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\begin{document}

{\raggedright  Analyse de Fourier\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2009-2010}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD  Révision \\}

\vspace{1cm}
\dexo
\hfill\newline 
 On note $\Omega=[0,2\pi]^2$ et $\partial \Omega$  son bord.
Supposons que $u\in C^\infty_{per}([0,2\pi]^2)$. On note $u(x_0,.)$ la restriction, ou ``trace'' de $u$ au segment $\{x_0\}\times [0,2\pi],$ $u(.,y_0)$ sa trace sur le segment $[0,2\pi]\times \{y_0\}.$ L'objectif de l'exercice est de montrer que si $u\in H^1([0,2\pi]^2)$, alors $u$ a une trace bien définie sur chaque segment du domaine, et en particulier sur le bord du domaine qui est l'union des quatre segments.\\
1) En utilisant que

$$u(x_0,y)=u(x,y)+\int_x^{x_0} \frac{\partial u}{\partial x}(t,y)dt,$$
déduire  que
$$|u(x_0,y)|\leq |u(x,y)|+ (2\pi)^\frac 12\left(\int_{x}^{x_0} |\frac{\partial u}{\partial x}|^2dt\right)^\frac 12.$$
 2) Par des intégrations adéquates en $x$ et  $y$,  déduire qu'il existe une constante $C$ telle que
$$||u(x_0,.)||^2_{L2([0,2\pi])}=\int_{[0,2\pi]} |u(x_0,y)2|dy\leq C||u||_{H^1_{per}([0,2\pi]^2)}^2.$$
 3) Théorème de trace: utilisant la densité de $C_{per}^\infty$ dans $H^1_{per}$, en déduire que si $u$ est dans $H^1_{per}([0,2\pi]^2)$, $u$ a un représentant qui vérifie l'inégalité de trace pour tout $x_0$, $y_0$, et en particulier sur le bord de $[0,2\pi]^2$.
\fexo
\dexo 
\hfill\newline 
1) Soit $a$ un élément non nul d'un espace de Hilbert réel $H$. On note $a^{\bot}=\left\{y \in H : (y,a)= 0 \right\}$. Démontrer que pour tout $x$ dans $H$,
$$d(x,a^{\bot})=\frac{\vert (x,a) \vert}{\Vert a \Vert}.$$
2) Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $H=L^2(0,1)$ défini par
$$F=\left\{ f \in H : \int^{1}_{0}f(t)dt =0 \right\}.$$
Déterminer $F^{\bot}$. Calculer la distance à $F$ de l'élément $f$ de $H$ défini par $f(x)=e^{x}$.
\fexo
 \dexo 
\hfill
\newline
Comparer $L^4(A)$ et $L^5(A)$ dans les cas $A=[0,1]$ et $A=\RR$.
\fexo
 \dexo 
\hfill
\newline
1) Soit $f=\II_{[0,1]}$, existe-t'il $g$ continue sur $\RR$ telle que $f=g$ p.p. ?\\
2) Les fonctions continues à support compact sont-elles denses dans $L^\infty(\RR)$ ? Justifier. 
\fexo
\dexo On pose, pour $x>0$, $\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$. \\
1) D\'{e}montrer que $\Gamma$ est de classe
$C^\infty$ sur $\rbrack 0, +\infty \lbrack$.\\
2) D\'{e}montrer
 que $\Gamma(x)\to +\infty$ quand $x\to 0$. (Utiliser le théorème de convergence monotone ) 
 \fexo
 \dexo 
\hfill
\newline
%1) Quelle est la limite faible dans $L^2(0,2\pi)$ de la suite $$u_n(x)=\frac{\sin^2(n^3x)}{x^{\frac{1}{3}}}?$$
%2) Quelle est la limite faible dans $L^2(\RR)$ de la suite $u_n(x)=\frac{2x^2+2+n^2-2nx}{(1+(x-n)^2)(1+x^2)}$?\\
%Vérifier d'abord que ces fonctions sont dans $L^2$.
