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%Si on enlève [1], la commande n'agit pas.
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\def\dexo{\begin{exo}\rm}    %sans
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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse Fonctionnelle \hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD 7: Espaces de Hilbert\\}

\vspace{0.5cm}
 \dexer  
\hfill
\newline\newline
Soit $H$ un espace de Hilbert. Déterminer la projection orthogonale sur sa boule unité fermée. (Faire un dessin). 
  \fexer
 \dexer  
\hfill
\newline\newline
L'espace $L^p(\RR)$, muni de sa norme usuelle avec $1\leq p\leq\infty$, est-il un espace de Hilbert ?
  \fexer
\dexer   Projection orthogonale dans $L^2$
\hfill \newline\newline
On considère l'espace de Hilbert réel $L^2=L^2(\RR)$. Pour $\alpha,\beta\in \RR$ donnés, $\alpha<\beta$, on note
$$C=\left\{ f\in L^2 : \alpha\leq f(x) \leq \beta \mbox{ p.p.} \right\}.$$
1) Montrer que $C$ est vide si et seulement si $\alpha\beta >0$.\\
On suppose désormais que $\alpha\beta\leq 0$.\\
2) Montrer que $C$ est un convexe fermé de $L^2$.\\
3) Soit $f\in L^2$, montrer que sa projection orthogonale sur $C$ est donnée par
$$P_Cf(x)= \max\{\min \{f(x),\beta \},\alpha \}\,\,\mbox{p.p.}$$
\fexer
\dexer  Universalité de la convolution (cf poly page $41$)
\hfill \newline\newline
Définition: Si $f$ est une fonction sur $\RR^N$ et $x\in \RR^N$, on note $(\tau_x f)(y)=f(y-x).$ C'est la translatée de $f$ par le vecteur $x$. On dit qu'un opérateur $T$ agissant sur des fonctions est invariant par translation si
$T(\tau_x f)=\tau_x (Tf)$.\\ \\
On note ${\cal C}_b(\RR^N)$ l'ensemble des fonctions continues et bornées, muni de la norme $\Vert f \Vert_{\infty}$. C'est un espace de Banach.\\
Soit $T  : L^2(\RR^N) \rightarrow {\cal C}_b(\RR^N)$ un opérateur linéaire, invariant par translation et continu. \\
Montrer qu' il existe $g$ dans $L^2(\RR^N)$ telle que $T(f)=g\ast f$. (On pourra considérer la forme linéaire $f \mapsto (Tf)(0)$.)
\fexer
\dexer  
\hfill \newline\newline
1) Calculer
$$ \min_{a,b,c} \int_{-1}^1 {\vert x^3 -a - bx -cx^2 \vert}^2 dx,$$
et trouver
$$ \max \int_{-1}^1 x^3 g(x) dx,$$
où g est soumis aux contraintes
$$\int_{-1}^1 g(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx =\int_{-1}^1 x^2 g(x)dx = 0;\quad
\int_{-1}^1 {\vert g(x) \vert}^2 dx =1.$$ 2) Si $x_0 \in H$ et si M est un sous-espace vectoriel ferm{é} d'un espace de
Hilbert H, {é}noncer le probl{è}me de maximum correspondant {à} $\min \{ \Vert x_0 - x \Vert,\;x \in M \}$ comme dans
la question pr{é}c{é}dente.
 \fexer
 \dexer  Théorème de Lax-Milgram, lemme de Céa et méthode de Galerkin
\hfill \newline\newline
Soit $H$ un espace de Hilbert réel.\\
Soit $a: H\times H\rightarrow \RR$ une forme bilinéaire symétrique continue (i.e. $\exists M>0$ tel que $\forall u,v\in H$, $\vert a(u,v) \vert \leq M\,\Vert u \Vert\,\Vert v \Vert$) et coercive (i.e. $\exists \alpha >0$ tel que $\forall u\in H$, $ a(u,u) \geq \alpha \Vert u \Vert^2$). \\
Enfin, soit $\ell\in H^{\prime}={\cal L}(H,\RR)$.\\
1) Montrer qu'il existe un unique $u\in H$ tel que pour tout $v\in H$, $a(u,v)=\ell(v)$. (C'est Lax-Milgram)\\
2) Soit $V_h$ un sous-espace vectoriel fermé $\subset H$ et soit $u\in H$ la solution de $a(u,v)=\ell(v)$ pour tout $v\in H$.

