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\begin{document}

{\raggedright  Analyse Fonctionnelle\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2007-2008}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD Convolution\\}

\vspace{0.5cm}
\dexer Universalité de la convolution
\hfill
\newline\newline
Si $f$ est une fonction sur $\RR^N$ et $x\in \RR^N$, on note $(\tau_xf)(y)=f(y+x).$ C'est la translatée de $f$ par
le vecteur $x$. On dit qu'un opérateur $T$ agissant sur des fonctions est invariant par translation si
$T(\tau_xf)=\tau_x(Tf)$.\\
Soit $T  : L^2(\RR^N) \to C_b(\RR^N)$ un opérateur linéaire, invariant par
translation et continu. Montrer qu' il existe $g$ dans $L^2(\RR^N)$ telle que $T(f)=g\ast f$. 
 \fexer
 \dexer Existence de fonctions ${\cal C}^{\infty}$ à support compact - Suite régularisante
\hfill
\newline\newline
1) Soit $f(x)= \exp(\frac{1}{x^2-1})$ si $\vert x \vert <1$ et $f(x)=0$ sinon. Montrer que $f$ est une fonction ${\cal C}^{\infty}$ sur $\RR$. Construire, à partir de $f$, une fonction $f_N\in {\cal C}^{\infty}(\RR^N),$ à support compact,
 positive et de support contenu dans $\overline{B}(0,1)$.\\
2) Définition: On appelle suite régularisante (mollifiers en anglais) toute suite $(\varrho _n)_n$ de fonctions dans ${\cal C}^{\infty}(\RR^N)$, positives, à support compact inclus dans $\overline{B}(0,\frac{1}{n})$ et telles que $\int \varrho _n =1$. \\ A l'aide de la question 1), vérifier qu'il existe des suites régularisantes et que toute suite régularisante est une approximation de l'identité.\\
\fexer
\dexer $\qquad L^1 \ast L^2\subset L^2$
\hfill \newline\newline
Soient $f\in L^1(\RR^N)$ et $g\in L^2(\RR^N)$. \\
1) Vérifier que, p.p. $x$, $y\mapsto  \vert f(x-y)\vert \vert g(y) \vert^2 \in L^1$ et que $$x\mapsto \vert f \vert \ast \vert g \vert^2(x)=\int  \vert f(x-y)\vert \vert g(y) \vert^2 dy \in L^1.$$
2) Montrer que p.p. $x$, 
$$ \vert f  \ast  g(x)\vert \leq \Vert f \Vert_1^{\frac{1}{2}} \left(\vert f \vert \ast \vert g \vert^2(x)\right)^{\frac{1}{2}}.$$
En déduire que $f\ast g \in L^2$ et que 
$$
||f\ast g||_2\leq ||f||_1||g||_2.
$$
\fexer
\dexer Densité des fonctions régulières 
\hfill
\newline\newline
Soit $(\varrho _n)_n$ une suite régularisante. \\
1) Si $f\in {\cal C}(\RR^N)$, montrer que $f\ast \varrho _n\longrightarrow f$ uniformément sur tout compact de $\RR^N$.\\
2) Soit $\varrho \in L^1$ avec $\varrho \geq 0$ p.p. Soit $f\in L^p$, montrer que $\varrho \ast f\in L^p$ et $\Vert \varrho \ast f \Vert_p\leq \Vert \varrho \Vert_1 \Vert f \Vert_p$. (Utiliser l'inégalité de Holder ou celle de Jensen).\\
3) Soient $f,g \in {\cal C}_c(\RR^N)$, montrer que $supp(f\ast g)\subset supp(f)+supp(g)$.\\
4) Soit $1\leq p<\infty$. Montrer que pour toute fonction $f\in L^p(\RR^N)$, la suite $(f\ast \varrho _n)_n$ converge vers $f$ dans $L^p$ et montrer que ${\cal C}_c^{\infty}(\RR^N)$ est dense dans $L^p(\RR^N)$. (Utiliser la densité des fonctions continues à support compact.)