On note $ {\ell}^{\infty} = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } 
\sup_n \vert x_n \vert < \infty \}$ que l'on munit de 
$ {\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_{n \geq 1} \vert x_n \vert.$ \\
Enfin, on note ${\cal C}_0 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que }
\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}} \vert x_n \vert = 0 \}$.\\
1) Vérifier que ${\ell}^{\infty}$ et ${\cal C}_0$ munis de $\Vert\,.\,\Vert_{\infty} $ sont complets.\\
2) Soit $y=(y_1,y_2,...) \in \RR$ tel que $\sum_{n \geq 1} \vert y_n\vert<\infty$, on définit 
%\begin{eqnarray*}
${\Lambda}_y : {\cal C}_0  \rightarrow \RR$ par ${\Lambda}_y(x) = \displaystyle{\sum_{n \geq 1}} x_n y_n$
%\end{eqnarray*}
si $x=(x_n)_n$. Montrer que ${\Lambda}_y$ est linéaire et continue sur ${\cal C}_0$. Calculer $\Vert {\Lambda}_y \Vert$.\\
3) a) Soit $e^n=(e^n_k)_k$ avec $e^n_k=\delta_{nk }$ pour tout $n$. Soit $x=(x_n)_n \in {\cal C}_0$, montrer que la suite $x^N=\sum_1^N x_ne^n $ converge vers $x$ dans ${\cal C}_0$.\\
b) Montrer que tout élément du dual topologique de ${\cal C}_0$ s'écrit comme un ${\Lambda}_y$ pour un certain $y$.
\fexo
\newpage
{\bf Corrigé}
\hfill
\newline
\dexer \hfill \newline 
1) Si $u$ est une fonction régulière $\in C^\infty_{per}([0,2\pi]^2)$ alors on peut écrire que $u(x_0,y)=u(x,y)+\int_{x_0}^x \frac{\partial u}{\partial x}(t,y)dt$ pour tout $(x_0,x,y)\in [0,2\pi]$. Puis en utilisant Cauchy-Schwarz, on obtient
$$\vert u(x_0,y)\vert \leq \vert u(x,y)\vert + \left(\int_{x_0}^x |\frac{\partial u}{\partial x}|^2dt\right)^\frac 12 \sqrt{2\pi}.$$
On a utilisé le fait que $\sqrt{\vert x-x_0\vert} \leq \sqrt{2\pi}$. \\
2) On élève l'inégalité ci-dessus au carré et on utilise $2ab\leq a^2+b^2$ alors
$$\vert u(x_0,y)\vert^2 \leq 2 \vert u(x,y)\vert^2 + 4\pi \int_{0}^{2\pi} |\frac{\partial u}{\partial x}|^2dt.$$
On intègre maintenant en $y$ sur $[0,2\pi]$, on a
$$\int_{0}^{2\pi} \vert u(x_0,y)\vert^2 dy \leq 2 \int_{0}^{2\pi} \vert u(x,y)\vert^2 dy + 4\pi \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi} |\frac{\partial u}{\partial x}|^2dtdy.$$
Enfin, on intègre en $x$, alors
$$2\pi \int_{0}^{2\pi} \vert u(x_0,y)\vert^2 dy \leq 2 \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \vert u(x,y)\vert^2 dydx + 8\pi^2 \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi} |\frac{\partial u}{\partial x}|^2dtdy \leq 8\pi^2 \Vert u \Vert^2_{H^1}.$$
3) On déduit de cette inégalité que l'application 
\begin{eqnarray*}
\gamma_{x_0} :C^\infty_{per}([0,2\pi]^2)&\rightarrow&L^2([0,2\pi]),\\
         u                        &\mapsto&u(x_0,.)