\hspace{0.5cm} a) Vérifier que $\exists ! u_h\in V_h$ tel que $a(u_h,v)=\ell(v)$, $\forall v\in V_h$ et que
$\Vert u_h \Vert \leq \frac{\Vert \ell \Vert}{\alpha }.$ (C'est une condition de stabilité)

\hspace{0.5cm} b) Montrer que 
$$\Vert u_h-u \Vert\leq \frac{M}{\alpha } \, d(u,V_h).$$
C'est le lemme de Céa.\\
Ici, $a$ est symétrique, on peut donc remplacer $\frac{M}{\alpha }$ par $\sqrt{\frac{M}{\alpha }}$ dans cette inégalité. Pourquoi ?
%\hspace{0.5cm} 3) Soit $n_h$ la dimension de $V_h$. Montrer que trouver $u_h\in V_h$ tel que $a(u_h,v)=l(v)$, $\forall v\in V_h$, est équivalent à la résolution d'un système linéaire dans $\RR^{n_h}$ dont on explicitera la matrice $A$ et le second membre. Vérifier que $A$ est symétrique et montrer que $A$ est définie positive. 

3) On suppose qu'il existe une suite de sous-espaces $(V_n)_{n \geq 1}$ de $H$ telle que
%\[ (H) : \left\{ \begin{array}{ll}
\[   \left\{ \begin{array}{ll}
(i) & \mbox{dim} V_n < \infty, \\
(ii) & V_n \subset V_{n+1},\\
(iii) & \bigcup_n V_n \mbox{ est dense dans H.}
                \end{array}
\right. \]
On note $u_n$ la solution de $a(u_n,v) = \ell(v)$, $\forall v \in V_n$ et $\delta_n = \inf \{ \Vert u - w \Vert,\;w \in V_n \}.$

a) Montrer que $\delta_n$ est atteint.

b) Montrer que $\delta_n \longrightarrow 0$.