\fexer
\dexer Théorème de Fréchet-Kolmogorov dans $\RR^N$
\hfill
\newline\newline
On pose $(\tau _hf)(x)=f(x+h)$ (translation de $f$ par $h$).\\
Soit $\omega $ un ouvert borné de $\RR^N$. Soit $F$ un sous-ensemble borné de $L^p(\RR^N)$ avec $1\leq p<\infty$. On suppose que $(\star )$,  $\forall \varepsilon >0$, $\exists \delta >0$ tel que $\Vert \tau _hf - f \Vert_{L^p(\omega )}<\varepsilon $ pour tout $h\in \RR^N$ avec $\Vert h \Vert >\delta $ et $\forall f\in F$. On va montrer que l'ensemble $F\!\!\mid _\omega $ est d'adhérence compacte dans $L^p(\omega )$.\\
1) Soit $\varepsilon >0$, montrer que $\forall f\in F$ et $\forall n>\frac{1}{\delta }$ (où $\delta$ est donné par $(\star )$),
$$\Vert \varrho _n\ast f -f \Vert_{L^p(\omega )}<\varepsilon,$$
où $(\varrho _n)_n$ une suite régularisante.\\
2) Montrer que la famille $H_n=(\varrho _n\ast F)\!\!\mid_{\overline{\omega }}$ est d'adhérence compacte dans ${\cal C}(\overline{\omega })$ pour chaque $n$.\\
3) Montrer que pour tout $\varepsilon >0$, la famille $F\!\!\mid _\omega $ peut être recouverte par un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon $ et conclure.
 \fexer
%\dexer \hfill \newline 
%\fexer

\newpage
{ \bf Corrigé} 
\\
\dexo \hfill \newline 
On considère la forme linéaire $f\to (Tf)(0)$, qui appartient par hypothèse à $(L^2(\RR^N))'$. En effet, il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $f\in L^2$, 
$$|(Tf)(0)|\leq ||Tf||_\infty\leq C\,||f||_{L^2},$$ et cette inégalité exprime la continuité de la forme linéaire
$(Tf)(0)$ sur $L^2$. Par le théorème de Riesz, il existe alors une fonction $g_0\in
L^2$ telle que $$ (Tf)(0)=\int_{\RR^N}f(y)\overline{g_0}(y)dy.$$ Par hypothèse aussi,
$T(\tau_xf)=\tau_xTf$. On utilise maintenant l'invariance par translation:
\begin{eqnarray*}
Tf(x) &=& (\tau_{x} (Tf))(0)= T(\tau_{x}f)(0)=\int_{\RR^N}f(x+y)\overline{g_0}(y)dy \\
&=& \int_{\RR^N}f(x-y)\overline{g_0}(-y)dy= (f\ast g)(x),
\end{eqnarray*}
avec $g(y) = \overline{g_0}(-y)$.
 \fexo

\dexo \hfill \newline
1) On pose , en dimension 1, $f_1(x)=e^{\frac
1 {x^2-1}}$  si $|x|< 1$, $f(x)=0$ sinon.  Il est facile de voir que $f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0$ pour tout ordre $k$
et que donc $f$ est ${\cal C}^{\infty}$.   En dimension $N$, on pose simplement $g_N(x_1,..., x_N)=f_1(x_1)...f_N(x_N)$
qui est à support dans l'hypercube $[-1,1]^N$ puis $f_N(x) = g_N(2\sqrt N x)$ pour ramener le support dans la boule unité fermée pour la norme euclidienne.\\
2) On sait maintenant qu'il existe $\varrho \in {\cal C}^{\infty}$ avec $\varrho \geq 0$, $supp(\varrho )$ inclus dans la boule unité et $\int \varrho >0$. On pose par exemple $\varrho _n(x)=C\;n^N \varrho (nx)$ où $C=\frac{1}{\int \varrho }$. C'est une suite régularisante.\\
Il est immédiat de voir que toute suite régularisante est une approximation de l'identité.
