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% ensembles Q R N Z C
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% Suppression de l'indentation
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse de Fourier\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2009-2010}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD  Distributions 2 \\}

\vspace{1cm}
\dexo Valeur principale
\hfill \newline \newline
1) Soit $\fep(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}}$ si $\vert x \vert\geq \ep$ et $\fep(x)=0$ sinon. \\Vérifier que $\forall \ep>0$, $\fep \in \DPI$ et montrer que $(\fep)_{\ep}$ converge au sens des distributions pour $\ep\rightarrow 0^+$.\\
2) On définit ainsi une distribution, appelée {\bf valeur principale} de $\frac{1}{x}$, notée $vp(\frac{1}{x})$, par
$$\forall \vfi \in \DI,\quad <vp(\frac{1}{x}),\vfi>=\lim_{\ep\rightarrow 0^+} \int_{\vert x \vert\geq \ep}\frac{\vfi(x)}{x}dx.$$
Montrer que $vp(\frac{1}{x})$ est d'ordre $1$ sur $\RR$. On pourra utiliser la suite $(\vfi_n)_n\subset \DI$ construite de la façon suivante : pour tout $n$, $\vfi_n$ est impaire, $supp(\vfi_n)\subset ]-1,1[$, $\Vert \vfi_n \Vert_{\infty }=1$ et $\vfi_n(x)= 1$ si $x\in \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]$, $\vfi_n(x)=0$, si $ x\in \left[0,\frac{1}{2n}\right]\cup\left[1-\frac{1}{2n},1\right]$, 
%\begin{eqnarray*}
%\vfi_n(x) &=& 1, x\in \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right],\\
%          &=& 0, x\in \left[0,\frac{1}{2n}\right]\cup\left[1-\frac{1}{2n},1\right],
%          & & \mbox{raccord ${\cal C}^{\infty}$ dans } \left[\frac{1}{2n},\frac{1}{n} \right]\cup\left[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{2n}\right].
%\end{eqnarray*}
avec un raccord ${\cal C}^{\infty}$ entre $0$ et $1$ sur $\left[\frac{1}{2n},\frac{1}{n} \right]\cup\left[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{2n}\right]$ (faire un dessin).\\
3) Vérifier que $xvp(\frac{1}{x})=1$ dans $\DPI$.\\
4) Soit $\theta_0 \in \DI$ telle que $\theta_0(0) = 1$.\\
Montrer que $\forall \varphi \in \DI$, $\exists g \in \DI$ telle que $\varphi(x)- \varphi(0)\theta_0(x)=xg(x)$, $\forall x \in \RR$.\\
5) Soit $T\in \DPI$ telle que $xT=0$, montrer que $T=c\delta_0$ où $c$ est une constante.\\
6) Soit $T\in \DPI$ telle que $xT=1$, montrer que $T=vp(\frac{1}{x})+c\delta_0$ où $c$ est une constante.\fexo

\dexo Laplacien en coordonnées polaires
\hfill \newline \newline
Soit $f\in {\cal C}^2(\mathds{R}^2\setminus \left\{0\right\})$. Montrer que si $r>0$,
$$\Delta f(r\cos\teta,r\sin\theta)=\left( \frac 1r \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac 1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\right)f(r\cos\teta,r\sin\theta).$$
%on pose $F(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$
Indication : vérifier déjà que $$r\frac{\partial f}{\partial r}=r\cos\theta\frac{\partial f}{\partial x}+ r\sin\theta\frac{\partial f}{\partial y} \quad \mbox{ et }\quad \frac{\partial f}{\partial \theta}=r\cos\theta\frac{\partial f}{\partial y}- r\sin\theta\frac{\partial f}{\partial x}.$$
\fexo
\dexo Solution élémentaire du Laplacien en dimension 2
\hfill \newline \newline
Soit $f(x,y)=\log r$ où $r = \sqrt{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \in \mathds{R}^2$.\\
1) Montrer que $\dd f(x,y)=0$ si $(x,y)\not= (0,0)$.\\
2) 
%Montrer que $f \in \DPII$.\\
Montrer que $f \in L^1_{loc}(\mathds{R}^2)$.\\
3) Montrer que pour toute $\varphi \in {\cal C}^{\infty}_c( \mathds{R}^2)$,
$$<\dd f,\vfi>= \int_{\mathds{R}^2} f \dd \varphi dxdy= \lim_{\ep \rightarrow 0} \int_{r\geq \ep} f \dd \varphi dxdy.$$
4) Montrer que 
%En passant en coordonnées polaires, 
%$$\int_{r\geq \ep} f \dd \varphi dxdy.$$
%5) En déduire que 
$$\dd \log r= 2\pi \delta_0 \mbox{  dans  } {\cal D}^{\prime}( \mathds{R}^2),$$
où $\delta_0$ est la masse de Dirac en $(0,0)$.
