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% ensembles Q R N Z C
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% Numerotation des pages / la derniere
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% Suppression de l'indentation
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse fonctionnelle\hfill{}
 \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD  Banach-Steinhaus et Séries de Fourier \\}

\vspace{0.5cm}
 \dexer  Théorème de Banach-Steinhaus
\hfill
\newline\newline
Soient $E, F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_i)_{i\in I}\subset {\cal
L}(E,F)$ une famille (non nécessairement dénombrable) d'opérateurs linéaires et continus de $E$ dans $F$.  On suppose que
$$\forall x\in E, \; \sup_{i\in I} \Vert T_ix\Vert <\infty .$$
Montrer que
$$\sup_{i\in I}\Vert T_i\Vert _{{\cal L}(E,F)} <\infty, $$
 \ccaadd qu'il existe  $c>0$ tel que
$$\forall i \in I, \; \forall x\in
E, \; \Vert T_ix \Vert \leq c \Vert x\Vert.$$
\fexer
 \dexer  Moyenne de Césaro
\hfill
\newline\newline
1) Soit ${(s_n)}_n \subset \CC$ telle que $s_n \longrightarrow s$. Montrer que
$$\frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j \longrightarrow s.$$
2) Montrer qu'il existe ${(s_n)}_n \subset \CC$ telle que ${(s_n)}_n$ ne converge
pas et $$\frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j \mbox{ converge.}$$
\fexer
 \dexer  Séries de Fourier 
\hfill
\newline\newline
On note ${\cal C}(\Pi) = \{ f \in {\cal C}(\RR),\;2\pi \mbox{-p{é}riodiques}
\}$, que l'on munit de ${\Vert f \Vert}_{\infty} = \sup_t \vert f(t) \vert$. On
notera ${\Vert f \Vert}_1 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \vert f(t) \vert
dt.$ Soit $f \in {\cal C}(\Pi)$, on d{é}finit les coefficients de Fourier de f
par
$$\widehat{f} (n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt,\;\; n
\in \ZZ.$$ On note
\begin{eqnarray*}
S_n(f,t) & = & \sum_{-n}^n \widehat{f} (k) e^{ikt},\;\;n\in \NN \mbox{ et} \\
\sigma_n(f,t) & = & \frac{1}{n+1} \sum_0^n S_j(f,t).
\end{eqnarray*}
1) On pose $D_N(t) = \displaystyle{\sum_{-N}^N} e^{ikt}$ et $K_N(t)= \frac{1}{N+1}
\displaystyle{\sum_0^N}
D_j(t)$, pour $N \in \NN$.\\
Montrer que
\begin{eqnarray*}
D_N(t) & = & \frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{\sin\frac{t}{2}},\;\;t \not=
0,\;\;D_N(0) = 2N+1,\\
K_N(t) & = & \frac{1}{N+1} {\left( \frac {\sin \frac{N+1}{2}t}{\sin \frac{t}{2}}
\right)}^2 ,\;\;t\not=0,\;\;K_N(0) = N+1.
\end{eqnarray*}
2) V{é}rifier que $K_N(t) \geq 0$, $\forall t \in \RR$, ${\Vert K_N \Vert}_1 =
1$ et que $\forall \delta > 0$, $K_N \longrightarrow 0$ uniform{é}ment sur
$\delta
\leq \vert t \vert \leq \pi$.\\
3) Montrer que si $f \in {\cal C}(\Pi)$, $\sigma_n(f) \longrightarrow f$
uniform{é}ment sur $[-\pi,\pi]$. (Remarquer que $\sigma_n(f,t) =
\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx = K_n
\star f(t) = f \star K_n(t).)$\\
4) On appelle polynôme trigonom{é}trique, toute fonction de la forme
$\displaystyle{\sum_{-n}^n} a_k e^{ikt}.$\\
En d{é}duire que les polyn\^omes trigonom{é}triques sont denses dans ${\cal
C}(\Pi)$ et que si $f,g \in {\cal C}(\Pi)$ sont telles
que $\forall n \in \ZZ$, $\widehat{f} (n)=\widehat{g} (n)$ alors $f=g.$\\ \\
5) Th{é}or{è}me de Du Bois-Reymond : \\$\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle que $\lim \sup \vert S_n(f,0) \vert = +
\infty.$\\
Pour d{é}montrer ce r{é}sultat, on d{é}finit $\Lambda_n : {\cal C}(\Pi)
\longrightarrow \CC$ telle que
$\Lambda_n(f) = S_n(f,0).$

\hspace{1.5cm} a) V{é}rifier que $\Lambda_n \in ({\cal C}(\Pi))^{\prime}$.

