\documentclass[11pt,a4paper]{article}
%\documentclass[11pt,a4paper]{book}
\usepackage[french]{babel}
%%%ACCENTSCIDESSOUS%%%%
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{times}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\vfi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\psieps}{\psi_{\varepsilon}}
\newcommand{\psia}{\psi_{a}}
\newcommand{\grad}{\nabla}
\newcommand{\Ep}{E^{\prime}}
\newcommand{\vois}{{\cal V}(x)}
\newcommand{\lun}{{\ell}^1}
\newcommand{\linf}{{\ell}^{\infty}}
\newcommand{\Epp}{E^{\prime \prime}}
\newcommand{\Linf}{L^{\infty}}
\newcommand{\Di}{{\cal D}^{\prime}}
\newcommand{\DDK}{{{\cal C}_{c,K}^{\infty}}}
\newcommand{\cinf}{{\cal C}^{\infty}}
\newcommand{\ff}{\widehat{f}}
\newcommand{\DD}{{\cal C}_c^{\infty}}
\newcommand{\SLS}{{\cal S}}
\newcommand{\Lun}{L_{loc}^1}
\newcommand{\feps}{f_{\varepsilon}}
\newcommand{\Ld}{L^2(I)}
\newcommand{\Hun}{H^1(I)}
\newcommand{\Huno}{H^1(0,1)}
\newcommand{\Hnul}{H_0^1(I)}
\newcommand{\Hnulo}{H_0^1(0,1)}
\newcommand{\Abar}{\overline{A}}
\def\ooo {{\"o}}
%\usepackage{A4w}
%\newcommand{\R}{{\bf R}}
%\newcommand{\C01}{{\cal C}[0,1]}
\newtheorem{lem}{Lemma}
\newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{theor}{Theorem}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{defi}{D\'efinition}
\newtheorem{rem}{Remarque}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{Exer}{Exercice}  %Exercice
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !
\def\dexo{\begin{exo}\rm}    %sans
\def\fexo{\end{exo}}        %italique !
% ensembles Q R N Z C
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\II{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{I}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

% Numerotation des pages / la derniere
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}%
        {\thepage \slash \pageref{LastPage}}
\renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot}
\makeatother

% Suppression de l'indentation
\setlength{\parindent}{0pt}


\begin{document}

{\raggedright  Analyse Fonctionnelle\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD Théorèmes de Banach - Topologies faibles\\}

\vspace{0.5cm}
\setcounter{exo}{0} 
%***************************  1
\dexo Conséquences du Théorème de Banach-Steinhaus\hfill \newline 
1) Convergence simple d'opérateurs linéaires : Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_n)$ une suite d'opérateurs linéaires et continus de $E$ dans
$F$, tels que pour tout $x\in E,$ $ T_nx$ converge quand $n\to \infty$ vers une limite notée $Tx$.\\
Montrer que
$$\sup_n ||T_n||_{{\cal L}(E,F)} <+\infty,$$
$$ T\in {\cal L}(E, F) \;\hbox{ et }\; ||T||_{{\cal L}(E,F)}\leq
\lim\inf_{n\to +\infty}||T_n||_{{\cal L}(E,F)}.$$
2) Soit $H$ un espace de Hilbert et soit $x_n$ une suite convergeant faiblement vers un élément $x$.  Montrer que 
$x_n$ est une suite bornée dans $H$ et que 
$$||x||\leq \lim\inf_n ||x_n||.$$
Si de plus $||x_n||\to ||x||$, vérifier que $x_n\to x$ fortement.\\
3) Borné d'un espace de Banach (caractérisation duale):
Soit $G$ un espace vectoriel normé, $B$ un sous-ensemble de $G$.  On suppose que pour tout
$f\in G'$, $f(B)=\{f(x), \; x\in B\}$ est borné.  Montrer que $B$ est borné.\\
Ce théorème nous dit qu'un ensemble est borné si et seulement si ses projections sur des axes de coordonnées
arbitraires sont bornées.\\
4) Application bilinéaire :\\a) Soient $E, F, G$ trois espaces de Banach. Soit $a : E\times F \rightarrow G$ une application
bilinéaire. On suppose que $a$ est séparement continue c'est-à-dire,
$$\forall x \in E, \quad y \in F \mapsto a(x,y) \mbox{  est continue et}$$
$$\forall y \in F, \quad x \in E \mapsto a(x,y) \mbox{  est continue.}$$
Montrer que $a$ est continue sur $E \times F$ (c'est-\`a-dire $\exists M >0$ tel que $\forall (x,y) \in E \times F$,
$\Vert a(x,y) \Vert_G \leq M\,\Vert x \Vert_E \Vert y
\Vert_F$).\\ \\
b) Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales à une variable et à coefficients réels. On munit $E$ de la
norme
$$\Vert p \Vert_{1} = \int_0^1 \vert p(t) \vert dt.$$
Soit $a : E\times E \rightarrow \RR$ définie par $a(p,q) = \int_0^1 p(t)q(t) dt$. Montrer que $a$ est séparement
continue mais non continue sur $E\times E$.
\fexo 
%***************************   2
\dexo \hfill \newline 
Soit $E$ un espace vectoriel norm{é} et
soit $K$ une partie convexe de $E$ avec $0 \in K$. On pose
$$ \,\,\; K^{\star} = \{ f \in \Ep;\,\, \forall x \in K,\,\,\; <f,x> \leq 1 \}
\mbox{
 et}$$
$$ K^{\star \star}\!= \{y \in E;\,\, \forall f \in K^{\star},\,\,<f,y> \leq 1 \}.$$
Montrer que $ \overline {K} = K^{\star \star}$.
\fexo
%***************************   3
\dexo
\hfill \newline
L'objet de
cet exercice est de montrer qu'en dimension $\infty$, on ne peut pas
s{é}parer deux convexes ferm{é}s.\\
On note $ {\ell}^1 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } \displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} \vert
x_n \vert < \infty \}$ qui muni de la norme $ {\Vert x \Vert}_1 =
\displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} \vert x_n \vert$ est un espace de Banach.\\
On consid{è}re les ensembles
\[ \begin{array}{rcl}
A_0 &=& \{ x=(x_n)_n \in {\ell}^1 :\,\,\forall n \geq 1,\,\,x_{2n} = 0 \}\,\,\,\mbox{et
}\\
B &=& \{ x=(x_n)_n \in {\ell}^1 :\,\,\forall n \geq 1,\,\,x_{2n} = 2^{-n}\,x_{2n-1} \}.