\end{eqnarray*}
est linéaire continue sur $C^\infty_{per}([0,2\pi]^2)$ muni de la norme $H^1$. Comme $C^\infty_{per}$ est dense dans $H^1_{per}$ et que l'espace d'arrivée $L^2([0,2\pi])$ est complet, on peut appliquer le théorème de prolongement des applications uniformément continues: $\gamma_{x_0}$ se prolonge de façon unique à $H^1_{per}$ tout entier en une application linéaire continue, appelée "trace", $\gamma_{x_0}:H^1_{per}\rightarrow L^2([0,2\pi])$ qui permet de définir $u(x_0,.)=\gamma_{x_0} u$. Et ceci, pour tout $x_0\in[0,2\pi]$.

\fexer
\dexer \hfill \newline 
1) Comme $\mathds{R} a$ est un s.e.v. fermé de $H$, on peut utiliser la décomposition en somme directe orthogonale (cf poly) qui donne ici $H= \mathds{R} a \oplus a^{\bot}$. Donc tout $x\in  H$ peut s'écrire $x=\lambda a+h$ avec $h\in a^{\bot}$. Alors $(x,a)=\lambda \Vert a \Vert^2$ d'où $$\Vert x-h \Vert= \vert \lambda \vert \Vert a \Vert = \frac{\vert (x,a)\vert}{\Vert a \Vert}.$$
Enfin, comme $h$ est précisemment la projection orthogonale de $x$ sur $a^{\bot}$, on en déduit le résultat.\\
2) On peut remarquer que $F=1^{\bot}$ donc $F^{\bot}=1^{\bot \bot}=vect{1}$. En utilisant 1), on a
$$d(f,F)=d(f,1^{\bot})=\frac{\vert \int_0^1 e^x dx \vert}{\Vert 1 \Vert}= e-1.$$
\fexer 
\dexer \hfill \newline 
Si $A=[0,1]$, montrons que $L^5(A)\subset L^4(A)$. Soit $f\in L^5(A)$, alors $\vert f \vert^4 \in L^{\frac{5}{4}}$ et $1\in L^p(A)$, $\forall p\geq 1$. L'inégalité de H{\"o}lder montre que
$$\int_0^1 \vert f \vert^4\leq \left(\int_0^1 \vert f \vert^5\right)^{\frac{4}{5}} \left(\int_0^1 1 \right)^{\frac{1}{5}}.$$
D'où $f\in L^4(A)$.\\
Si $A=\mathds{R}$, $L^5(A)$ et $L^4(A)$ ne sont pas "comparables". On va chercher d'abord une fonction $f\in L^5(\mathds{R}]$ qui n'est pas dans $L^4(\mathds{R})$ sous la forme $f(x)=1/\vert x \vert^{\alpha }$ si $\vert x \vert\geq 1$ et $f(x)=1$ sinon. Donc on voudrait $$\int_{\vert x \vert\geq 1} \frac{dx}{\vert x \vert^{5\alpha }} < \infty \,\,\mbox{et} \,\,\int_{\vert x \vert\geq 1} \frac{dx}{\vert x \vert^{4\alpha }} = \infty.$$
On peut prendre par exemple $\alpha = \frac{1}{4}$.\\
Maintenant on cherche $f$ dans $L^4(\mathds{R})$ qui n'est pas dans $L^5(\mathds{R})$. On la cherche sous la forme $f(x)=1/\vert x \vert^{\alpha }$ si $\vert x \vert\leq 1$ et $f(x)=0$ sinon. Cette fois, on veut $4\alpha <1$ et $5\alpha \geq 1$ donc $\alpha = \frac{1}{5}$ convient.
\fexer
\dexer
\hfill \newline
2) Non, sinon toute fonction de $L^{\infty}$ serait (égale p.p. à une fonction) continue, ce qui est faux.