\hspace{1.5cm} b) Montrer que $\Vert \Lambda_n \Vert = {\Vert D_n \Vert}_1.$

\hspace{1.5cm} c) Montrer que ${\Vert D_n \Vert}_1 \longrightarrow + \infty$ (par
exemple : ${\Vert D_n \Vert}_1$ est plus grand que la somme partielle d'une série divergente.)

\hspace{1.5cm} d) En d{é}duire que $\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle que $\sup_n
\vert S_n(f,0) \vert = + \infty$.\\ \\
6) Soit $f \in L^1(-\pi,\pi)$ telle que $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)p(x) dx =0$ pour tout
polyn{\^o}me $p$ trigonom{é}trique, v{é}rifier que $f = 0$ p.p.\\ \\
7) On note $C_0(\ZZ) = \left\{ c = (c_n)_n : c_n \rightarrow 0\,\,
\mbox{quand}\,\, n \rightarrow \pm \infty \right\}$. Muni de la norme $\infty$, c'est un espace de banach.\\
Soit $f \in L^1(-\pi,\pi)$, on pose $c(f) = (\widehat{f}(n))_{n \in \ZZ}$.
V{é}rifier que $c(f) \in C_0(\ZZ)$.\\
%$$c(f) \in C_0(\ZZ) = \left\{ c = (c_n)_n : c_n \rightarrow 0\,\,
%\mbox{quand}\,\, n \rightarrow \pm \infty \right\}.$$ 
Montrer que l'application $T : L^1(-\pi,\pi) \rightarrow C_0(\ZZ)$ d\'efinie
par $T(f) = (\widehat{f}(n))_{n \in \ZZ}$ est lin{é}aire continue injective
 mais non surjective.
 \fexer
\newpage
{\bf Corrigé:}  
\dexo
\hfill \newline
Pour tout $n \geq 1$, on pose $X_n = \{ x\in E, \; \forall i, \; \Vert T_ix \Vert\leq n\}$. Chaque $X_n$ est une intersection de fermés et est donc fermé. Par hypothèse, $\bigcup_{n} X_n = E$.
% et donc l'intérieur de $(\bigcup_n X_n)$ n'est pas vide.
On déduit du lemme de Baire que l'un des $X_n$, $X_{n_0}$, doit être d'intérieur non vide. Soient donc
$x_0\in X_{n_0}$ et $r>0$ tels que $B(x_0, r)\subset X_{n_0}$. Alors
$$\forall i\in I, \; \forall z\in B(0,1), \; \Vert T_i(x_0 +rz)\Vert\leq n_0,$$
et donc par l'inégalité triangulaire,
$$\forall z\in B(0,1), \; r\Vert T_i(z)\Vert\leq n_0 + \Vert T_i(x_0)\Vert\leq 2n_0, \hbox{ soit
}$$
$$\Vert T_i\Vert_{{\cal L}(E,F)} \leq \frac {2n_0}r.$$
Remarque: Pour que le théorème de Banach-Steinhaus marche, il suffit que l'espace de départ $E$ soit complet. L'espace d'arrivée $F$ peut être simplement vectoriel normé.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
1) Soit $\ep > 0$, $\exists N$ tel que $\forall n \geq N$, $\vert s_j-s \vert \leq
\ep$ et
$$ \frac{1}{n+1} \displaystyle{\sum_0^n} s_j - s = \frac{1}{n+1} \displaystyle{\sum_0^n} (s_j -
s).$$
Donc pour $n \geq N$, on a
\begin{eqnarray*}
\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s \vert &\leq & \frac{1}{n+1}(\sum_0^N \vert
s_j
- s \vert + \sum_{N+1}^n \vert s_j - s \vert ),\\
   &\leq& \frac{1}{n+1}(\sum_0^N \vert s_j - s \vert + (n-N) \ep).
