sqrt{(\Vert u \Vert_2^2+ \Vert u^{\prime} \Vert_2^2)}$ est complet.
%\\ \\
{\bf Exercice 1} (+++) 
\\ 
Soient $E$ un espace vectoriel normé réel,
$f,f_1,...,f_k \in \Ep$ telles que
$$\bigcap_{i=1,k} \ker f_i \subset \ker f.$$
 On consid{è}re l'application
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{1} (x),...,f_{k} (x)).
\end{eqnarray*}
S{é}parer (au sens de Hahn-Banach) ImF de (1,0,...,0) dans ${\RR}^{k+1}$ et en d{é}duire que $\exists {({\lambda}_i)_i} \in {\RR}^{k}$ tel
que $g = \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}} {\lambda}_i f_{i}$.\\ \\
{\bf Exercice 2}
\\
Soit $E$ un espace vectoriel norm{é} réel et
soit $K$ une partie convexe de $E$ avec $0 \in K$. On pose
$$ \,\,\; K^{\star} = \{ f \in \Ep;\,\, \forall x \in K,\,\,\; <f,x> \leq 1 \}
\mbox{
 et}$$
$$ K^{\star \star}\!= \{y \in E;\,\, \forall f \in K^{\star},\,\,<f,y> \leq 1 \}.$$
Montrer que $ \overline {K} = K^{\star \star}$. \\ \\
{\bf Exercice:   Liste de Théorèmes importants}
\\
Démontrer le théorème de Banach-Steinhaus page 26 du poly, ainsi que le corollaire 2.5 qui suit.\\ 
Faire les exercices 10 (théorème de l'application ouverte),11 (théorème d'isomorphisme de Banach),12,13 (théorème du graphe fermé),14 et 17 page 30-31 du poly. On pourra s'aider du corrigé pour faire l'exercice 10.\\
L'exercice 9 donne un exemple où il n'est pas possible de séparer 2 fermés disjoints en dimension infinie. 
\newpage
{\bf Corrigé} \\ \\
{\bf Exercice 1} \\
ImF est convexe ferm{é} (car vectoriel de dimension finie) et $e_1=(1,0...0) \not\in $ImF car $\displaystyle{\bigcap_{i
\in I}} \ker f_i \subset \ker g$. D'apr{è}s le th{é}or{è}me d'Hahn-Banach version fermé-compact, $\exists h \in
(\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$ et $\exists \alpha \in \RR$ tels que $h(F(x)) < \alpha < h(e_1)$, $\forall x
\in E$. Comme ImF est vectoriel, on en d{é}duit que $h(F(x)) = 0$, $\forall x \in E$ et comme $h \in
(\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$, $\exists (\mu_0,...,\mu_k) \in {\RR}^{k+1} \setminus \{0\}$ tel que $h(x) =
\displaystyle{\sum_0^k} \mu_i x_i$ si $x=(x_0,...,x_k) \in {\RR}^{k+1}$. D'o{\`u} on obtient
$$ \mu_0 g(x) + \sum_1^{k} \mu_i f_i(x) = 0 < \alpha < \mu_0,\quad \forall x
\in E.$$ Donc $\mu_0 \not= 0$ et $g(x) = \sum (-\frac{\mu_i}{\mu_0}) f_i(x)$ pour tout $x$. (On peut d{é}montrer ce
r{é}sultat par une preuve purement alg{é}brique, par exemple un raisonnement par récurrence sur $k$.)\\ \\
{\bf Exercice 2} \\
Les ensembles $K^{\star}$ et $K^{\star\star}$ sont ferm{é}s comme intersection d'images r{é}ciproques
de ferm{é}s par des applications continues, donc de $K \subset K^{\star\star}$ on d{é}duit $\overline{K} \subset
K^{\star\star}$. Si $\overline{K} \not= K^{\star\star}$, $\exists y_0 \in K^{\star\star}\setminus \overline{K}$ et par
Hahn-Banach, $\exists f \in E^{\prime}$, $f\not\equiv 0$, $\exists \alpha \in \RR$ tels que
$$<f,x>\,< \alpha <\,<f,y_0>,\qquad \forall x \in K.$$
Comme $0 \in K$, on a $\alpha > 0$ et $\forall x \in K$, $<\frac{f}{\alpha},x> < 1$, donc $\frac{f}{\alpha} \in
K^{\star}$ or $y_0 \in K^{\star\star}$ donc $<\frac{f}{\alpha},y_0> \leq 1$, c'est absurde. D'o{\`u}
$K^{\star\star}=\overline{K}$.\\ \\
{\bf Exercice 10} \\ 
1) Soit $F_n = n
\overline{T(B(0,1))}$ alors $F_n$ est ferm{é} et $F = \cup_n F_n$ car $T$ est surjective. Par le lemme de Baire, on
sait qu'il existe $n_0$ tel que int($F_{n_0}$)$\not= \emptyset$ et donc int$\left( \overline{T(B(0,1))} \right) \not=
\emptyset$. Alors il existe $r>0$ et $y_0 \in F$ tels que $B(y_0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}$. Si $y_0 \in