\end{array} \]
1) V{é}rifier que $A_0$ et $B$ sont des sous-espaces ferm{é}s de ${\ell}^1$ et que
${\ell}^1 = \overline{A_0+B}$.\\
2) Soit $c=(c_n)_n \in {\ell}^1$ tel que $\forall n \geq 1$, $c_{2n-1} = 0$ et $c_{2n} = 2^{-n}$. V{é}rifier que $c
\not\in A_0+B$ et que si $A = A_0 - c =\{a-c,\,a \in A_0 \}$, on a $A \cap B = \emptyset$. Montrer que $A$ et $B$ ne
peuvent pas {\^e}tre s{é}par{é}s au sens large.
\fexo
%************************       4
\dexo Variante de la d{é}finition de la topologie faible\hfill \newline 
Dans tout ce qui suit $E$ d{é}signera un espace de Banach réel. Pour $f \in E^{\prime}$, on d{é}finit $p_f(x) = \vert
f(x) \vert$, c'est bien une semi-norme sur $E$. On note ${\cal P}={(p_f)}_{f \in E^{\prime}}$. Soit $p \in \cal P$, on
appelle p-boule ouverte de centre $x \in E$ et de rayon $r$ l'ensemble $B(x,r)$ des points $y \in E$ tels que $p(x-y) <
r$. Enfin on appelle $\cal P$-boule ouverte de centre $x$ toute
intersection finie de $p_i$-boules ouvertes de centre $x$.\\
D{é}finition : Une partie $U$ de $E$ est ouverte si ou bien $U = \emptyset$, ou bien $\forall x \in U$, il existe une $\cal
P$-boule ouverte de centre $x$ contenue dans $U$. On peut v{é}rifier
facilement que l'on d{é}finit bien ainsi une topologie sur $E$.\\
On note $(E,\cal P)$ l'espace $E$ muni de cette topologie. La topologie $(E,{\cal P})$ s'appelle la topologie faible sur
$E$ (par "opposition" {à} la topologie de la norme qui est dite topologie forte). Elle est souvent not{é}e $\sigma
(E,E^{\prime})$ ou bien $E_w$ dans la litt{é}rature.\\
Pour simplifier les notations, on pose $E^{\prime}=(f_i)_{i \in I}$ et on notera P.F.I l'ensemble des parties finies de
I. Par d{é}finition de la topologie associ{é}e {à}
une famille de semi-normes, les ensembles $V(x,J,\ep) = \{ y \in E, \vert <f_i,x-y> \vert < \ep, \forall i \in J \}$
o{\`u} $J \in P.F.I$ et $\ep > 0$ constituent une base de voisinages (ouverts) de $x$ dans $E$. 
\hfill \newline
1) Montrer que si $\forall x \not= 0$, $\exists p$ semi-norme telle que $p(x) \not= 0$ alors l'espace $(E,\cal P)$ est
s{é}par{é}. V{é}rifier que la topologie faible est s{é}par{é}e.\\
2) Montrer que si la dimension de $E$ est finie, $\sigma(E,E^{\prime})$ est {é}quivalente {à} $(E,\Vert \;\Vert)$ (pour
cela montrer que toute boule $B(x,r)$ contient un $V(x,J,\ep)$).
\fexo 
%*************************      5
\dexo \hfill \newline 
Soit $E$ un espace vectoriel normé tel que $dimE = + \infty$. On se propose de montrer que la topologie faible n'est
pas m{é}trisable. Pour cela on raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe une distance
 $d$ sur $E$ dont la topologie est {é}quivalente {à} $\sigma(E,E^{\prime})$.\\
1) Montrer qu'il existe une suite $(f_n)_{n \geq 1}$ d'{é}l{é}ments de $E^{\prime}$ telle
que \\
$\forall k \in \NN^{\star},\quad \exists I_k \in P.F.\NN^{\star},\quad \exists {\ep}_k > 0$ tels que
$$ \bigcap_{i \in I_k} \{x \in E : \vert <f_i,x> \vert < {\ep}_k \} \subset
B_d(0, \frac{1}{k}),$$
o{\`u} $B_d(0,\frac{1}{k}) = \{x \in E : d(0,x) < \frac{1}{k} \}.$\\
2) Soient $g \in E^{\prime}$ et $V = \{ x \in E :\, \vert <g,x> \vert < 1 \}$. Montrer que $\exists I \in
P.F.\NN^{\star}$ tel que $$\bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset V,\mbox{ puis que } \bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset
\ker g.$$
On note $I = \{ n_1,n_2,...,n_k \}$.\\
3) On consid{è}re
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{n_1} (x),...,f_{n_k} (x)).
\end{eqnarray*}
S{é}parer ImF de (1,0,...,0) dans ${\RR}^{k+1}$. En d{é}duire que $\exists {({\lambda}_i)_i} \in {\RR}^{k}$ tel
que $g = \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}} {\lambda}_i f_{n_i}$.\\
4) Soit $F_n = \mbox{vect} \{ f_1,...,f_n \}$. Montrer que $\exists n_0 \in \NN^{\star}$ tel que $E^{\prime} =
F_{n_0}$.
(remarquer que $E^{\prime} = \bigcup_{n} F_n$).\\
5) Conclure. 
 \fexo 
%*****************************   6
\dexo \hfill \newline 
Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T : E \rightarrow F$ {\underline{linéaire}}.\\
1) Montrer l'{é}quivalence des propri{é}t{é}s suivantes:
$$
\begin{array}{clll}
(1) &  T : E     & \longrightarrow & F \mbox{  continue.} \\
(2) &  T : E_w   & \longrightarrow & F_w \mbox{  continue.} \\
(3) &  T : E     & \longrightarrow & F_w \mbox{  continue.}
\end{array}
$$
2) Montrer que si $T : E_w \longrightarrow F$  est lin{é}aire continue alors $\dim Im(T) < \infty.$ 
 \fexo 
%*******************************   7
\dexo \hfill \newline
Soit $E = {\ell}^{\infty}$ que l'on munit de la norme $ {\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_{n
\geq 1} \vert x_n \vert.$\\
Trouver une suite ${(f_n)}_n$ de $\Ep$ telle que $\Vert f_n \Vert_{\Ep} = 1$ et ${(f_n)}_n$ ne poss{è}de aucune
sous-suite convergente pour la topologie faible $\star$. Y-a-t-il contradiction avec le fait que $(B_{\Ep},w\star)$ est
compact ? Que pouvez-vous en conclure sur E ?