   \end{eqnarray*}
   Pour cet $\ep > 0$, $\exists N_1 \geq N$ tel que $\displaystyle{\sum_0^N} \vert s_j - s
\vert
\leq N_1 \ep$, donc si $n \geq N_1$, on a $\displaystyle{\sum_0^N} \vert s_j - s \vert \leq N_1
\ep \leq (n+1) \ep$ et d'autre part $(n-N) \ep \leq (n+1) \ep$ d'o{\`u}
   $$\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s  \vert \leq 2 \ep.$$
2) Soit $s_n = (-1)^n$ alors ${(s_n)}_n$ ne converge pas et $\vert \displaystyle{\sum_0^n} s_j
\vert \leq 1$ donc
$$\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n (-1)^j \vert \leq \frac{1}{n+1} \longrightarrow
0.$$
\fexo
\dexo
\hfill \newline
1) On a directement $D_N(0) = 2N+1$ et $K_N(0) = N+1$. \\
D'autre part, $e^{i\frac{t}{2}}D_N(t) = \displaystyle{\sum_{-N}^N} e^{i(k+\frac{1}{2})t}$ et
$e^{-i\frac{t}{2}}D_N(t) = \displaystyle{\sum_{-N}^N} e^{i(k-\frac{1}{2})t}$ donc $2i
\sin(\frac{t}{2}) D_N(t) = \displaystyle{\sum_{-N}^N} (e^{i(k+\frac{1}{2})t} -
e^{i(k-\frac{1}{2})t}) = e^{i(N+\frac{1}{2})t} - e^{-i(N+\frac{1}{2})t}.$\\
D'o{\`u} $D_N(t) = \frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}$ si $t \not=
0$.\\
On multiplie maintenant $K_N(t)$ par
$\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{2\sin(\frac{t}{2})}$ alors
$$K_N(t) = \frac{1}{2(N+1)} \frac{1}{{\sin}^2(\frac{t}{2})}
(2\sin(\frac{t}{2})\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\sin(\frac{3t}{2})+...+
2\sin(\frac{t}{2})\sin((N+\frac{1}{2})t)).$$ On utilise ensuite
l'{é}galit{é} $2 \sin a \sin b = \cos(a-b) -\cos(a+b)$ pour obtenir
$$K_N(t) = \frac{1}{2(N+1)} \frac{1}{{\sin}^2(\frac{t}{2})} (1-\cos(N+1)t) =
\frac{1}{N+1} \frac{{\sin}^2(\frac{N+1}{2}t)}{{\sin}^2(\frac{t}{2})},$$
pour $t \not= 0$.\\
2) Il est clair que $K_N(t) \geq 0$, $\forall t \in \RR$ et que $K_N$ est
$2\pi$-p{é}riodique. De $\int_0^{2\pi} e^{ikt} dt = 2\pi \delta_{k,0}$ on
d{é}duit que $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} D_j(t) dt = 1$ et ${\Vert K_N
\Vert}_1 = 1$. Enfin si $\delta \leq \vert t \vert \leq \pi$ o{\`u} $\delta >
0$, on a
$$K_N(t) \leq \frac{1}{N+1} {(\frac{1}{\sin(\frac{\delta}{2})})}^2
\longrightarrow 0,$$
quand $N \rightarrow \infty$.\\
3) On a
\begin{eqnarray*}
S_n(f,t) & = & \sum_{-n}^n \widehat{f}(k)e^{ikt},\\
         & = & \sum_{-n}^n \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) e^{ik(t-x)} dx
= \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) D_n(t-x) dx.
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\sigma_n(f,t) &=& \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx,\\
              &=& \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(t-x) K_n(x) dx,
\end{eqnarray*}
car $f$ et $K_n$ sont $2\pi$-p{é}riodiques. Comme ${\Vert K_N \Vert}_1 = 1$,
on peut {é}crire
\begin{eqnarray*}
\vert \sigma_n(f,t) - f(t) \vert & = & \frac{1}{2\pi} \vert \int _{-\pi}^{\pi}
(f(t-x) - f(t)) K_n(x) dx \vert,\\
 & \leq & \frac{1}{2\pi} \vert \int _{\vert x \vert \leq \delta} \vert
f(t-x)-f(t) \vert K_n(x) dx + \frac{1}{2\pi} \int _{\delta \leq \vert x \vert
\leq \pi} 2 \Vert f \Vert_{\infty} K_n(x) dx.