\overline{T(B(0,1))}$ alors $- y_0$ aussi et $B(y_0,r) = y_0+B(0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}$ donc $B(0,r) \subset
\overline{T(B(0,1))}+\overline{T(B(0,1))} \subset 2\overline{T(B(0,1))}$ d'o{\`u} $B(0,\frac{r}{2}) \subset
\overline{T(B(0,1))}$
et $2C = \frac{r}{2}$ convient.\\
2) Soit $y \in B(0,C)$ fix{é}, on cherche $x \in B(0,1)$ tel que $y = Tx$. On sait que $B(0,C) \subset \frac{1}{2}
B(0,2C) \subset \overline{T(\frac{1}{2} B(0,1))}$ donc $\forall \ep>0$, $\exists z_{\ep}$, $\Vert z_{\ep} \Vert <
\frac{1}{2}$ tel que $\Vert y -Tz_{\ep} \Vert < \ep$.\\
On choisit $\ep = \frac{C}{2}$, cela nous donne un $z_1$ tel que $\Vert z_1 \Vert < \frac{1}{2}$ et $\Vert y -Tz_1
\Vert < \frac{C}{2}$. Alors $y -Tz_1 \in B(0, \frac{C}{2}) \subset \overline{T(\frac{1}{4} B(0,1))}$ et on recommence,
pour $\ep = \frac{C}{4}$, $\exists z_2$ tel que $\Vert z_2 \Vert < \frac{1}{4}$
et $\Vert y -Tz_1 -Tz_2 \Vert < \frac{C}{4}$, etc...
\newpage
On construit ainsi une suite $(z_n)_n$ telle que $\Vert z_n \Vert < \frac{1}{2^n}$ et $\Vert y - Tz_1
- ...- Tz_n \Vert < \frac{C}{2^n}$, $\forall n$.\\
La suite $x_n = z_1+...+z_n$ est de Cauchy dans $E$ donc converge vers un $x \in E$, comme $T$ est continue, $Tx_n
\rightarrow Tx$, donc $y = Tx$. Il reste
{à} voir que $\Vert x \Vert < 1$.\\
Par exemple, $\exists \ep>0$ tel que $\Vert z_1 \Vert \leq \frac{1}{2} - \ep$ alors
$$\Vert x_n \Vert \leq \sum_1^n \Vert z_k \Vert \leq \sum_1^n \frac{1}{2^k} -
\ep \leq 1 - \ep,$$ d'o{\`u} le r{é}sultat. \\ \\
{\bf Exercice 11} \\ 
 Par le th{é}or{è}me de l'application ouverte
(voir exercice 10), $\exists C>0$ tel que $B_F(0,C) \subset T(B_E(0,1))$. Comme $T$ est bijective,
$\forall x \in E$ tel que $\Vert Tx \Vert < C$ on a $\Vert x \Vert < 1$. Donc $\Vert x \Vert \leq \frac{1}{C} \Vert Tx
\Vert$ (regarder $y=\frac{Cx}{\Vert Tx \Vert+\varepsilon }$ avec $\varepsilon >0$) d'où $T^{-1}$ est continue. \\ \\
{\bf Exercice 12} \\ 
 On applique le r{é}sultat pr{é}c{é}dent {à} $id : E,\Vert
x \Vert_2 \rightarrow E, \Vert x \Vert_1$. \\ \\
{ \bf Exercice 13} Th{é}or{è}me du graphe ferm{é} \\ 
Sur $E$, on consid{è}re $\Vert x \Vert_1 = \Vert x \Vert_E$ et $\Vert x \Vert_2 = \Vert x \Vert_E + \Vert Tx \Vert_F$.
Si $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet, comme $\Vert x \Vert_1 \leq \Vert x \Vert_2$, $\forall x\in E$, en appliquant
l'exercice ci-dessus, on obtient l'{é}quivalence des normes $\Vert x \Vert_1$ et
$\Vert x \Vert_2$ et donc $T$ est continue.\\
V{é}rifions que $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet. Soit $(x_n)_n$ une suite de Cauchy pour $\Vert x \Vert_2$, alors
$(x_n)_n$ est de Cauchy pour $\Vert x \Vert_1$ donc elle converge vers un $x \in E$ au sens de la norme $\Vert x
\Vert_1$. La suite $(Tx_n)_n$ est aussi de Cauchy dans $F$ complet donc converge vers un certain $y \in F$. Or
$(x_n,Tx_n)_n \in G(T)$ ferm{é}, donc $y=Tx$ et $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet. \\ \\
{\bf Exercice 14} \\ 
 Onutilise le th{é}or{è}me du graphe ferm{é} (voir l'exercice 13). Montrons que
le graphe de $T$, not\'e $G(T)$, est ferm{é}. Soit $(x_n,Tx_n)_n \in G(T)$ telle que $x_n
\rightarrow x$ et $Tx_n \rightarrow y$, a-t'on $y=Tx$ ?\\
Soit $f \in F^{\prime}$, comme $foT \in E^{\prime}$, on a d'une part $f(Tx_n) \rightarrow f(Tx)$ et $f(Tx_n)
\rightarrow f(y)$ donc $f(Tx)=f(y)$ et ceci $\forall f \in F^{\prime}$, n{é}cessairement $Tx=y$ sinon par Hahn-Banach,
on pourrait s{é}parer strictement $Tx$ et $y$ par un hyperplan ferm{é}, c'est {à} dire il existerait $f \in
F^{\prime}$, $f \not\equiv 0$, telle que $f(Tx) \not= f(y)$. \\ \\
{\bf Exercice 17} \\ 
1) On note $a_x:y \mapsto a(x,y)$, $a_y:x \mapsto a(x,y)$ et $B_E =
\overline{B_E(0,1)}$.