 \fexo 
%*******************         8
\dexo Opérateur compact et cv faible\hfill
\newline 
Soient E et F deux espaces de Banach, on note $B_E = \{ x \in E : \Vert x \Vert \leq 1 \}$. Soit $T : E
\longrightarrow F$ une application lin{é}aire. On dit que T est compacte si $\overline{T(B_E)}$
est compact dans F (pour la norme).\\
1) V{é}rifier qu'un compact dans un espace vectoriel norm{é} est born{é}.\\
2) Montrer que si T est compacte alors T est continue.\\
3) Montrer que si T est compacte, T v{é}rifie la propriété ($\star$) suivante,
$$(\star)\qquad [x_n \rightharpoonup x \mbox{ dans }E_w \Longrightarrow Tx_n
\longrightarrow Tx \mbox{ dans }F]$$ 
4) R{é}ciproquement : si de plus E est r{é}flexif, montrer que si $T$ v{é}rifie la
propriété ($\star$) alors $T$ est
compacte.\\
\fexo 
%
%******************         9 
%
\dexo \hfill \newline 
Soit $E$ un
espace r{é}flexif et soit $f \in \Ep$, montrer que $\Vert f
\Vert_{\Ep}$ est atteinte.\\
(C'est un crit{è}re simple pour montrer qu'un espace n'est pas r{é}flexif.)
 \fexo 
%**********************                 10
\dexo \hfill \newline
Soit $E$ un e.v.n. et $E'$ son dual. On note $<f,\;x>=f(x)$ et pour $A\subset E$ et $B\subset E'$,
$A^\perp=\{f\in E',\; <f,\;x>=0,\; \forall x\in A\}$,  $B^\perp =\{x\in E,\; <f,\;x>=0,\;\forall f\in B.\}.$ Montrer
que
$$A^{\perp\perp}=\overline{vect(A)}$$ et que, si $E$ est réflexif,
$$B^{\perp\perp}=\overline{vect(B)}.$$ 
\fexo 
\newpage
{\bf Corrigé:} \\ \\
%
%Rappel : L'isométrie $E \rightarrow \Epp$ \\On d{é}finit $J : E \longrightarrow \Epp$ par $J(x)=J_x$ définie par
%$${<J_x,f>}_{\Epp,\Ep} = {<f,x>}_{\Ep,E} \quad \forall x \in E,\,\,\forall f \in
%\Ep.$$ On a $\Vert J_x \Vert = \sup_{\Vert f \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \Vert x \Vert$ par Hahn-Banach,
%donc J est lin{é}aire isom{é}trique. \\
%(On peut donc identifier E et J(E) quand on le souhaite.)\\
 \dexer  
\hfill
\newline
1) La première relation est une conséquence directe du théorème de Banach-Steinhaus.  Comme
$||T_nx||\leq ||T_n||||x||$, on obtient par passage à la limite inférieure, $$||Tx||\leq (\lim\inf_{n\to
\infty}||T_n||)||x||.$$
2) Par le théorème de Riesz, nous avons $||x_n||_H=||x_n||_{\mathcal L(H,\RR)}$ et on peut  donc
appliquer 1). Supposons  maitenant que $||x_n||\to  ||x||.$
 On a $||x_n-x||^2=||x_n||^2 + ||x||^2-2(x_n,x).$ Comme $x_n$ tend vers $x$
faiblement, $(x_n,x)\to ||x||^2$ et on déduit que  $||x_n-x||^2\to 0$.\\
3) On applique le théorème de Banach-Steinhaus avec $E=G'$, $F=\RR$, $I=B$.  Pour $b\in B$ et
$f\in E=G'$, on pose $J_b(f) = f(b).$  On a donc par hypothèse
$$\forall f \in E,\; \sup_{b\in B} |J_b(f)|<+\infty .$$
On en déduit qu'il  existe $c>0$ tel que
$$\forall b\in B,\; \forall f\in E, \; ||J_b(f)||\leq c||f||_{G'}, \hbox{ soit }$$
$$\forall f\in G', |f(b)|\leq c||f||_{G'}.$$
Comme par le corollaire 11.2 p 139, on a $||b||= ||J_b||, $ on conclut que $||b||\leq c$. $B$ est donc
borné.\\
4) a) On note $a_x:y \mapsto a(x,y)$, $a_y:x \mapsto a(x,y)$ et $B_E =
\overline{B_E(0,1)}$.
Par hypothèse, la famille $\{ a_x, x \in B_E \}$ vérifie : \\
$\forall x \in B_E$, $a_x \in {\cal L}(F,G)$ et $\forall y \in F$, $\exists M_y > 0$, $\forall x \in B_E$, $\Vert
a_x(y) \Vert \leq M_y$. Donc $\sup_{x \in B_E} \Vert a_x(y) \Vert \leq M_y < \infty$, $\forall y \in F$. On peut donc
appliquer le théorème de Banach-Steinhaus et $\exists M > 0$ tel que $\forall x \in B_E$, $\forall y \in F$, $\Vert
a_x(y) \Vert \leq M \Vert y \Vert$. D'o\`u la continuité de $a$.\\
b) Comme $\vert a(p,q) \vert \leq \Vert p \Vert_{\infty} \Vert q \Vert_{1}$ ou $\Vert q
\Vert_{\infty} \Vert p \Vert_{1}$, $a$ est séparement continue.\\
Si $a$ est continue, $\exists M > 0$, $\forall p,q$, $\vert \int_0^1 p(t)q(t) dt \vert \leq M\;\Vert p \Vert_{1} \Vert
q \Vert_{1}$. En choisissant par exemple dans cette inégalité, $p(x) = x^n$ et $q = p^{\prime}$, on obtient
$\frac{1}{2} \leq \frac{M}{n+1}$, ce qui est absurde pour $n$ assez grand.