c) Montrer que $u_n$ converge vers $u$ dans $H$.\\

Remarque : Dans le cas où $H$ est séparable, si $(e_n)_n$ une base hilbertienne de $H$ et si on pose $V_n=vect\{ e_1,...,e_n\}$, alors la question 3) ci-dessus est connue sous le nom de "Méthode de Galerkin".
  \fexer
  \nada {
 \dexer  Un peu de calcul différentiel ? ineq diff ?
 \hfill  
\newline\newline
On note $L^{2}=L^{2}(]0,1[)$.\\
1) Soient $v,g\in L^{2}$ et soit $\vfi \in \Cinf$. Vérifier que $vg\vfi^{\prime}\in L^{1}$.\\
On note $D^{+}$ l'ensemble des fonctions $\vfi \in  \Cinf$, telles que $\vfi(x) \geq 0$ pour tout $x\in ]0,1[$ et
$$C=\left\{ v\in L^2 : v(x) \leq 1 \mbox{ p.p.},\;\int^{1}_{0} vg\vfi^{\prime} \leq \int^{1}_{0}\vfi,\,\forall \vfi \in  D^{+} \right\}.$$
2) Montrer que $C$ est un convexe non vide et fermé de $L^{2}$.\\
3) On désigne par $\indic$ la fonction constante et égale à $1$ sur $ ]0,1[$.\\
Soit $u \in C$, montrer que 
$$(\Vert u-\indic \Vert_2\leq \Vert v-\indic \Vert_2,\,\forall v \in C)\Leftrightarrow (\int (\indic -u)(u-v)\geq 0,\,\forall v \in C).$$
4) Soit $u \in C$ tel que $\Vert u-\indic \Vert_2\leq \Vert v-\indic \Vert_2$ pour tout $v \in C$. On suppose de plus que $u,g \in {\cal C}^1(]0,1[)$.\\
a) On souhaite montrer que $(ug)^{\prime}(x)\geq -1$, pour tout $x\in ]0,1[$. Pour cela, on raisonne par l'absurde et suppose qu'il existe $c\in ]0,1[$ tel que $(ug)^{\prime}(c)<-1$. Construire (faire un dessin) un $\vfi \in  D^{+}$ à "petit" support $I_\vfi$ tel que $\vfi(c)>0$ et 
$$\int_{I_\vfi} ((ug)^{\prime}(x)+1)\vfi(x) dx\geq 0.$$
Puis conclure.\\
b) 
  \fexer }
\newpage
{ \bf Corrigé} 
\\
\dexo \hfill \newline
On trouve $Pu=u$ si $\Vert u \Vert\leq 1$. Si $\Vert u \Vert>1$, pour tout $v$ avec $\Vert v \Vert\leq1$, on a
$$\Vert u-v \Vert\geq \Vert u \Vert - \Vert v \Vert\geq \Vert u \Vert -1 = \Vert u-\frac{u}{\Vert u \Vert} \Vert.$$
Donc $Pu=\frac{u}{\Vert u \Vert}$.
\fexo
\dexo \hfill \newline
Déjà, si $p=2$, on sait que $L^{2}$ est un Hilbert.\\
Soient $f=\II_{]0,1[}$ et $g=\II_{]1,2[}$. Alors $f,g\in L^{p}$ pour tout $p\geq 1$ et $\Vert f \Vert_p=\Vert g \Vert_p=1$.\\
D'autre part $\Vert f+g \Vert_p=\Vert f-g \Vert_p=2^{\frac{1}{p}}$.\\
Pour $p\neq 2$, on a donc $\Vert f+g \Vert_p^{2}+ \Vert f-g \Vert_p^{2}=2(2^{\frac{2}{p}})\neq 4=2\Vert f \Vert_p^{2}+ \Vert g \Vert_p^{2}$.\\
L'identité du parallélogramme n'est donc pas satisfaite si $p\neq 2$. Ce qui prouve que la norme $p$ ne dérive pas d'un produit scalaire dans ce cas. 
 \fexo
\dexo \hfill \newline
1) Si $\alpha\beta>0$ (donc non nuls et de même signe), on a alors pour $f\in C$, $\vert f \vert \geq\gamma=\min(\vert \alpha \vert, \vert \beta \vert)>0$ p.p.. Donc $\int f^{2}\geq\infty$, en contradiction avec $f\in L^{2}$. Donc $C=\emptyset$.\\
Si maintenant $\alpha\beta \leq 0$, on a  alors $\alpha\leq 0 \leq \beta$ donc $0\in C$. $C$ n'est pas vide.\\