\fexer
\dexer
\hfill \newline
1) $\forall t>0$, $x \mapsto e^{-t}\, t^{x-1}$ est ${\cal C}^{\infty}$ sur
${\RR}^{+\star}$ et pour $x>0$ fix{é}, $t \mapsto e^{-t}\, t^{x-1} \in
L^1(]0,+\infty[)$. Enfin, $\forall [a,b] \subset ]0,+\infty[$ et pour tout $x
\in [a,b]$, on a,
$$\vert e^{-t}\, t^{x-1} \vert \leq \II_{(0,1)} e^{-t}\, t^{a-1} +
\II_{(1,+\infty)} e^{-t}\, t^{b-1} \in L^1(0,+\infty).$$ Par le
th{é}or{è}me de continuit{é} des int{é}grales d{é}pendant d'un
param{è}tre, on conclut que $\Gamma$ est continue sur $]0,+\infty[$.\\
$\forall k$, $\frac{\partial}{\partial x^k} (e^{-t}\, t^{x-1}) = e^{-t}(\log
t)^k t^{x-1}$ et
$$\vert \frac{\partial}{\partial x^k} (e^{-t}\, t^{x-1}) \vert \leq \II_{(0,1)}
e^{-t}\vert \log t\vert^k t^{a-1} + \II_{(1,+\infty)} e^{-t}\vert \log t
\vert^k t^{b-1} \in L^1(0,+\infty),$$ $\forall x \in [a,b] \subset ]0,+\infty[$.
Donc le th{é}or{è}me de d{é}rivation sous le signe somme montre que
$\Gamma$ est ${\cal C}^k$ sur $]0,+\infty[$, $\forall k$, donc est ${\cal
C}^{\infty}$ sur $\RR^{+\star}$.\\
2) Quand $x \longrightarrow  0$, le théorème de convergence monotone nous dit que
$$\Gamma (x)\geq \int_0^1e^{-t}t^{x-1}dt\to \int_0^1 \frac
{e^{-t}}{t}dt=+\infty.$$
\fexer
%\dexer \fexer
\dexer  
\hfill
\newline
%1) D'abord $u_n \in L^2(0,2\pi)$ car $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ est dans $L^2(0,2\pi)$.\\ \\
%On a $\sin^2(n^3x)=\frac 12 (1-\cos(2n^3x))$ et $\cos(2n^3x)$ est une sous-suite de $\cos(kx)$ qui tend faiblement vers $0$ (lemme de Riemann-Lebesgue). Donc $u_n$ tend faiblement vers $\frac{1}{2x^{\frac{1}{3}}}$.\\
%2) On écrit $u_n(x)=\frac{1}{1+(x-n)^2}+\frac{1}{1+x^2}$. Donc déjà, $u_n \in L^2$. Si $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$, finalement $u_n(x)=g(x-n)+g(x)$. Le premier terme se comporte comme une "bosse roulante" et tend faiblement vers $0$ (le vérifier). Donc la suite $u_n$ converge faiblement vers $g$ dans $L^2$.
%\fexer
Commençons par montrer que $\linf$ est complet. Soit $(x^k)_k$ une suite de Cauchy dans $\linf$. On note pour tout $k$, $x^k=(x_j^k)_j$. On a alors, pour toute coordonnée $j$, $\vert x_j^k-x_j^l \vert\leq \Vert x^k-x^l \Vert_{\infty}$. Donc pour tout $j$, la suite $(x_j^k)_k$ est de Cauchy dans $\RR$, elle converge vers un certain $x_j\in \RR$. Posons $x=(x_j)_j$. Vérifions que $x\in \linf$ et que la suite $(x^k)_k$ converge vers $x$ dans $\linf$.\\ On sait que $\forall \varepsilon >0$, $\exists N$ tel que $\forall j\geq 1$, $\forall k,l\geq N$,
$$\vert x_j^k-x_j^l \vert\leq \sup_{i} \vert x_i^k-x_i^l \vert \leq \varepsilon.$$
On fixe $j$ et on fait tendre $l$ vers l'infini alors $\vert x_j^k-x_j \vert \leq \varepsilon$, et ceci pour tout $j$ et pour tout $k\geq N$. Donc $\sup_{i} \vert x_i^k-x_i \vert \leq \varepsilon$, pour tout $k\geq N$. En particulier, $x^k-x \in \linf$, donc $x= x-x^k+x^k \in \linf$ et la suite $(x^k)_k$ converge vers $x$ dans $\linf$.