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
Les ensembles $K^{\star}$ et $K^{\star\star}$ sont ferm{é}s comme intersection d'images r{é}ciproques
de ferm{é}s par des applications continues, donc de $K \subset K^{\star\star}$ on d{é}duit $\overline{K} \subset
K^{\star\star}$. Si $\overline{K} \not= K^{\star\star}$, $\exists y_0 \in K^{\star\star}\setminus \overline{K}$ et par
Hahn-Banach, $\exists f \in E^{\prime}$, $f\not\equiv 0$, $\exists \alpha \in \RR$ tels que
$$<f,x>\,< \alpha <\,<f,y_0>,\qquad \forall x \in K.$$
Comme $0 \in K$, on a $\alpha > 0$ et $\forall x \in K$, $<\frac{f}{\alpha},x> < 1$, donc $\frac{f}{\alpha} \in
K^{\star}$ or $y_0 \in K^{\star\star}$ donc $<\frac{f}{\alpha},y_0> \leq 1$, c'est absurde. D'o{\`u}
$K^{\star\star}=\overline{K}$. 
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
1) On d{é}finit les deux formes lin{é}aires continues
suivantes
\[ \begin{array}{rclcrcl}
f_{2n} : {\ell}^1 &\rightarrow& \RR &\,\,\mbox{et}\,\,& g_{2n} : {\ell}^1
&\rightarrow& \RR \\
            x      &\mapsto& x_{2n}  & &                               x &\mapsto&
x_{2n} - 2^{-n}x_{2n-1}.
\end{array} \]
Alors $A_0 = \cap_n f_{2n}^{-1}(\{0\})$ et $B = \cap_n g_{2n}^{-1}(\{0\})$ sont
ferm{é}s comme intersection de ferm{é}s.\\
Soit $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o{\`u} ${\delta}_{ni} = 1$ si i =n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon, alors si $F_k =
\mbox{vect}\{e^1,...,e^k\}$ et si $F=\cup_k F_k$, on a $\overline{F} = {\ell}^1$. Donc pour montrer que ${\ell}^1 =
\overline{A_0+B}$, il suffit de montrer que $\forall k$, $F_k \subset A_0+B$.\\
Soit $x \in F_k$, on d{é}finit $a,b$ de la fa{\c c}on suivante,
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
b_{2n} = x_{2n} & b_{2n-1} = 2^nx_{2n}\\
a_{2n-1} = x_{2n-1}-2^nx_{2n} & a_{2n} = 0
\end{array} \right. \]
alors $x = a+b$ et comme $x_n = 0$ si $n>k$, $a,b \in {\ell}^1$ et $(a,b) \in A_0
\times B$. Donc ${\ell}^1 = \overline{A_0+B}$.\\
2) Si $c = a+b$ alors n{é}cessairement $a_{2n} = 0$, $b_{2n} = 2^{-n}$, $b_{2n-1} = 1$ et $a_{2n-1} = -1$ donc $a,b
\not\in {\ell}^1$ et $c \not\in A_0+B$. Il est clair
alors que $A \cap B = \emptyset$.\\
Supposons qu'il existe $f \in ({\ell}^1)^{\prime}$, $f \not\equiv 0$ et $\alpha \in \RR$ tels que
$$<f,a>\,\leq \alpha \leq \,<f,b>,\quad \forall a \in A,\,\,\forall b \in B.$$
Comme $B$ est vectoriel, n{é}cessairement $<f,b> = 0$, $\forall b \in B$. De m{\^e}me, de $<f,a_0> \leq \alpha +f(c)$,
$\forall a_0 \in A_0$, on en d{é}duit que $<f,a_0> = 0$, $\forall a_0 \in A_0$. Donc $f \equiv 0$ sur $A_0+B$ dense
dans ${\ell}^1$, par continuit{é} on en conclut que $f$ est identiquement nulle, ce qui est contraire {à}
l'hypoth{è}se. On ne peut donc pas s{é}parer $A$ et $B$.
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
1) Soit donc $x \not= 0$, et $p$ telle que $p(x) \not= 0$ alors si $r= \frac{1}{2} p(x)$ on a $B(x,r) \cap
B(0,r) = \emptyset$ et on s{é}pare $0$ et $x$. Si $x \not= y$, on peut {é}crire $y = x+z$ avec $z \not= 0$ et on a
$B(x,r) \cap B(x+z,r) = \emptyset$.\\
Utilisons ce crit{è}re, soit donc $x \not= 0$, par Hahn-Banach, $\exists f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$ telle que
$f(x) > 0 =f(0)$ donc $p_f (x) \not= 0$
et la topologie faible est s{é}par{é}e.\\
%2) Soit $U$ un ouvert faible non vide, pour montrer qu'il est un ouvert fort, il faut montrer que $\forall x \in U$,
%$\exists r > 0$ tel que $B(x,r) \subset U$. Soit donc $x_0 \in U$ par hypoth{è}se, $\exists \ep > 0$ et $\exists J \in
%P.F.I.$ tels que $V(x_0,J,\ep) \subset U$. Cherchons $r$ tel que $B(x_0,r) \subset V(x_0,J,\ep)$. On a
%$$\vert < f_i,x-x_0> \vert < \Vert f_i \Vert\, \Vert x-x_0 \Vert \leq (\sup_J
%\Vert f_i \Vert) \Vert x-x_0 \Vert.$$ Cela sugg{è}re de choisir $r< \frac{\ep}{\sup_J \Vert f_i \Vert}$, ce qui donne
%le r{é}sultat. (Si $\forall i$, $f_i \equiv 0$, alors $E=V(x_0,J,\ep)$ est bien
%un ouvert fort.)\\
%3) Si $f \in (E_w)^{\prime}$ alors $\forall U$ ouvert de $\RR$, $f^{-1}(U)$ est
%un ouvert faible et la question pr{é}c{è}dente montre que $f \in E^{\prime}$.\\
%Si $f \in E^{\prime}$, soit $x_0 \in E$, montrons que $f$ est continue faiblement en $x_0$, c'est {à} dire que $\forall
%\ep > 0$, $\exists V \in {\cal V}_{\omega}(x_0)$ tel que $x \in V$ $\Longrightarrow$ $\vert f(x)-f(x_0)\vert <
%\ep$. Il est clair que $V=V(x_0,f,\ep)$ convient.\\
2) On suppose dim$E < \infty$. On sait déjà qu'un ouvert faible est un ouvert fort, il reste {à} montrer que $U$ ouvert fort est un ouvert faible.