\fexo
\dexo Inégalité de Poincaré-Wirtinger.
\hfill \newline \newline
Soit $L^2_{p}$, l'ensemble des fonctions $2\pi$-périodiques et de carré intégrable sur $\mathds{R}$, et
$H^1_p$, l'espace de Sobolev des fonctions de $L^2_{p}$ qui admettent une dérivée au sens des distributions dans $L^2_{p}$.\\
Pour $u \in H^1_p$, on pose $m(u)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} udx}$. Montrer que
$$\Vert u-m(u) \Vert_{L^2_{p}} \leq \Vert u^{\prime} \Vert_{L^2_{p}}.$$
Montrer que cette inégalité est une égalité si et seulement si $u$ s'écrit $$u(x)=a+be^{ix}+ce^{-ix},\quad \forall x \in \mathds{R},$$
où $a,b,c$ sont des constantes.
\fexo
\newpage
{\bf Corrigé}
\hfill
\newline
\dexer  
\hfill
\newline
1) $\fep \in L^1_{loc}(\mathds{R})$ donc définit une distribution sur $\mathds{R}$.\\
Soit $\varphi \in \DI$ avec $supp(\varphi)\subset \overline{B}(0,R)$ alors
$$<\fep,\varphi>=\int_{\vert x \vert \geq \ep} \frac{\varphi(x)}{x} dx = \int_{R\geq \vert x \vert \geq \ep} \left(\frac{\varphi(x)- \varphi(0) }{x}\right) dx,$$
car la fonction $1/x$ est impaire.\\
Dans le membre de droite, $\left|\frac{\varphi(x)- \varphi(0) }{x} \right|\leq \Vert \varphi^{\prime} \Vert_{\infty}$ 
(accroissements finis) et $\Vert \varphi^{\prime} \Vert_{\infty} \in L^1(-R,R)$. L'intégrale a donc une limite quand $\ep \rightarrow 0$, qui est: $\displaystyle{\int_{-R}^R \left(\frac{\varphi(x)- \varphi(0) }{x}\right) dx}$.\\
On peut donc définir $<vp(\frac{1}{x}),\vfi>=\displaystyle{\lim_{\ep\rightarrow 0^+} \int_{\vert x \vert\geq \ep}\frac{\vfi(x)}{x}dx}.$\\
2) Si $K$ est un compact de $\mathds{R}$, $K\subset [-R,R]$, on a
$$\left|\int_{-R}^R \left(\frac{\varphi(x)- \varphi(0) }{x}\right) dx\right|\leq 2R \Vert \varphi^{\prime} \Vert_{\infty}.$$
Donc, $\left| <vp(\frac{1}{x}),\vfi>\right|\leq 2R \Vert \varphi^{\prime} \Vert_{\infty}$ pour toute $\varphi \in \DI$ avec $supp(\varphi)\subset K$. On en déduit que $vp(\frac{1}{x})$ est d'ordre $\leq 1$ sur $\mathds{R}$.\\
Montrons qu'elle n'est pas d'ordre $0$. On utilise $\vfi_n$,
\begin{eqnarray*}
<vp(\frac{1}{x}),\vfi_n>&=&\int_{-1}^1 \frac{\vfi_n(x)}{x} dx=2 \int_0^1 \frac{\vfi_n(x)}{x} dx,\\
                        &\geq& 2 \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \frac{dx}{x}=2\log(n-1).
\end{eqnarray*}
Si $K=[-1,1]$, il n'existe donc pas de constante $C>0$ telle que  $\forall \varphi \in \DI$ avec $supp(\varphi)\subsetK$, $\left| <vp(\frac{1}{x}),\vfi>\right|\leq C  \Vert \varphi \Vert_{\infty}$. Donc $vp(\frac{1}{x})$ est d'ordre $1$.\\
3) $x\mapsto x \in {\cal C}^{\infty}(\mathds{R})$ donc $xvp(\frac{1}{x}) \in \DPI$ et $\forall \varphi \in \DI$,
\begin{eqnarray*}
<xvp(\frac{1}{x}),\vfi>&=&<vp(\frac{1}{x}),x\vfi>,\\
                       &=& \lim_{\ep\rightarrow 0} \int_{\vert x \vert \geq \ep} \vfi dx = \int_{\mathds{R}} \vfi dx,\\
                       &=& <1,\vfi>.