\end{eqnarray*}
La fonction $f$ {é}tant uniform{é}ment continue, pour $\ep > 0$, $\exists
\delta
> 0$ tel que $\vert f(x)-f(y) \vert \leq \frac{\ep}{2}$ d{è}s que $\vert x-y
\vert \leq \delta$. Pour ce $\delta$, d'apr{è}s 2), $\exists N$ tel que
$\forall n \geq N$ $\vert K_n(x) \vert \leq \frac{\ep}{4 \Vert f
\Vert_{\infty}}$, $\forall x$ tel que $\delta \leq \vert x \vert \leq \pi$,
d'o{\`u}
$$\vert \sigma_n(f,t) - f(t) \vert \leq \frac{\ep}{2} {\Vert K_N \Vert}_1 +
\frac{\ep}{2} \, \frac{1}{2\pi} \int _{\delta \leq \vert x \vert \leq \pi} dx
\leq \ep,$$ et ceci $\forall t$, donc $\sigma_n(f) \longrightarrow f$
uniform{é}ment sur
$[-\pi,\pi]$.\\
4) $\sigma_n(f,t) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx$ est un
polynôme trigonom{é}trique, donc 3) montre que les polynômes
trigonom{é}triques
sont denses dans ${\cal C}(\Pi)$.\\
Si $f,g \in {\cal C}(\Pi)$ sont telles que $\forall n \in \ZZ$, $\widehat{f}
(n)=\widehat{g} (n)$ alors $0 = \sigma_n(f,t) - \sigma_n(g,t) \longrightarrow
f(t)-g(t)$, $\forall t$, donc $f(t)=g(t)$, $\forall t \in [-\pi,\pi]$.\\
5) a) $\Lambda_n(f) = S_n(f,0) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(t) D_n(-t)
dt$, pour $n \geq 0$ donc $\Lambda_n$ est lin{é}aire et $\vert \Lambda_n(f)
\vert \leq {\Vert D_n \Vert}_1 \Vert f \Vert_{\infty}$. Donc $\Lambda_n \in
({\cal
C}(\Pi))^{\prime}$ et $\Vert \Lambda_n \Vert \leq {\Vert D_n \Vert}_1$.\\
  b) Soit $g_n(t) = \mbox{sign}(D_n(-t))$ alors il existe une suite $(f_j)_j$
dans ${\cal C}(\Pi)$ telle que $-1 \leq f_j \leq 1$, $\forall j$ et $f_j(t)
\longrightarrow g_n(t)$ p.p. quand $j \rightarrow \infty$. Le th{é}or{è}me
de convergence domin{é}e s'applique et donne
  $$\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f_j(t) D_n(-t) dt \longrightarrow
\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} \vert D_n(-t) \vert dt = {\Vert D_n
\Vert}_1.$$ De $\vert \Lambda_n(f_j) \vert \leq \Vert \Lambda_n \Vert$, on
d{é}duit $\Vert
\Lambda_n \Vert = {\Vert D_n \Vert}_1$.\\
  c) Comme $\vert \sin \frac{t}{2} \vert \leq \frac{\vert t \vert}{2}$, pour $0
\leq t \leq \pi$,
$${\Vert D_n \Vert}_1 = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} \vert D_n(t) \vert dt =
\frac{1}{\pi} \int _{0}^{\pi} \vert D_n(t) \vert dt \geq \frac{2}{\pi}
\int_0^{\pi} \vert \sin(n+\frac{1}{2})t \vert \,\frac{dt}{t}.$$ Donc on a
\begin{eqnarray*}
{\Vert D_n \Vert}_1 &\geq& \frac{2}{\pi} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi} \vert \sin
x \vert \frac{dx}{x} \geq \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)\pi}^{k\pi}
\vert
\sin x \vert \frac{dx}{x},\\
&\geq& \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \vert
\sin x \vert dx = \frac{4}{\pi^2} \sum_1^n \frac{1}{k} \geq \frac{4}{\pi^2}
\log(n+1),
\end{eqnarray*}
D'o{\`u} ${\Vert D_n \Vert}_1 \longrightarrow + \infty$ quand $n \rightarrow
\infty$.\\
  d) Si $\forall f \in {\cal C}(\Pi)$, $\exists C_f$ tel que $\forall n$, $\vert