Par hypothèse, la famille $\{ a_x, x \in B_E \}$ vérifie : \\
$\forall x \in B_E$, $a_x \in {\cal L}(F,G)$ et $\forall y \in F$, $\exists M_y > 0$, $\forall x \in B_E$, $\Vert
a_x(y) \Vert \leq M_y$. Donc $\sup_{x \in B_E} \Vert a_x(y) \Vert \leq M_y < \infty$, $\forall y \in F$. On peut donc
appliquer le théorème de Banach-Steinhaus et $\exists M > 0$ tel que $\forall x \in B_E$, $\forall y \in F$, $\Vert
a_x(y) \Vert \leq M \Vert y \Vert$. D'o\`u la continuité de $a$.\\
2) Comme $\vert a(p,q) \vert \leq \Vert p \Vert_{\infty} \Vert q \Vert_{1}$ ou $\Vert q
\Vert_{\infty} \Vert p \Vert_{1}$, $a$ est séparement continue.\\
Si $a$ est continue, $\exists M > 0$, $\forall p,q$, $\vert \int_0^1 p(t)q(t) dt \vert \leq M\;\Vert p \Vert_{1} \Vert
q \Vert_{1}$. En choisissant par exemple dans cette inégalité, $p(x) = x^n$ et $q = p^{\prime}$, on obtient
$\frac{1}{2} \leq \frac{M}{n+1}$, ce qui est absurde pour $n$ assez grand.\\ \\
{\bf Exercice 9} Exemple où Hahn-Banach ne s'applique pas en dimension infinie\\ 
1) On d{é}finit les deux formes lin{é}aires continues
suivantes
\[ \begin{array}{rclcrcl}
f_{2n} : {\ell}^1 &\rightarrow& \RR &\,\,\mbox{et}\,\,& g_{2n} : {\ell}^1
&\rightarrow& \RR \\
            x      &\mapsto& x_{2n}  & &                               x &\mapsto&
x_{2n} - 2^{-n}x_{2n-1}.
\end{array} \]
Alors $A_0 = \cap_n f_{2n}^{-1}(\{0\})$ et $B = \cap_n g_{2n}^{-1}(\{0\})$ sont
ferm{é}s comme intersection de ferm{é}s.\\
Soit $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o{\`u} ${\delta}_{ni} = 1$ si i =n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon, alors si $F_k =
\mbox{vect}\{e^1,...,e^k\}$ et si $F=\cup_k F_k$, on a $\overline{F} = {\ell}^1$. Donc pour montrer que ${\ell}^1 =
\overline{A_0+B}$, il suffit de montrer que $\forall k$, $F_k \subset A_0+B$.\\
Soit $x \in F_k$, on d{é}finit $a,b$ de la fa{\c c}on suivante,
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
b_{2n} = x_{2n} & b_{2n-1} = 2^nx_{2n}\\
a_{2n-1} = x_{2n-1}-2^nx_{2n} & a_{2n} = 0
\end{array} \right. \]
alors $x = a+b$ et comme $x_n = 0$ si $n>k$, $a,b \in {\ell}^1$ et $(a,b) \in A_0
\times B$. Donc ${\ell}^1 = \overline{A_0+B}$.\\
2) Si $c = a+b$ alors n{é}cessairement $a_{2n} = 0$, $b_{2n} = 2^{-n}$, $b_{2n-1} = 1$ et $a_{2n-1} = -1$ donc $a,b
\not\in {\ell}^1$ et $c \not\in A_0+B$. Il est clair
alors que $A \cap B = \emptyset$.\\
Supposons qu'il existe $f \in ({\ell}^1)^{\prime}$, $f \not\equiv 0$ et $\alpha \in \RR$ tels que
$$<f,a>\,\leq \alpha \leq \,<f,b>,\quad \forall a \in A,\,\,\forall b \in B.$$
Comme $B$ est vectoriel, n{é}cessairement $<f,b> = 0$, $\forall b \in B$. De m{\^e}me, de $<f,a_0> \leq \alpha +f(c)$,
$\forall a_0 \in A_0$, on en d{é}duit que $<f,a_0> = 0$, $\forall a_0 \in A_0$. Donc $f \equiv 0$ sur $A_0+B$ dense
dans ${\ell}^1$, par continuit{é} on en conclut que $f$ est identiquement nulle, ce qui est contraire {à}
l'hypoth{è}se. On ne peut donc pas s{é}parer $A$ et $B$. 
 \end{document}