\fexo
\dexo \hfill \newline
1) Comme $\vert f \vert \in L^1$ et $\vert g \vert^2\in L^1$, $\vert f \vert \ast \vert g \vert^2\in L^1$ (cf cours $L^1\ast L^1\subset L^1$), tout est conséquence du théorème de Fubini-Tonelli.\\
2) Par définition de la convolution, on a $\vert f \ast g(x) \vert\leq \int \vert f(x-y) \vert \vert g(y)\vert dy$. On écrit ensuite
$$\int \vert f(x-y) \vert \vert g(y)\vert dy=\int \vert f(x-y) \vert^{\frac{1}{2}}\vert f(x-y) \vert^{\frac{1}{2}}\vert g(y)\vert dy,$$
où $\vert f(x-y) \vert^{\frac{1}{2}}\in L^2_y$ car $f\in L^1$ et $\vert f(x-y) \vert^{\frac{1}{2}}\vert g(y)\vert \in L^2_y$ d'aprés 1).\\
On peut donc appliquer Cauchy-Schwarz et on obtient
$$\int \vert f(x-y) \vert \vert g(y)\vert dy\leq \left(\int \vert f(x-y) \vert dy\right)^{\frac{1}{2}} \left(\int \vert f(x-y) \vert \vert g(y)\vert^2 dy\right)^{\frac{1}{2}}.$$
Donc finalement, $\vert f \ast g(x) \vert^2\leq \Vert f \Vert_1 \vert f \vert \ast \vert g \vert^2(x) \in L^1$ par 1). On en déduit que $f\ast g\in L^2$ et que
\begin{eqnarray*}
\Vert f \ast g \Vert_2^2=\int \vert f \ast g(x) \vert^2 dx &\leq & \Vert f \Vert_1 \;\Vert \vert f \vert \ast \vert g \vert^2 \Vert_1,\\
 &\leq & \Vert f \Vert_1\Vert f \Vert_1\Vert \vert g \vert^2 \Vert_1,\\
  &\leq & \Vert f \Vert_1^2\Vert g \Vert_2^2.
\end{eqnarray*}  
\fexo
 \dexo \hfill \newline
1) Soit $K\subset \RR^N$ un compact fixé. Pour tout $\varepsilon >0$, $\exists \delta >0$ tel que $\vert f(x-y)-f(x)\vert\leq \varepsilon$, $\forall x\in K$ et $\forall \Vert y \Vert\leq \delta $. On a
$$\varrho _n\ast f(x)-f(x)=\int (f(x-y)-f(x))\varrho _n(y)dy=\int_{B(0,\frac{1}{n})}(f(x-y)-f(x))\varrho _n(y)dy.$$
Donc pour $n>\frac{1}{\delta }$ et $x\in K$,
$$\vert \varrho _n\ast f(x)-f(x) \vert\leq \varepsilon \int \varrho _n=\varepsilon .$$
2) On sait que $L^1 \ast L^1 \subset L^1$ donc $\varrho \ast \vert f \vert^p \in L^1$, soit $\varrho^{\frac{1}{p}}\ast f \in L^p$. Alors, l'inégalité de Holder donne 
$$\left(\varrho \ast |f|(x)\right)^p=\left(\int \varrho^\frac 1{p'} \varrho^\frac 1p |f|dy\right)^p\leq \left(\int \varrho |f|^p\right)
\left(\int \varrho \right)^\frac p {p'}= \Vert \varrho \Vert_1^\frac p {p'}\varrho \ast \vert f \vert^p(x).$$
D'où $\varrho \ast f\in L^p$ et $\Vert \varrho \ast f \Vert_p^p \leq \Vert f \Vert_p^p \Vert \varrho \Vert_1^{1+\frac p {p'}=p}$.\\
