

\setcounter{exo}{0}

\noindent{\bf Exercices du 7 F�vrier 2008}



 \dexo \hfill
\newline 1) Soit $\chi_n(x) = \frac{1}{2n}$ sur $[-n,n]$, $\chi_n(x) = 0$ ailleurs. Etudier sa
limite dans $L^1(\RR)$ et dans $L^2(\RR)$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
2) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que
$$\{ f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR) : \int_{\RR} f(x)\;dx = 0 \}$$
est dense dans $L^2(\RR)$. \fexo


%{ \bf Exercice 3} Base de Haar \index{A}{base!de Haar}
\dexo \label{exoHaar} Base de Haar  \\
On pose $H(x) = 1$ si $0 \leq x < \frac{1}{2}$ et $H(x) = -1$ si $\frac{1}{2} \leq x < 1$. C'est la fonction de Haar.
On pose
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Dessiner les fonctions de Haar pour $l =1,2$. D{�}montrer que ces fonctions
forment un syst{�}me orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Compter les fonctions de Haar qui sont {�} support dans $[0,1]$ et qui sont constantes sur les intervalles dyadiques
de longueur $ 2^{-j}$. On appelle $S_j$ le syst{�}me qu'elles forment. Remarquer qu'elles sont toutes d'int{�}grale
nulle et d{�}duire qu'elles forment une base de $W_j$, l'espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des
intervalles de longueur $2^{-j}$ et {�} moyenne
nulle.\\
3) Montrer que les fonctions de $L^2(\R^N)\cap L^1(\R^N)$  dont  l'int�grale $\int_{\R^N}f(x)dx$  est nulle forment un
sous-espace dense de $L^2(\R^N)$. Indication: montrer que si $f\in L^2\cap L^1$, $f-\frac{\int
f(x)dx}{\hbox{mes}(B(0,R))}\indic_{B(0,R)}$ converge vers $f$ dans $L^2$  quand $R\to +\infty$ et est d'int�grale
nulle.
\\
 4) Montrer que le syst{�}me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\RR)$. On commencera par montrer qu'une partie
de la base de Haar engendre l'espace des fonctions de $L^2(-2^j,2^j)$ d'int�grale nulle sur $(-2^j,0)$ et $(0,2^j)$.
\\
5) Nous nous pla{\c c}ons dans $L^2(\R^2)$. Soit $I(x)=\indic_{[0,1)}$, puis les trois fonctions de $L^2(\R^2)$
$$H_1(x,y)=H(x)I(y) \mbox{ , } H_2(x,y)=I(x)H(y) \mbox{ et } H_3(x,y)=H(x)H(y).$$
Ensuite on d�finit la ``base d'ondelettes de Haar en dimension 2'',
$$H_{i,j_1,j_2}^k (x,y) = 2^{k} H_i(2^k x - j_1,2^k y - j_2),\quad k,j_1,j_2 \in
 \ZZ, i=1,2,3.$$ Commencer par dessiner les fonctions $H_1$, $H_2$,  $H_3$.
\\
6) Compter les fonctions de Haar qui sont {�} support dans $[0,1]^2$ et qui sont constantes sur les carr�s dyadiques de
cot� $ 2^{-j}$. On appelle $S_j$ le syst{�}me qu'elles forment. Remarquer qu'elles sont toutes d'int{�}grale nulle et
d{�}duire qu'elles forment une base de $W_j$, l'espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des carr�s
de cot� $2^{-j}$ et d'int�grale nulle.
\\
7)  Montrer que le syst{�}me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\RR^2)$. On commencera par montrer qu'une partie
de la base de Haar engendre l'espace des fonctions de $L^2(-2^j,2^j)^2$ d'int�grale nulle.\\
8)  Pour une fonction $f \in L^2(\R^2)$  consid�rons les coefficients
$$c_{i,j_1,j_2}^k(f)=\langle f,H_{i,j_1,j_2}^k\rangle.$$
Conclure que
$$f=\sum_{i=1}^3\sum_{k,j_1,j_2 \in \relative} c_{i,j_1,j_2}^k(f) H_{i,j_1,j_2}^k$$
dans $L^2(\R^2)$. \fexo



 \dexo
On note $\star$ le produit de convolution.\\
Montrer que $(L^1(\RR),+,\star)$ est une alg{�}bre de Banach commutative qui ne poss{�}de pas d'{�}l{�}ment neutre pour
$\star$. \fexo