On remarque déjà que ${\cal C}_0 \subset \linf$. Montrons que ${\cal C}_0$ est fermé:\\
Soit $(x^k)_k$ une suite dans ${\cal C}_0$ qui converge vers $x=(x_j)_j \in \linf$, montrons que $x \in {\cal C}_0$.\\
 On note pour tout $k$, $x^k=(x_j^k)_j$. On a alors, $\forall \varepsilon >0$, $\exists N$ tel que $\forall j\geq 1$, $\forall k\geq N$, $\vert x_j^k-x_j \vert\leq \Vert x^k-x \Vert_{\infty} \leq \varepsilon$. Comme $x^N \in {\cal C}_0$, il existe $N_1$ tel que $\forall j\geq N_1$, $\vert x_j^{N_1}\vert\leq \varepsilon$. On en déduit que 
$\forall j\geq N_1$, $ \vert x_j\vert\leq  \vert x_j^{N_1}\vert+\varepsilon \leq 2\varepsilon$.\\ 
2) On pose $f={\Lambda}_y$. D'abord $f \in (C_0)^{\prime}$ car elle est linéaire et $\vert f(x) \vert \leq \sum_{n} \vert y_n \vert\, \Vert x \Vert_{\infty}$ pour tout $x\in C_0$. En particulier $\Vert f \Vert \leq \sum_{n} \vert y_n \vert$.\\
Montrons que $\Vert f \Vert = \sum_{n} \vert y_n \vert$.\\
Soit $x\in C_0$ défini par $x_n=sign(y_n)$ si $n\leq N$ et $x_n=0$ sinon. Alors $\Vert x \Vert_{\infty}=1$ et $f(x)=\sum_1^N \vert y_n \vert \leq \Vert f \Vert$. C'est vrai pour tout $N$, on en déduit que $\Vert f \Vert= \sum_{n} \vert y_n \vert$. \\
3) a) Soit $x=(x_n)_n \in {\cal C}_0$, montrons que la suite $x^N=\sum_1^N x_ne^n $ converge vers $x$ dans ${\cal C}_0$.\\
Chaque $x^N$ est bien dans ${\cal C}_0$ puisque tous les termes de la suite sont nuls à partir d'un certain rang.
Comme $x \in {\cal C}_0$, $\forall \varepsilon >0$, $\exists N_0$, $\forall n\geq N_0$, $\vert x_n\vert\leq \varepsilon$. Donc, $\forall N\geq N_0$, $\Vert x^N-x \Vert_{\infty}=\sup_{n\geq N+1}\vert x_n\vert\leq \sup_{n\geq N_0+1}\vert x_n\vert\leq \varepsilon$.\\
b) On note $E$ l'espace des suites réelles $y=(y_n)_n$ telles que la série $\sum_{n} \vert y_n \vert$ converge. Soit maintenant $f\in (C_0)^{\prime}$ et $y_n=f(e^n)$ où $e^n=(e^n_k)_k$ avec $e^n_k=\delta_{nk }$. 
Comme $f$ est continue sur ${\cal C}_0$, en utilisant a), on voit que $f(x^N)=\sum_{n=1}^N x_n f(e^n)\rightarrow f(x)$. Donc $f(x)=\sum_n x_n f(e^n)$.\\
Il reste à vérifier que $y=(y_n)_n \in E$.\\
Soit $x$ défini par $x_n=sign(y_n)$ si $n\leq N$ et $x_n=0$, alors $f(x)=\sum_1^N \vert y_n \vert \leq \Vert f \Vert$. Et c'est vrai pour tout $N$, d'où $y \in E$.\fexer
 \end{document}