3) Par le théorème 6.7 page 79, on sait déjà que $f\ast g$ est continue et bornée. On note $K=supp(f)$ et $G=supp(g)$. On a
$$f\ast g(x)=\int f(x-y)g(y) dy=\int_{(x-K)\cap G} f(x-y)g(y)dy.$$
Si $x\not\in K+G$ alors $(x-K)\cap G=\emptyset$ donc $f\ast g(x)=0$. En particulier, $f\ast g=0$ sur l'intérieur de $^c\!(K+G)$. Or l'intérieur du complémentaire = le complémentaire de l'adhérence, on en déduit que $supp(f\ast g)\subset \overline{(K+G)}$. Comme $K$ et $G$ sont compacts, $K+G$ est fermé (compact en fait). D'où le résultat.\\ 
4) Comme $f\in L^p$, pour $\varepsilon >0$ fixé, il existe $f_1\in {\cal C}_c(\RR^N)$ telle que $\Vert f -f_1 \Vert_p\leq \varepsilon $. On sait que $\varrho _n\ast f_1\longrightarrow f_1$ uniformément sur tout compact grâce à 1). Or, d'aprés la question 3), $supp(\varrho _n\ast f_1)\subset \overline{B(0,\frac{1}{n})}+supp(f_1)\subset K$, compact fixe, on en déduit que $\varrho _n\ast f_1\longrightarrow f_1$ dans $L^p$.\\ 
Ensuite, avec 2), on sait que pour tout $n$, $\varrho _n\ast f \in L^p$ et $\Vert \varrho _n\ast f\Vert_p\leq \Vert f \Vert_p$ compte tenu de $\Vert \varrho _n \Vert_1=1$. On écrit $\varrho _n\ast f-f=(\varrho _n\ast (f-f_1))+(\varrho _n\ast f_1-f_1)+(f_1-f)$. Alors,
$$\Vert \varrho _n\ast f -f \Vert_p\leq 2\Vert f-f_1 \Vert_p+\Vert \varrho _n\ast f_1-f_1\Vert_p.$$
On a donc bien $\Vert \varrho _n\ast f -f \Vert_p\longrightarrow 0$.\\
Grâce au théorème 6.7 page 79 et à 3), $\varrho _n\ast f_1 \in {\cal C}_c^{\infty}(\RR^N)$. De
$$\Vert \varrho _n\ast f_1 -f \Vert_p\leq \Vert \varrho _n\ast f_1 - f_1\Vert_p+\Vert f_1-f \Vert_p,$$
on déduit la densité dans $L^p$ des fonctions ${\cal C}_c^{\infty}(\RR^N)$.
  \fexo 
\dexo \hfill \newline
1) Pour tout $n$, $\varrho _n\ast f \in L^p$ d'aprés l'exercice précédent et on a (par Holder ou Jensen),
\begin{eqnarray*}
\vert \varrho _n\ast f(x) - f(x) \vert^p&\leq &\left( \int_{\RR^N} \vert f(x-y)-f(x)\vert\varrho _n(y)dy \right)^p,\\
 &\leq & \int_{{B(0,\frac{1}{n})}} \vert f(x-y)-f(x)\vert^p\varrho _n(y)dy.
 \end{eqnarray*}
Donc, en utilisant Fubini, 
\begin{eqnarray*}
\Vert \varrho _n\ast f - f \Vert_{L^p(\omega )}^p&\leq&  \int_{{B(0,\frac{1}{n})}} \varrho _n(y) \int_{\omega }\vert f(x-y)-f(x)\vert^pdx\;dy,\\
 &=& \int_{{B(0,\frac{1}{n})}} \varrho _n(y) \Vert \tau _{-y}f - f \Vert_{L^p(\omega )}^p dy.