\end{eqnarray*}
D'où $xvp(\frac{1}{x})=1$ dans $\DPI$.\\
4) La fonction $x\mapsto \vfi(x)-\vfi(0)\theta_0(x) \in \DI$, est nulle en $x=0$, donc la formule de Taylor avec reste intégral donne
$$\vfi(x)-\vfi(0)\theta_0(x)=x\int_0^1 (\vfi^{\prime}(tx)-\vfi(0)\theta_0^{\prime}(tx)) dt =: xg(x).$$
Par le TDSSS, il est facile de voir que $g \in {\cal C}^{\infty}(\mathds{R})$ ($\vfi,\theta_0 \in \DI$).\\
Si $supp(\vfi)\cup supp(\theta_0) \subset [-R,R]$ alors pour $\vert x \vert > R$, 
$$g(x)=\frac{\vfi(x)-\vfi(0)\theta_0(x)}{x} \equiv 0,$$
d'où $supp(g)\subset [-R,R]$ et $g \in \DI$.\\
5) Si $xT=0$ dans $\DPI$ alors en utilisant 4) on a
$$<xT,g>=0=<T,xg>=<T,\vfi>-\vfi(0)<T,\theta_0>,\quad \forall \vfi \in \DI.$$
Donc $T=<T,\theta_0> \delta_0=C \delta_0$.\\
6) Soit $T \in \DPI$ avec $xT=1$. On sait que $xvp(\frac{1}{x})=1$ donc $x(T-vp(\frac{1}{x}))=0$. Par 5) on en déduit que $T=vp(\frac{1}{x})+ C \delta_0$ où $C$ est une constante.\fexer
\dexer \fexer
\dexer  
\hfill
\newline
1) $f \in {\cal C}^{\infty}(\mathds{R}^2\setminus \left\{0\right\})$. En $(x,y)\not= (0,0)$, on a (au sens des fonctions):
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r^2},\quad \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{y}{r^2}.$$
Puis $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{1}{r^2}+x(-\frac{2}{r^3})\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{r^2}-\frac{2x^2}{r^4}.$$
De même $\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{1}{r^2}-\frac{2y^2}{r^4}}$. D'où $\dd f(x,y) = 0$ en dehors de $0$.\\
Ou bien avec l'exercice 2, pour tout $r>0$,
$$\dd f= \frac 1r \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial}{\partial r}\log r \right)=  \frac 1r \frac{\partial}{\partial r}(1)=0.$$
2) Soit $K$ un compact de $\mathds{R}^2$ alors $K \subset \overline{B}(0,R)$.\\ En appliquant le théorème de changement de variables à $\vert f \vert \geq 0$, on a
$$\int_K \vert \log r \vert dxdy \leq \int_{\overline{B}(0,R)} \vert \log r \vert dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \vert \log r \vert dr d\theta < \infty.$$
Donc $f \in L^1_{loc}(\mathds{R}^2)$.\\
3) On vient de voir que $f$ définit une distribution sur $\mathds{R}^2$. Si $\vfi \in \DII$ alors
$$<\dd f,\vfi>=<f,\dd \vfi>=\int_{\mathds{R}^2}f \dd \vfi dxdy,$$
car $f \in L^1_{loc}(\mathds{R}^2)$. Puis
$$\int_{\mathds{R}^2}f \dd \vfi dxdy = \lim_{\ep \rightarrow 0} \int_{r\geq \ep} f \dd \vfi dx dy,$$
grâce au TCD.\\
4) On note $I_{\ep}=\displaystyle{\int_{r\geq \ep} f \dd \vfi dx dy}$ et on passe en coordonnées polaires dans cette intégrale. \\
Si $\vfi \in \DII$, on pose $\tilde{\vfi}(r,\theta)=\vfi(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Enfin, soit $R>0$ tel que $supp(\vfi)\subset \overline{B}(0,\frac{R}{2})$. Alors
$$I_{\ep}= \int_0^{2\pi} \int_{\ep}^R \left[ \log r \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r} \right)+\frac{\log r}{r} \frac{\partial^2 \tilde{\vfi} }{\partial \theta^2}\right] dr d\theta.$$
On remarque que $\displaystyle{\int_0^{2\pi} \frac{\partial^2 \tilde{\vfi} }{\partial \theta^2} d\theta = 0}$ car la fonction $\displaystyle{\frac{\partial \tilde{\vfi} }{\partial \theta}}$ est $2\pi$ périodique.\\ \\
D'autre part, en intégrant par parties, on a
\begin{eqnarray*}
\int_{\ep}^R \log r \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r} \right) dr &=& - \int_{\ep}^R \frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r} dr + \left[ r\frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r} \log r \right]_{\ep}^R,\\
&=& \tilde{\vfi}(\ep,\theta)-\ep \log \ep \frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r}(\ep,\theta),
\end{eqnarray*}
puisque $\tilde{\vfi}(R,\theta)=\displaystyle{\frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r}(R,\theta)}=0$.