 \dexo
Soit $\Om$ un ouvert born{�} de $\RR^N$.\\
1) Soit $f \in L^{\infty}(\Om)$. Montrer que $ \lim_{p \rightarrow \infty}{\Vert f
\Vert}_p = {\Vert f \Vert}_{\infty}$.\\
2) Soit $f \in \displaystyle{\bigcap_{1 \leq p < \infty}} L^p(\Om)$, on suppose que $\exists C$ telle que $\Vert f
\Vert_p \leq C$, $\forall p$ tel que $1\leq p < \infty$. Montrer que $ f \in
L^{\infty}(\Om)$.\\
3) Soit $\Om = ]0,1[$ et $f(x) = \log x$, v{�}rifier que $f \in \displaystyle{\bigcap_{1 \leq p < \infty}} L^p(\Om)$ et
que $f \not\in L^{\infty}(\Om)$. \fexo




\dexo (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)\\
%{ \bf Exercice 4} (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)
Soit $g \in L^1(\RR)$ et soit f d{�}finie sur $\RR$. On pose, $\forall n \geq 1$, (lorsque cela a un sens),
$$ T_n(f)(x) = \int_{\RR} f(x-y^n) g(y) dy.$$
1) si $f \in L^1(\RR)$, montrer que $T_n(f)$ est d{�}finie p.p. et $T_n(f) \in
L^1(\RR)$.\\
2) Si f est continue et born{�}e, montrer que $T_n(f)$ est continue et
born{�}e.\\
3) Si f est continue et $f(x) \longrightarrow 0$ quand $\vert x \vert \rightarrow +\infty$, montrer que $\forall x$,
$T_n(f)(x) \longrightarrow C\;f(x)$ o{\`u} C est une constante {�} d{�}terminer. \fexo


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\noindent{\bf CORRIGES}

{\small {\it \dexo \hfill \newline 1) On a $\chi_n(x) \geq 0$, $\int_{\RR} \chi_n = 1$, $\chi_n \longrightarrow 0$ p.p.
et $\int_{\RR} \chi_n^2 = \frac{1}{2n} \longrightarrow 0$. Donc $\chi_n \longrightarrow 0$ dans $L^2(\RR)$ et $\chi_n
\not\longrightarrow 0$ dans
$L^1(\RR)$.\\
2) L'ensemble $L^1(\RR)\cap L^2(\RR)$ est dense dans $L^2(\RR)$ car contient ${\cal C}_c(\RR)$ par exemple. Soit $E =
\{ f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR) : \int_{\RR} f(x)\;dx = 0 \}$. Si $f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR)$ alors $g_n = f -
(\int_{\RR} f) \chi_n \in E$ et $f-g_n = (\int_{\RR} f) \chi_n \longrightarrow 0$ dans $L^2(\RR)$. Donc $E$ est dense
dans $L^2(\RR)$. \fexo

%%%%%%%%%%%base Haar%%%%%%%%%%%
{\it \dexo \hfill \newline
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Le support de $H_k^l$ est $I_k^l = [\frac{k}{2^l}, \frac{k+1}{2^l}]$. Donc si $l=l^{\prime}$ et $k \not=
k^{\prime}$, les supports de $H_k^l$ et $H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}}$ sont disjoints donc $(H_k^l,
H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}})_{L^2} = 0$. Si $l\not=l^{\prime}$, par exemple $l>l^{\prime}$ alors
$H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}}$ est constante sur les intervalles dyadiques de longueur $2^{-l^{\prime}-1}$ donc est
constante sur le support de $H_k^l$. Comme $H_k^l$ est de moyenne nulle, on en d{�}duit que $(H_k^l,
H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}})_{L^2} = 0$. Enfin $\Vert H_k^l \Vert_{L^2}^2 = 2^l \int_{I_k^l} 1 dx = 1$. Donc
$(H_k^l)_{l,k}$ forme un
syst{�}me orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Il y a
\begin{eqnarray*}
1 & \mbox{fonction constante par morceaux sur les intervalles de longueur}&
\frac{1}{2},\\
1+2 &.............................................. & \frac{1}{4},\\
... &.............................................. &..,\\
1+2+...+2^{j-1}&..............................................& \frac{1}{2^j}.
\end{eqnarray*}
Donc card($S_j$)$=2^j-1$. Or $W_j$ est un espace de codimension 1 dans un espace de dimension $2^j$, l'espace des
fonctions constantes par morceaux sur les intervalles dyadiques de longueur $2^{-j}$, donc le syst{�}me $S_j$ forme une
base de $W_j$.\\
3) Les fonctions indicatrices des intervalles dyadiques sont denses dans $L^2(0,1)$ donc $\{1, H_k^l, l \geq 0,
k=0,...,2^l-1 \}$ forme une base orthogonale de $L^2(0,1)$. Si on enl{�}ve la fonction {�}gale {�} 1, les $H_k^l$
forment une base orthogonale de $\{f \in L^2(0,1),$ f {�} moyenne nulle $\}$, et par sym{�}trie par rapport {�} $0$ et
dilatations, les $H_k^l$, $l \geq -j$, $k= -2^l,...,2^l-1$ forment une base orthogonale des fonctions de
$L^2(-2^l,2^l)$
d'int{�}grale nulle sur $[-2^j,0]$ et $[0,2^j]$.\\
3) Soit maintenant $f \in L^2(\RR)$, comme les fonctions {�} supports compacts sont denses dans $L^2$, on peut supposer
que $f$ est {�} support compact. On d{�}coupe $f$ en $f= \ind_{(0,+\infty)} f + \ind_{(-\infty,0)} f$. Soit $g =
\ind_{(0,+\infty)} f$ alors $g$ est {�} support compact dans $\RR^+$, soit $[0,A]$ son support alors $A \leq 2^j$ pour
un $j$. On conna�t une base de $L^2(0,2^j)$ en ajoutant aux $H_k^l$ la fonction $e_1= 2^{-\frac{j}{2}} \ind_{(0,2^j)}$
donc $g= (g,e_1) e_1 + \displaystyle{\sum_{i \geq 2}} (g,e_i) e_i$ o{\`u} les $e_i$ pour $i \geq 2$ sont les $H_k^l$.
Alors $\Vert g - \displaystyle{\sum_{i \geq 2}} (g,e_i) e_i \Vert_2 = \vert (g,e_1) \vert$. Montrons que pour $\ep > 0$
on peut choisir $j$ tel que $\vert (g,e_1) \vert \leq \ep$. On a
$$\vert (g,e_1) \vert = \vert \int_0^A 2^{-\frac{j}{2}} g(x) dx \vert \leq
2^{-\frac{j}{2}} \Vert g \Vert_2 \sqrt{A},$$ et on veut rendre ce terme plus petit que $\ep$, il est clair que c'est
vrai pour $j$ assez grand. On raisonne de la m{\^e}me fa{\c c}on pour le terme $\ind_{(-\infty,0)} f$, donc on
approxime arbitrairement bien toute fonction {�} support compact et par densit{�} toute fonction de $L^2(\RR)$. \fexo