Soit $x_0 \in U$ suppos{é} non vide, alors $\exists r > 0$ tel que $B(x_0,r) \subset U$. On va montrer que $\exists
\ep>0$ et $\exists J \in P.F.I.$ tels que $V(x_0,J,\ep) \subset B(x_0,r)$.\\
Soit $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$ telle que $\forall i$  $\Vert e_i \Vert = 1$. Tout $x$ de $E$ s'{é}crit $x =
\displaystyle{\sum_1^n} x_ie_i$, soit $f_i : E \rightarrow \RR$ d{é}finie par $f(x) =x_i$ alors $f_i \in E^{\prime}$ et
on a
$$\Vert x - x_0 \Vert \leq \sum_1^n \vert x_i - x_{0i} \vert = \sum_1^n \vert <
f_i, x-x_0 > \vert.$$ D'o{\`u} si $x \in V=V(x_0,\{1,...,n\},\ep)$ alors $\Vert x - x_0 \Vert < n\ep$, on choisit donc
$\ep \leq \frac{r}{n}$ et on a bien $V \subset B(x_0,r)$.
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
On suppose  que $dimE = + \infty$
et que les applications
\begin{eqnarray*}
id :&(E,\sigma(E,E^{\prime}))& \rightarrow \, (E,d),\\
id :&(E,d)& \rightarrow \, (E,\sigma(E,E^{\prime}))
\end{eqnarray*}
sont continues.\\
1) $\forall k \in \NN^{\star}$, $B_d(0,\frac{1}{k})$ est un voisinage de $0$ pour d, donc $\exists V(0,I_k,\ep_k)
\subset B_d(0,\frac{1}{k})$ o{\`u} $\ep_k > 0$ et $I_k$ est un ensemble fini d'indices. L'ensemble $\{ f_j, j \in I_k,
k
\in \NN^{\star} \}$ est d{é}nombrable et constitue la suite cherch{é}e.\\
2) L'ensemble $V=V(0,g,1)$ est un voisinage de $0$ pour la topologie faible, par hypoth{è}se $\exists k_0 \in
\NN^{\star}$ tel que $B_d(0,\frac{1}{k_0}) \subset V$. Alors d'apr{è}s 1),
$$ \bigcap_{i \in I_{k_0}} \{x \in E : \vert < f_i,x > \vert < \ep_{k_0} \}
\subset V.$$ On pose $I=I_{k_0}$ alors $\displaystyle{\bigcap_{i \in I}} \ker f_i \subset V$. Et $\vert < g,x > \vert <
1$ sur un espace vectoriel, donc n{é}cessairement $g(x) = 0$, $\forall x \in \displaystyle{\bigcap_{i \in I}} \ker
f_i$, par suite $\displaystyle{\bigcap_{i \in I}} \ker
f_i \subset \ker g$.\\
3) Pour simplifier les notations, on notera $I = \{ 1,2,...,k \}$, et soit
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{1} (x),...,f_{k} (x)).
\end{eqnarray*}
ImF est convexe ferm{é} (car vectoriel de dimension finie) et $e_1=(1,0...0) \not\in $ImF car $\displaystyle{\bigcap_{i
\in I}} \ker f_i \subset \ker g$. D'apr{è}s le th{é}or{è}me d'Hahn-Banach version fermé-compact, $\exists h \in
(\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$ et $\exists \alpha \in \RR$ tels que $h(F(x)) < \alpha < h(e_1)$, $\forall x
\in E$. Comme ImF est vectoriel, on en d{é}duit que $h(F(x)) = 0$, $\forall x \in E$ et comme $h \in
(\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$, $\exists (\mu_0,...,\mu_k) \in {\RR}^{k+1} \setminus \{0\}$ tel que $h(x) =
\displaystyle{\sum_0^k} \mu_i x_i$ si $x=(x_0,...,x_k) \in {\RR}^{k+1}$. D'o{\`u} on obtient
$$ \mu_0 g(x) + \sum_1^{k} \mu_i f_i(x) = 0 < \alpha < \mu_0,\quad \forall x
\in E.$$ Donc $\mu_0 \not= 0$ et $g(x) = \sum (-\frac{\mu_i}{\mu_0}) f_i(x)$ pour tout $x$. (On peut d{é}montrer ce
r{é}sultat par une preuve purement alg{é}brique,
par exemple un raisonnement par récurrence sur $k$.)\\
4) Soit $F_n = \mbox{vect} \{ f_1,...,f_n \}$, d'apr{è}s 2) et 3), $\forall g \in E^{\prime}$, $\exists N$ tel que $g
\in F_N$ donc $E^{\prime} = \bigcup F_n$. Comme $E^{\prime}$ est complet, $F_n$ ferm{é} (car dim$F_n < \infty$), on
peut appliquer le lemme de Baire et $\exists n_0$ tel que int$(F_{n_0}) \not= \emptyset$. Si $f \in \mbox{int}F_{n_0}$
alors $\exists r>0$ tel que $B(f,r) \subset F_{n_0}$ par suite $E^{\prime}=F_{n_0}$ car $F_{n_0}$ est vectoriel et donc
dim$E^{\prime} \leq n_0$.\\
5) On en conclut que dim$E < \infty$, en effet soit
\begin{eqnarray*}
\Phi :& E &\rightarrow \RR^{n_0}\\
      & x &\mapsto (f_1(x),...,f_{n_0}(x)).
\end{eqnarray*}
$\Phi$ est lin{é}aire et injective (car $\Phi(x)=0$ $\Longrightarrow$ $\forall f \in E^{\prime}$, $f(x)=0$
$\Longrightarrow$ $x=0$ par Hahn-Banach) donc dim$E \leq n_0$ ce qui est contraire {à} l'hypoth{è}se. 