 \end{eqnarray*}
Si $n>\frac{1}{\delta }$, $B(0,\frac{1}{n})\subset B(0,\delta)$ et l'hypothèse $(\star )$ implique que, pour tout $f\in F$, $\Vert \varrho _n\ast f - f \Vert_{L^p(\omega )}^p <\varepsilon ^p$.\\
2) Comme $\varrho _n$ est continue et que $f\in L^p\subset L^1_{loc}$, le théorème 6.7 montre que $\varrho _n\ast f \in {\cal C}(\overline{\omega })$. Pour montrer que $H_n$ est relativement compact dans ${\cal C}(\overline{\omega })$, on utilise le théorème d'Ascoli ($\overline{\omega }$ est compact).\\
Montrons d'abord que $\forall x \in \overline{\omega }$, l'ensemble $\left\{\varrho _n\ast f(x), f\in F \right\}$ est borné. En effet, par Holder, pour tout $f\in F $, on a
$$\vert \varrho _n\ast f(x) \vert \leq \int_{\RR^N} \vert f(x-y) \vert \varrho _n(y) dy \leq \Vert f \Vert_p\Vert \varrho _n \Vert_{ p^{\prime}}\leq C \Vert \varrho _n \Vert_{ p^{\prime}}=C_n,$$
car $\Vert f \Vert_p \leq C$ pour tout $f\in F$.\\
Pour l'équicontinuité, on fixe un compact $K\supset \overline{\omega }+\overline{B(0,1)}$. Et, on écrit grâce à Holder, pour tous $x_1,x_2 \in \overline{\omega }$,
$$\vert \varrho _n\ast f(x_1)-\varrho _n\ast f(x_2)  \vert \leq C \Vert \varrho _n(x_1-.) - \varrho _n(x_2-.) \Vert_{ p^{\prime}}. $$
Maintenant, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à $\varrho _n$, pour tous $x_1,x_2,y \in \RR^N$, on peut écrire $\vert \varrho _n(x_1-y)-\varrho _n(x_2-y) \vert \leq \Vert x_1-x_2 \Vert \Vert \varrho _n^{\prime} \Vert_{\infty}$ car $\varrho _n$ est régulière et à support compact. On a donc
\begin{eqnarray*}
\int_{\RR^N} \vert \varrho _n(x_1-y)-\varrho _n(x_2-y) \vert^{p^{\prime}}dy&=&\int_{K} \vert \varrho _n(x_1-y)-\varrho _n(x_2-y) \vert^{p^{\prime}}dy,\\
 &\leq & \int_{K} \left( \Vert x_1-x_2 \Vert \Vert \varrho _n^{\prime} \Vert_{\infty}\right)^{p^{\prime}} dy,\\
 &\leq & \vert K \vert\; \Vert x_1-x_2 \Vert^{p^{\prime}}\Vert \varrho _n^{\prime} \Vert_{\infty}^{p^{\prime}}. 
 \end{eqnarray*}
Ce qui montre que la famille $H_n$ est équicontinue sur $\overline{\omega }$.\\
3) Soit $\varepsilon >0$, on fixe $n>\frac{1}{\delta }$ tel que $\Vert \varrho _n\ast f - f \Vert_{L^p(\omega )}<\varepsilon $ pour tout $f\in F$. Comme $\overline{H_n}$ est compact dans ${\cal C}(\overline{\omega })$, il existe un nombre fini d'éléments de $H_n$ que l'on note $\varrho _n\ast f_1,...,\varrho _n\ast f_N$ tels que $H_n\subset \displaystyle{\bigcup_1^N} B(\varrho _n\ast f_i, \varepsilon )$ dans $L^p(\omega )$ (car $\overline{\omega }$ est compact).\\
Si $f\in F$, il existe $i$ tel que $\varrho _n\ast f\in B(\varrho _n\ast f_i, \varepsilon )$, alors
$$\Vert f-f_i \Vert_{L^p(\omega )}\leq \Vert f-\varrho _n\ast f\Vert_{L^p(\omega )}+\Vert \varrho _n\ast (f-f_i)\Vert_{L^p(\omega )}+\Vert \varrho _n\ast f_i-f_i \Vert_{L^p(\omega )}\leq 3\varepsilon.$$
Ce qui montre que pour tout $\varepsilon >0$, la famille $F$ peut être recouverte par un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon $ dans $L^p(\omega )$. On conclut que $\overline{F}$ est compact dans $L^p(\omega )$ (adapter la démonstartion de l'exercice 16 TD1).
\fexo 

%\dexo \hfill \newline  
%\fexo


 \end{document}