{\it \dexo \hfill \newline Par le th{�}or{�}me de Fubini, $f,g \in L^1(\RR) \Longrightarrow f\star g \in
L^1(\RR)$ et $\Vert f\star g \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_1 \Vert g \Vert_1$.\\
$(f,g) \mapsto (f\star g)$ est bilin{�}aire donc $\star$ est distributive par rapport {�} l'addition. Enfin, il est
{�}vident que $\star$ est commutative, donc il reste {�} voir que $\star$ est associative. Soit $f,g,h \in L^1(\RR)$,
en appliquant le th{�}or{�}me de Fubini et en effectuant un changement de variables, on a
\begin{eqnarray*}
(f\star g)\star h(x) &=& \int_{\RR} f\star g(x-y) h(y) dy = \int_{\RR} \int_{\RR}
f(x-y-u)g(u)h(y)dy du,\\
&=& \int_{\RR} \int_{\RR} h(y) g(v-y) f(x-v) dv dy,\\
&=& \int_{\RR} f(x-v) g\star h(v) dv = f\star (g\star h)(x).
\end{eqnarray*}
Supposons maintenant qu'il existe un {�}l{�}ment neutre $\delta$ pour la convolution dans $L^1(\RR)$. Soit $f_n \in
{\cal C}(\RR)$, $f_n \geq 0$, de support $[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ et telle que $f_n(0)= \Vert f_n \Vert_{\infty} =
1$. Alors $\delta\star f_n \in {\cal C}(\RR)$ et $\forall x \in \RR$, $\delta\star f_n(x) = f_n\star \delta (x) =
f_n(x)$, donc en particulier
$$f_n\star \delta (0) = f_n(0) = 1 = \int_{\RR} f_n(-y) \delta(y) dy.$$
Soit $g_n(y) = f_n(-y) \delta(y)$ alors $g_n(y) \longrightarrow 0$ p.p. et $\vert g_n(y) \vert \leq \vert \delta(y)
\vert \in L^1(\RR)$. Le th{�}or{�}me de convergence domin{�}e montre que $\int_{\RR} g_n \longrightarrow 0$, d'o{\`u}
contradiction. \fexo