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
1) On montre que $(1) \Longrightarrow (2) \Longrightarrow (3) \Longrightarrow (1)$. Pour
simplifier les notations on montrera que $T$ est continue en $0$ (ce qui implique la continuit{é} de $T$
 partout).\\
$(1) \Longrightarrow (2)$ :\\
$\forall \Omega \in {\cal V}_{w}(0)$, existe-t'il $\omega \in {\cal V}_{w}(0)$ tel que $x \in \omega$ $\Longrightarrow$
$Tx \in \Omega$ ? On peut toujours choisir $\Omega = \{ y \in F : \vert < f_i,y > \vert < \ep, \forall i=1,...,n \}$
o{\`u} $f_i \in F^{\prime}$ et $\ep > 0$. Maintenant,
\begin{eqnarray*}
Tx \in \Omega &\Longleftrightarrow& \vert < f_i,Tx> \vert < \ep,\,\forall
i=1,...,n,\\
 &\Longleftrightarrow& \vert < f_ioT,x> \vert < \ep,\,\forall i=1,...,n.
 \end{eqnarray*}
Si $\omega = \{x \in E : \vert < f_ioT,x> \vert < \ep,\,\forall i=1,...,n \}$ o{\`u} $f_ioT \in E^{\prime}$, alors
$\omega$ est bien un voisinage faible de $0$
donc $(2)$.\\
$(2) \Longrightarrow (3)$ :\\
$\forall \Omega \in {\cal V}_{w}(0)$, existe-t'il $r>0$ tel que $x \in B(x,r)
\Longrightarrow Tx \in \Omega$ ?\\
On sait par hypoth{è}se qu'il existe un voisinage faible de $0$, $\omega$, tel que $x \in \omega \Longrightarrow Tx \in
\Omega$ et on sait qu'un ouvert faible est un ouvert fort donc $(3)$.\\
$(3) \Longrightarrow (1)$ :\\
On utilise le th{é}or{è}me du graphe ferm{é}, soit
$(x_n,y_n)_n \in G(T)=\{(x,y) \in E\times F, y=Tx \}$ telle que $x_n \rightarrow x$ et $y_n=Tx_n
\rightarrow y$, a-t'on $y=Tx$ ? \\
Comme $T$ est continue de $E$ fort dans $F$ faible, $Tx_n \rightharpoonup Tx$ et d'autre part la convergence forte
impliquant la convergence faible $Tx_n \rightharpoonup y$, donc n{é}cessairement $y=Tx$. D'o{\`u} le graphe de $T$ est
ferm{é} et $T$ est continue (pour les topologies fortes).\\
2) Soit $T : E_w \longrightarrow F$ lin{é}aire continue. La continuit{é} en $0$ implique que $\exists \ep > 0$,
$\exists f_1,..,f_n \in E^{\prime}$ tels que
$$ \vert < f_i,x > \vert < \ep,\quad \forall i=1,...,n \Longrightarrow \Vert Tx
\Vert_F < 1.
$$
Alors $\bigcap_i \ker f_i \subset \ker T$. On va montrer que dim(Im$T$)$\leq n$. \\Soit $y_1 =Tx_1,...,y_{n+1}=Tx_{n+1}
\in $ Im$T$, existe-t'il $(\lambda_1,...,\lambda_{n+1})$ non tous nuls tels que $\displaystyle{\sum_1^{n+1}} \lambda_k
Tx_k = 0$ ?\\
Ou encore tels que $T(\displaystyle{\sum_1^{n+1}} \lambda_k x_k) = 0$ ? On remarque que si il existe
$(\lambda_1,...,\lambda_{n+1})$ non tous nuls tels que $ \displaystyle{\sum_1^{n+1}} \lambda_k x_k \in \bigcap_i \ker
f_i$, c'est fini. Donc on veut
$$ \sum_1^{n+1} \lambda_k < f_i,x_k > = 0,\quad 1\leq i \leq n.
$$
C'est un syst{è}me lin{é}aire de $n$ {é}quations {à} $n+1$ inconnues dont on sait qu'il existe des solutions non
triviales, d'o{\`u} le r{é}sultat.
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
Soit $f_n : E \longrightarrow \RR$ telle que $f_n(x)=x_n$ si
$x=(x_n)_n$. Alors $f_n \in E^{\prime}$ et $\Vert f_n \Vert = 1$. S'il existe une sous-suite $(f_{nk})_{nk}$ qui
converge vers un $f$ dans $E_{w\star}^{\prime}$ alors $\forall x \in E$, $<f_{nk},x> = x_{nk} \longrightarrow <f,x>$
quand $k$ tend vers $+ \infty$. Donc en fait il s'agit de trouver une suite de r{é}els qui ne converge pas...c'est
facile. Par exemple, soit $x = (x_n)_n$ tel que $x_{nk}=(-1)^k$ et $x_n = 0$ ailleurs, alors $x \in \linf$ et
$<f_{nk},x> = (-1)^k$ ne converge pas. Donc il n'existe pas de sous-suites faiblement-$\star$ convergentes bien que
$(f_n)_n$ soit dans un compact faible-$\star$. Mais ce compact n'est pas m{é}trisable, on peut en conclure par exemple
que $\linf$ n'est pas s{é}parable ni r{é}flexif. En effet, $\ell^1$ est séparable et si $\ell^\infty$ était réflexif,
il serait donc aussi séparable. 
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
1) $K \subset \displaystyle{\bigcup_{n>0}} B(0,n)$ et K
compact $\Longrightarrow$ $\exists N$
tel que $K \subset B(0,N)$.\\
2) $\forall x \in B_E$, $Tx$ est dans un compact donc $\exists N$ tel que $Tx \in
B(0,N)$ $\Longrightarrow$ $\Vert Tx \Vert \leq N$.\\
3) Soit $(x_n)_n \in E$ telle que $x_n$ converge faiblement vers $x \in E$, alors $\Vert x_n \Vert$ est born{é}e car
$E$ est un Banach et donc $\exists R>0$ tel que $\forall n$, $x_n \in \overline{B} (0,R)$. Comme $T$ est compacte,
$(Tx_n)_n$ est dans un compact fort et il existe une sous-suite $(Tx_{nk})_{k}$ qui converge fortement vers $y \in F$.