Donc 
$$I_{\ep}=\int_0^{2\pi} \tilde{\vfi}(\ep,\theta) d\theta - \int_0^{2\pi} \ep \log \ep \frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r}(\ep,\theta) d\theta.$$
Soit $M>0$ tel que $\forall \theta \in [0,2\pi]$, $\forall r \leq R$, $\displaystyle{\left| \frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r}(r,\theta)\right| \leq M}$ alors
$$\left| \int_0^{2\pi} \ep \log \ep \frac{\partial \tilde{\vfi}}{\partial r}(\ep,\theta) d\theta \right|\leq M \ep \vert \log \ep \vert \rightarrow 0,$$
quand $\ep \rightarrow 0$.\\
Enfin, $\tilde{\vfi}(\ep,\theta) \rightarrow \vfi(0,0)$ quand $\ep \rightarrow 0$ et $\vert \tilde{\vfi}(\ep,\theta) \vert \leq \Vert \vfi \Vert_{\infty}$, $\forall \ep, \theta,$ donc le TCD permet de voir que
$$\lim_{\ep \rightarrow 0} I_{\ep}= 2\pi \vfi(0,0).$$
On en déduit que $\forall \vfi \in \DII$,
$$<\dd f,\vfi>=\lim_{\ep \rightarrow 0} I_{\ep}= 2\pi \vfi(0,0)=<2\pi \delta_0,\vfi>.$$
D'où $\dd f = 2\pi \delta_0$ dans $\DPII$.
\fexer
\dexer  
\hfill
\newline
Soit $u \in H^1_p$, on considère ses coefficients de Fourier $c_k(u)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u e^{-ikx}dx}$ pour $k\in \mathds{Z}$. Alors, d'une part $u-m(u)=\sum_{k\not=0} c_k(u) e^{ikx}$ et d'autre part \\$c_k(u)=\frac{c_k(u^{\prime})}{ik}$ si $k\not= 0$. On a donc
$$\Vert u-m(u) \Vert_2^2 = \sum_{k\not=0} \vert c_k(u)\vert^2 = \sum_{k\not=0} \frac{1}{k^2} \vert c_k(u^{\prime})\vert^2 \leq \sum_{k\not=0} \vert c_k(u^{\prime})\vert^2 = \Vert u^{\prime} \Vert_2^2.$$
%$$\Vert u-m(u) \Vert_{L^2_{p}} \leq \Vert u^{\prime} \Vert_{L^2_{p}}.$$
Si $u(x)=a+be^{ix}+ce^{-ix}$, il est facile de voir que l'inégalité ci-dessus est en fait une égalité.\\
Maintenant si $u$ satisfait l'égalité $\Vert u-m(u) \Vert_{L^2_{p}}=\Vert u^{\prime} \Vert_{L^2_{p}}$. Toutes les inégalités ci-dessus sont des égalités et en particulier, on a
$$\sum_{k\not=0} \vert c_k(u^{\prime})\vert^2 (1-\frac{1}{k^2})=0.$$
Or cette série est à termes positifs donc nécessairement $\vert c_k(u^{\prime})\vert^2 (1-\frac{1}{k^2})=0$ pour tout entier $k$ non nul. On en déduit que s'il existe un $k\not=0$ tel que $c_k(u^{\prime}) \not= 0$ alors $k=\pm 1$. D'où la forme de $u$.
\fexer
 \end{document}