2) On sait déjà que $C$ n'est pas vide. Il est facile de voir que $C$ est convexe. Montrons que $C$ est fermé: soit $(f_n)_n \subset C$ telle que $f_n\rightarrow f$ dans $L^{2}$. Par la réciproque du TCD, il existe une sous-suite, encore notée $f_n$, telle que $f_n\rightarrow f$ p.p. et pour tout $n$, $\alpha \leq f_n(x) \leq  \beta$ p.p. On en déduit $\alpha \leq f(x) \leq  \beta$ p.p. donc $f\in C$, $C$ est fermé.\\
3) Soit $f\in L^{2}$, on pose 
$$g= \max\{\min \{f,\beta \},\alpha \}=\alpha\II_{\{f<\alpha\}}  + f \II_{\{\alpha\leq f \leq \beta\}}  +\beta \II_{\{f>\beta\}}.$$
Comme $\vert g \vert \leq \vert f \vert$ p.p., on a bien $g\in L^{2}$. Enfin, il est facile de voir que $g\in C$.\\
Pour montrer que $g$ est la projection orthogonale de $f$ sur $C$, on utilise la caractérisation du projeté : si $h\in C$,
\begin{eqnarray*}
(f-g,g-h)&=&\int(f-g)(g-h),\\
 &=& \int(f-\alpha)(\alpha-h)\II_{\{f<\alpha\}}+ \int(f-\beta)(\beta-h)\II_{\{f>\beta\}}\geq 0,
\end{eqnarray*} 
car $\alpha\leq h \leq \beta$ p.p. On en déduit que $g=P_C f$.
 \fexo
 \dexo \hfill \newline
On considère la forme linéaire $f \mapsto (Tf)(0)$, qui appartient par hypothèse à $(L^2(\RR^N))'$. En effet,
$$\vert (Tf)(0) \vert \leq \Vert Tf \Vert_{\infty} \leq C \Vert f \Vert_{2},$$ et cette inégalité exprime la continuité de la forme linéaire
$(Tf)(0)$ sur $L^2$. Par le théorème de Riesz, il existe alors une fonction $g_0\in
L^2$ telle que $$ (Tf)(0)=\int_{\RR^N}f(y)\overline{g_0}(y)dy.$$ Par hypothèse aussi,
$T(\tau_x f)=\tau_x Tf$. Donc,
\begin{eqnarray*}
%$$
Tf(x) = (\tau_{-x} (Tf))(0)= T(\tau_{-x}f)(0)&=&\int_{\RR^N}f(x+y)\overline{g_0}(y)dy,\\
&=& \int_{\RR^N}f(x-y)\overline{g_0}(-y)dy,\\
&=& (f\ast g)(x),
%$$
\end{eqnarray*} 
avec $g(y) = \overline{g_0}(-y)$.
\fexo
\dexo \hfill \newline
1) On note $\PP_2 = $vect$\{1,x,x^2\}$, c'est
un espace vectoriel de dimension finie donc ferm{é}. Par le th{é}or{è}me de projection dans $L^2(-1,1)$, $\exists ! P
\in \PP_2$ tel que $d(x^3,\PP_2) = \Vert x^3 -P \Vert$ et $(x^3 -P,v) = 0$, $\forall v \in \PP_2$ o{\`u} $( , )$
d{é}note le produit scalaire usuel dans $L^2$. En choisissant successivement $v=1,x,x^2$, on détermine explicitement
$P$ et on trouve $P(x) = \frac{3}{5} x$ d'o{\`u} $\Vert x^3 -P \Vert^2 = \int_{-1}^1 {\vert
x^3 - \frac{3}{5} x \vert}^2 dx = \frac{8}{175}$.\\
Si $g \in \PP_2^{\perp}$ alors
\begin{eqnarray*}
(x^3,g) &=& (x^3 - q,g),\quad \forall q \in \PP_2,\\
        &\leq& d(x^3,\PP_2) \Vert g \Vert,
\end{eqnarray*}
donc finalement si $g \in \PP_2^{\perp}$ et $\Vert g \Vert = 1$ alors $(x^3,g) \leq \Vert x^3 -P \Vert$ o{\`u}
$P(x)=\frac{3}{5} x$. Soit $g_0 = \frac{x^3 - P}{\Vert x^3 -P \Vert}$ alors $g_0 \in \PP_2^{\perp}$, $\Vert g_0 \Vert
=1$ et $(x^3,g_0)=(x^3-P,g_0)=\Vert x^3 -P \Vert=\frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}$ donc