D'autre part $T$ est lin{é}aire continue donc continue de E faible dans F faible et $Tx_{nk} \rightharpoonup Tx$
d'o{\`u} $y = Tx$. $Tx$ est la seule valeur d'adh{é}rence de la suite $(Tx_n)_n$ donc toute la suite converge vers $Tx$
d'o{\`u} ($\star$).\\
4) Montrons que $T(B_E)$ est ferm{é}. Soit $y_n =Tx_n \in T(B_E)$, on suppose que
$Tx_n \longrightarrow y$, a-t-on $y=Tx$ o{\`u} $x \in B_E$ ?\\
Comme E est  r{é}flexif et que $\Vert x_n \Vert \leq 1$, $\forall n$,  il existe une sous-suite $(x_{nk})_{k}$ telle
que $x_{nk} \rightharpoonup x$. Alors ($\star$) $\Longrightarrow$ $Tx_{nk} \longrightarrow Tx$ donc $y=Tx$ et $\Vert x
\Vert \leq \liminf \Vert x_{nk} \Vert \leq 1$ et $T(B_E)$ est ferm{é}.\\
Soit encore $y_n =Tx_n \in T(B_E)$, alors E r{é}flexif $\Longrightarrow$ $x_{nk} \rightharpoonup x$ et $Tx_{nk}
\longrightarrow Tx$ donc $Tx$ est valeur
d'adh{é}rence de $(y_n)_n$ et $T(B_E)$ est compact.
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
 On d{é}finit $J : E \longrightarrow
\Epp$ par  $J(x)=J_x$ avec
$${<J_x,f>}_{\Epp,\Ep} = {<f,x>}_{\Ep,E} \quad \forall x \in E,\,\,\forall f \in
\Ep.$$ On a $\Vert J_x \Vert = \sup_{\Vert f \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \Vert x \Vert$ par Hahn-Banach,
donc J est lin{é}aire isom{é}trique. \\
Ici, E est r{é}flexif donc J est surjective c'est-\`a-dire $J(E)= \Epp$.\\
Si $f \in E^{\prime}$ alors $\Vert f \Vert = \sup_{\Vert x \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \sup_{\Vert \xi \Vert \leq
1} \vert <\xi,f> \vert$ car $J$ est
isom{é}trique et surjective. \\
Par Hahn-Banach, $\sup_{\Vert \xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f> \vert = \max_{\Vert \xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f>
\vert$ et donc $\exists x_0 \in E$ tel que $\Vert x_0 \Vert \leq 1$ et $\Vert f \Vert = \vert <f,x_0> \vert$.
\fexer

\dexer  
\hfill
\newline
En ce qui concerne $A$, on raisonne
comme dans l'exercice 2.\\ $A^{\perp\perp}$ est fermé et contient
$\overline{vect(A)}$. Si il existe $x \in A^{\perp\perp}$ qui n'est pas dans $\overline{vect(A)}$, on sépare $\{ x
\}$ et $\overline{vect(A)}$ par un hyperplan fermé et
on conclut comme dans l'exercice 2.\\
De même pour $B$, $B^{\perp\perp}$ est fermé et contient $\overline{vect(B)}$. Si il existe $f_0 \in
B^{\perp\perp}$ qui n'est pas dans $\overline{vect(B)}$, par le théorème d'Hahn-Banach version fermé -compact, il
existe $\xi \in \Epp$, non identiquement nulle, il existe $\alpha \in \RR$ tels que $<\xi,f_0> < \alpha < <\xi,f>$ pour
tout $f \in vect(B)$. Comme $vect(B)$ est vectoriel, on en déduit que $<\xi,f> = 0$ pour tout $f \in vect(B)$ et
$\alpha < 0$. Si $E$ est réflexif, $\exists x_0 \in E$ tel que $<\xi,f> = <f,x_0>$ pour tout $f \in \Ep$, alors
$<f,x_0> = 0$ pour tout $f \in B$ donc $x_0 \in B^{\perp}$ et $<f_0,x_0> = 0 < \alpha$ ce qui est absurde.
\fexer

\dexer  Corrigé exercice 9 p160 du poly
\hfill
\newline\newline
1) ${\Vert x^N -x \Vert}_1$ = reste d'une s{é}rie convergente.\\
2) f est lin{é}aire et $\vert f(x) \vert \leq \Vert y \Vert_{\infty} \Vert x
\Vert_1$ donc $f \in (\lun)^{\prime}$.\\
a) On a montr{é} que $\Vert \Lambda_y \Vert \leq \Vert y \Vert_{\infty}$. On a $\Lambda_y(e^N)=y_N$ donc $\Vert \Lambda
\Vert \geq \Vert y \Vert_{\infty}$, d'o{\`u}
$\Lambda$ est une isom{é}trie.\\
b) $\Lambda$ est injective car isom{é}trique. Montrons qu'elle est surjective. Soit $\ell \in (\lun)^{\prime}$ alors
par lin{é}arit{é} et continuit{é} de $\ell$, on a $< \ell,x > = \displaystyle{\sum_1^{\infty}} x_ny_n$ si $x=(x_n)_n
\in \lun$ et $\exists M>0$ tel que $\forall x \in \lun$, $\vert <\ell,x > \vert \leq M \Vert x \Vert_1$. En particulier
pour $x=e^n$, on obtient $\vert <\ell,e^n>\vert = \vert y_n \vert \leq M$ et $y \in \linf$. Donc $\ell = \Lambda_y$ et
$\Lambda$ est bijective. Par le théorème de l'application ouverte (cf TD Baire), on conclut que $\Lambda$ est un
isomorphisme d'espaces de
Banach.\\
3) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{é}l{é}ments de $\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible
$\Longleftrightarrow$ $\forall y \in \linf <y,x^n> \rightarrow <y,0>=0$ $\Longleftrightarrow$
$\displaystyle{\sum_1^{\infty}} x_i^n y_i
\rightarrow 0$, $\forall y=(y_i)_i \in \linf$.\\
4) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{é}l{é}ments de
$\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible.\\

a) On montre facilement que $d$ est une distance sur $K$.\\

b) On veut montrer que $\exists \ep > 0$ et $\exists y^1,...,y^n \in \lun$ tels que
$$V=\{ g \in K : \vert < g-f,y^i> \vert < \ep, \forall i=1,...,n \} \subset