S_n(f,0) \vert \leq C_f$ alors par le th{é}or{è}me de Banach-Steinhaus
$\exists M$ tel que $\forall n$, $\Vert \Lambda_n \Vert \leq M$ or c'est
impossible d'apr{è}s la question pr{é}c{é}dente. Donc $\exists f \in {\cal
C}(\Pi)$ telle
que $\sup_n \vert S_n(f,0) \vert = + \infty.$\\
%Remarque : Soit $E=\{f \in {\cal C}(\Pi) : \sup_n \vert S_n(f,0) \vert = +
%\infty \}$. On peut montrer que $E$ est dense dans ${\cal C}(\Pi)$ voir $[Ru1]$
%par exemple.\\
6) On note $h=sign(f)$. Alors $\vert h \vert\leq 1$ p.p. et $\Vert h \Vert_1\leq 1 $. Comme les fonctions continues à support compact sont denses dans $L^1(-\pi ,\pi )$, $\forall \varepsilon >0$, $\exists g \in {\cal C}_c(]-\pi ,\pi [)$ telle que $\Vert h-g \Vert_1\leq \varepsilon $. On prolonge $g$ à $\RR$ par $2\pi $-périodicité ( $g\in {\cal C}(\RR)$ puisque $g(-\pi)=g(\pi)=0$). Alors d'apr{é}s la question 4), $\exists p$ polynôme trigonométrique tel que $\Vert g-p \Vert_{\infty}\leq \varepsilon $. Ensuite, on écrit
$$\Vert f \Vert_1=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }\vert f \vert = \frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }fh=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(h-g+g-p+p).$$
Donc, $\Vert f \Vert_1\leq \Vert h-g \Vert_1 + \Vert g-p \Vert_{\infty}\leq \epsilon $. Et ceci, pour tout $\varepsilon >0$, d'où $f=0$ p.p.\\
7) Par le Lemme de Riemann-Lebesgue, on sait d{é}j{à} que $\widehat{f}(n)
\rightarrow 0$ quand $n \rightarrow \pm \infty$ donc $c(f) \in C_0(\ZZ)$. On a aussi imm{é}diatement
$\vert \widehat{f}(n) \vert \leq \Vert f \Vert_1$.\\
L'application $T$ est clairement lin{é}aire et l'inégalité ci-dessus
montre qu'elle est continue. Si $\widehat{f}(n) = 0$ pour tout $n$ alors
$\int_{-\pi}^{\pi} fp dx = 0$, pour tout polyn{\^o}me trigonom{é}trique $p$
donc $f = 0$ p.p. et $T$ est injective. \\
$T$ ne peut pas {\^e}tre surjective sinon
par le th{é}or{è}me de l'application ouverte (voir TD Baire-isomorphisme d'espaces de Banach), elle serait d'inverse continue. Il existerait donc une constante $M>0$
telle que $\Vert f \Vert_1 \leq M \Vert c(f) \Vert_{\infty}$. Mais une telle
in{é}galit{é} est contredite par les $D_n$, en effet $\widehat{D_n}(k) = 0$
ou $1$, donc $\Vert c(D_n) \Vert_{\infty} = 1$ alors qu'on a vu ci-dessus que
$\Vert D_n \Vert_1 \rightarrow +\infty$.
%$T$ ne peut {\^e}tre surjective sinon
%par le th{é}or{è}me de l'application ouverte, voir l'exercice \ref{applicationouverte}
%page ~\pageref{applicationouverte} ($
%C_0(\ZZ)$ est un espace de
%Banach), elle serait d'inverse continue et il existerait une constante $M>$
%telle que $\Vert f \Vert_1 \leq M \Vert c(f) \Vert_{\infty}$. Mais une telle
%in{é}galit{é} est contredite par les $D_n$, en effet $\widehat{D_n}(k) = 0$
%ou $1$, donc $\Vert c(D_n) \Vert_{\infty} = 1$ alors qu'on a vu ci-dessus que
%$\Vert D_n \Vert_1 \rightarrow +\infty$.
\fexo
 \end{document}