$$ \max \{\int_{-1}^1 x^3 g(x) dx\,:\, g \in \PP_2^{\perp}, \Vert g \Vert = 1 \}
= (x^3,g_0) = d(x^3,\PP_2).$$ 2) Si $x_0 \in H$ et si M est un sous-espace vectoriel ferm{é} de H alors $d(x_0,M) =
\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert$ o{\`u} $P_Mx_0$ est la projection orthogonale de $x_0$ sur $M$ et $(x_0-P_Mx_0,v) = 0$,
$\forall v \in M$. Si $y \in M^{\perp}$, $\Vert y \Vert = 1$ alors $(x_0,y) = (x_0 - P_Mx_0,y) \leq \Vert x_0 - P_Mx_0
\Vert$ donc
$$ \max \{ (x_0,y) : y \in M^{\perp}, \Vert y \Vert = 1 \} \leq \Vert x_0 -
P_Mx_0 \Vert = \min \{ \Vert x_0 - x \Vert, x \in M \},$$ et
$$(x_0-P_Mx_0,\frac{x_0-P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}) = (x_0, \frac{x_0 -
P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}) = \Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert.$$ Donc le max est atteint en $y = \frac{x_0 -
P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}$ et sa valeur est {é}gale {à} $d(x_0,M)$ d'o{\`u}
$$\max \{ (x_0,y) : y \in M^{\perp}, \Vert y \Vert = 1 \} = \min \{ \Vert x_0 - x
\Vert, x \in M \}.$$ 
\fexo
\dexo \hfill \newline
1) On peut vérifier facilement que $a$ définit un nouveau produit scalaire sur $H$. Sa norme associée est équivalente à celle de $H$ grâce à la continuité et à la coercivité de $a$. Donc l'espace $H$ muni de $a$ est aussi un espace de Hilbert. Le théorème de Riesz s'applique : $\ell$ continue sur $H$ est aussi continue pour $a$, il existe donc un unique $u\in H$ tel que $\ell(v)=a(u,v)$ pour tout $v\in H$.\\ 
2) a) $V_h$ est ferm{é} dans $H$ donc Lax-Milgram s'applique et il existe un unique $u_h \in V_h$ tel que $\forall v_h \in
V_n$, $a(u_h,v_h) = \ell(v_h)$. Et comme
$\alpha \Vert u_h \Vert^2 \leq a(u_h,u_h) \leq \Vert \ell \Vert \Vert u_h \Vert$, on a $\Vert u_h \Vert \leq \frac{1}{\alpha} \Vert \ell \Vert_{H^{\prime}}$.\\ 
b) $\forall w \in V_h$, $a(u_h,w) = \ell(w) = a(u,w)$ donc $a(u_h-u,w) = 0$. Donc si $w \in V_h$,
$$a(u-u_h,u-u_h) = a(u-u_h,u) = a(u-u_h, u-w)$$
$$\Longrightarrow \alpha \Vert u_h-u \Vert^2 \leq a(u-u_h,u-w) \leq M \Vert
u_h-u \Vert\; \Vert u-w \Vert,\,\,\forall w \in V_h,$$
$$\Longrightarrow \Vert u_h-u \Vert \leq \frac{M}{\alpha} d(u,V_h).$$
3) a) $V_n$ est convexe ferm{é} donc par le th{é}or{è}me de projection il existe un unique
$v_n \in V_n$ tel que $\delta_n = \Vert u-v_n \Vert$.\\
b) Comme $V_n \subset V_{n+1}$, $\delta_{n+1} \leq \delta_n$. La suite $(\delta_n)_n$ est d{é}croissante positive donc
elle converge. D'autre part, $\overline{\bigcup V_n} = V$ donc $\forall \ep>0$, $\exists N$ tel que $\Vert u-w_N \Vert
\leq \ep$ o{\`u} $w_N \in V_N$. Donc $\delta_n \leq \ep$ et ceci $\forall n \geq N$, d'o{\`u} $\delta_n \rightarrow
0$.\\
c) On applique le lemme de Céa à $V_n$, alors $$\Vert u_n-u \Vert \leq \frac{M}{\alpha} \delta_n.$$
Donc la suite $(u_n)_n$ converge vers $u$ dans $H$.
 \fexo 

 \end{document}