\Omega.$$ On a $$d(f,g) = \sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert + \sum_{i \geq n+1} \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i
\vert\,\, \mbox{et}\,\, \sum_{i \geq n+1} \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert \leq 2 \sum_{i \geq n+1} \frac{1}{2^i} =
\frac{1}{2^{n-1}},$$ pour $f,g \in K$. Soient donc $\ep$ et $n$ tels que $\ep + \frac{1}{2^{n-1}} < r$ et $y^i=e^i$
pour $1\leq i \leq n$, alors
$$\sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert = \sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert
<f-g,e^i> \vert \leq \ep \sum_1^n \frac{1}{2^i} \leq \ep,$$ si $g \in V$. D'o{\`u} $d(f,g) \leq \ep + \frac{1}{2^{n-1}}
< r$, $\forall g \in V$ donc $V \subset
\Omega$.\\

c) La question pr{é}c{è}dente montre que l'application $id : (K,\sigma(\linf,\lun)) \rightarrow (K,d)$ est continue. Or
$K$ est compacte faible $\star$, donc$(K,d)$ est
compact.\\

d) Soit $\ep > 0$ fix{é}. Soit $A_n = \{ f \in \linf : \vert <f,x^n > \vert \leq \ep \}$ alors $A_n$ est ferm{é} faible
$\star$, et $F_k = K \cap \displaystyle{\bigcap_{n \geq k}} A_n$ est aussi ferm{é} faible $\star$ dans $K$ compact donc
$F_k$ est compact faible $\star$. Son image par $id : (K,\sigma(\linf,\lun)) \rightarrow (K,d)$ (qui
est continue) est compacte donc ferm{é}e dans $(K,d)$. \\
$K = \bigcup_k F_k $ car $<f,x^n> \rightarrow 0$, $\forall f \in \linf$. Enfin, $(K,d)$ m{é}trique compact est complet,
on peut donc appliquer le lemme de Baire : il existe $k_0$ tel que Int$F_{k_0} \not= \emptyset$. Donc il existe $f_0
\in K$, $\exists
\rho > 0$ tels que $K \cap B_d(f_0,\rho) \subset F_{k_0}$.\\

e) En choisissant $f$ comme dans l'{é}nonc{é}, on a,
$$d(f,f^0) \leq 2 \sum_{i=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^{N\!-\!1}} <
\rho.$$ Donc $f \in F_{k_0}$ et
$$\vert <f,x^n> \vert = \vert \sum_1^N f_0^i x_i^n + \sum_{i=N+1}^{\infty} (\pm
x_i^n) \vert \leq \ep,\quad \forall n \geq k_0.$$ $\Longrightarrow$
$$\sum_{i=N+1}^{\infty} \vert x_i^n \vert \leq \ep + \sum_1^N \vert f_0^i x_i^n
\vert \leq \ep + \sum_1^N \vert x_i^n \vert,$$ car $f^0 \in K$, d'o{\`u}
$$\sum_{i=1}^{\infty} \vert x_i^n \vert \leq \ep + 2 \sum_1^N \vert x_i^n
\vert,\quad \forall n \geq k_0.$$

f) i {é}tant fix{é}, $x_i^n \rightarrow 0$ car $x_i^n = < e^i,x^n >$, donc $\exists I$ tel que $\forall n \geq I$,
$\vert x_i^n \vert \leq \frac{\ep}{2N}$. D{è}s que $n \geq \max(k_0,I)$, on a $\Vert x^n \Vert_1 \leq 2\ep$ d'o{\`u}
$x^n
\rightarrow 0$ dans $\lun$. \\
5) Comme $\lun$ n'est pas de dimension finie, les topologies faibles et fortes ne sont pas {é}quivalentes et cette
application ne peut donc pas {\^e}tre continue. 
\fexer
 \end{document}
%\chapter{Notations}
%\hfill \newline
%\index{N}{$E_{\om} =$ l'espace $E$ muni de la topologie faible $\sigma(E,\Ep)$}
%\index{N}{$\Ep_{\om\star} =$ l'espace $\Ep$ muni de la topologie faible $\star$
%$\sigma(\Ep,E)$}
%\index{N}{$L(E,F) =$ l'espace des applications lin{é}aires de $E$ dans $F$}
%\index{N}{${\cal L}(E,F) =$ l'espace des applications lin{é}aires continues de $E$ dans
%$F$}
%\index{N}{$\Ep = {\cal L}(E,\RR)$}
%\index{N}{$(E_{\om})^{\prime} =$ l'espace des applications lin{é}aires continues de $E$
%muni de la topologie faible {à} valeurs dans $\RR$}
%\index{N}{$<f,x> = f(x)$ est le crochet de dualit{é} $\Ep,E$}
%\index{N}{intérieur($A$) = int{é}rieur de $A$}
%\index{N}{$\vert A \vert =$ la mesure de $A$ si $A$ est un ensemble}
%\index{N}{$E \setminus F = \{ x\in E : x \not\in F \}$}
%\index{N}{vect$\{a_1,...,a_n \}$ est l'espace vectoriel engendr{é} par $a_1,...,a_n$, on
%pourrait l'{é}crire $K a_1+...+K a_n$ avec $K = \RR$ ou $\CC$}
%\index{N}{vect$A$ est l'espace vectoriel engendr{é} par la partie $A$}
%\index{N}{$\vois =$ l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie consid{é}r{é}e}
%\index{N}{${\cal V}_{\om}(x) =$ l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie faible}
%\index{N}{$\rightharpoonup$ signifie convergence pour la topologie faible, c'est en
%g{é}n{é}ral pr{é}cis{é} dans le texte}
%\index{N}{P.F.I $=$ l'ensemble des parties finies de l'ensemble $I$}
%\index{N}{$\ind_A =$ la fonction indicatrice de l'ensemble $A$}
%\index{N}{$\Vert . \Vert_p =$ la norme usuelle des espaces $L^p$ ou bien $\ell^p$}
%\index{N}{${\cal C}(\Om) =$ l'ensemble des fonctions {à} valeurs r{é}elles, continues
%sur $\Om$}
%\index{N}{${\cal C}_c(\Om) =$ l'ensemble des fonctions continues et {à} support compact
%dans $\Om$}
%\index{N}{$\DD(\Om)$ ou ${\cal C}^{\infty}_c(\Om)$ est l'ensemble des fonctions de classe
%${\cal C}^{\infty}$ {à} support compact dans $\Om$}
%\index{N}{$\Di(\Om) =$ l'ensemble des distributions sur $\Om$}