{\it \dexo \hfill \newline 1) On a $\Vert f \Vert_p \leq \Vert f \Vert_{\infty} \vert \Om \vert^{\frac{1}{p}}$
donc $\limsup \Vert f \Vert_p \leq \Vert f \Vert_{\infty}$.\\
Soient $0<k<\Vert f \Vert_{\infty}$ et $A = \{x \in \Om : \vert f(x) \vert > k \}$, alors $\vert A \vert \not= 0$ et
$\Vert f \Vert_p \geq k\,\vert A \vert^{\frac{1}{p}}$. Donc $\liminf \Vert f \Vert_p \geq k$ et ceci $\forall k < \Vert
f \Vert_{\infty}$. D'o{\`u} $\liminf \Vert f \Vert_p \geq \Vert f
\Vert_{\infty}$ et $\lim \Vert f \Vert_p  = \Vert f \Vert_{\infty}$.\\
2) Soit $k>C$ et soit $A = \{x \in \Om : \vert f(x) \vert > k \}$ alors
$$k^p \vert A \vert \leq \Vert f \Vert_p^p \leq C^p\;\;\Longrightarrow \;\;
\vert A \vert \leq \left( \frac{C}{k} \right)^p,\;\;\forall p.$$ Quand $p \rightarrow \infty$, on obtient $\vert A
\vert = 0$, donc p.p. x $\vert
f(x) \vert \leq k$ et $f \in L^{\infty}$.\\
3) Soit $f(x) = \log x$, alors $f \not\in L^{\infty}(0,1)$. Soit $1 \leq p < +\infty$ comme $\sqrt{x} \vert \log x
\vert^p \longrightarrow 0$ quand $x \rightarrow 0$, $\exists \ep>0$ tel que $\vert x \vert \leq \ep$ $\Longrightarrow$
$\vert \log x \vert^p \leq \frac{1}{\sqrt{x}}$. Alors
$$\vert f(x) \vert^p \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \ind_{(0,\ep)} + \vert \log x
\vert^p \ind_{(\ep,1)} \in L^1(0,1),$$ donc $f \in \displaystyle{\bigcap_{1 \leq p < \infty}} L^p(\Om)$. \fexo

 {\it \dexo \hfill \newline
%{ \bf Exercice 4} (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)
1) Soit $F(x,y)=f(x-y^n)g(y)$ alors $\int_{\RR} \vert F(x,y) \vert dx = \Vert f \Vert_{L^1} \vert g(y) \vert$ et
$$\int_{\RR} (\int_{\RR} \vert F(x,y) \vert dx) dy = \Vert f \Vert_{L^1}\Vert g
\Vert_{L^1},$$ donc par le th{�}or{�}me de Fubini-Tonelli, $F \in L^1(\RR \times \RR)$. De plus, p.p. x, $x \mapsto
\int_{\RR} F(x,y) dy$ est d{�}finie et est dans $L^1(\RR)$.
Enfin, $\Vert T_n(f) \Vert_{L^1} \leq \Vert f \Vert_{L^1}\Vert g \Vert_{L^1}$.\\
2) On a
\begin{eqnarray*}
\forall x,\quad y&\mapsto& f(x-y^n)g(y) \in L^1(\RR),\\
\mbox{p.p.}y,\quad x&\mapsto& f(x-y^n)g(y) \in {\cal C}(\RR),
\end{eqnarray*}
et $\forall x$, $\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq \Vert f \Vert_{\infty} \vert g(y) \vert \in L^1(\RR)$, donc par le
th{�}or{�}me de continuit{�} des int{�}grales d{�}pendant d'un param{�}tre, $T_n(f) \in {\cal C}(\RR)$ et $\forall x$,
$\vert T_n(f)(x) \vert \leq \Vert f \Vert_{\infty} \Vert g \Vert_{L^1}$ donc $T_n(f)$
est born{�}e.\\
3) On {�}crit $T_n(f)(x) = A_n + B_n$ o{\`u} $A_n = \int_{\vert y \vert < 1}
f(x-y^n)g(y) dy$ et $B_n = \int_{\vert y \vert > 1} f(x-y^n)g(y) dy$.\\
Etude de $A_n$ :\\

Quand $n \rightarrow \infty$, $f(x-y^n)g(y) \longrightarrow f(x)g(y)$ p.p. et $\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq M \vert
g(y) \vert \in L^1$. Par le th{�}or{�}me de convergence domin{�}e, $A_n \longrightarrow f(x) \int_{\vert y \vert < 1}
g(y)
dy$.\\
Etude de $B_n$ :\\

Quand $n \rightarrow \infty$, $x-y^n \longrightarrow \pm \infty$ et par hypoth{�}se $f(x-y^n) \longrightarrow 0$ donc
$f(x-y^n)g(y) \longrightarrow 0$ p.p. Enfin, $\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq M \vert g(y) \vert \in L^1$, donc le
th{�}or{�}me de convergence domin{�}e montre que $B_n \longrightarrow 0$.\\
\\
D'o{\`u} $T_n(f)(x) \longrightarrow C\; f(x)$ avec $C = \int_{\vert y \vert < 1} g(y) dy$. \fexo} }}}}}
