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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse fonctionnelle\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2007-2008}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD  Distributions 2 \\}

\vspace{1cm}
\dexo Valeur principale
\hfill \newline \newline
1) Soit $\fep(x)=\frac{1}{x}$ si $\vert x \vert\geq \ep$ et $\fep(x)=0$ sinon. Vérifier que $\forall \ep>0$, $\fep \in \DPI$ et montrer que $(\fep)_{\ep}$ converge au sens des distributions pour $\ep\rightarrow 0^+$.\\
2) On définit ainsi une distribution, appelée {\bf valeur principale} de $\frac{1}{x}$, notée $vp(\frac{1}{x})$, par
$$\forall \vfi \in \DI,\quad <vp(\frac{1}{x}),\vfi>=\lim_{\ep\rightarrow 0^+} \int_{\vert x \vert\geq \ep}\frac{\vfi(x)}{x}dx.$$
Montrer que $vp(\frac{1}{x})$ est d'ordre $1$ sur $\RR$. On pourra utiliser la suite $(\vfi_n)_n\subset \DI$ ci-dessous.\\ 
\vspace{5cm}\\
3) Vérifier que $xvp(\frac{1}{x})=1$ dans $\DPI$.\\
4) Soit $\theta_0 \in \DI$ telle que $\theta_0(0) = 1$.\\
Montrer que $\forall \varphi \in \DI$, $\exists g \in \DI$ telle que $\varphi(x)- \varphi(0)\theta_0(x)=xg(x)$, $\forall x \in \RR$.\\
5) Soit $T\in \DPI$ telle que $xT=0$, montrer que $T=c\delta_0$ où $c$ est une constante.\\
6) Soit $T\in \DPI$ telle que $xT=1$, montrer que $T=vp(\frac{1}{x})+c\delta_0$ où $c$ est une constante.\fexo
\dexo Densité des fonctions régulières dans $H^1(\RR)$
\hfill \newline \newline
Soit $(\varrho _n)_n$ une suite régularisante c'est-à-dire $\forall n$, $\varrho _n \in \DI$, est positive, à support compact inclus dans $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$ et vérifie $\int \varrho _n =1$.\\
Soit $u\in H^1(\RR)$.\\
1) Vérifier que pour tout $n$, $\varrho _n\ast u\in L^2(\RR)$ et montrer que pour tout $\varphi \in \DI$,
$$\int (\varrho _n\ast u) \varphi ^{\prime} dx= - \int (\varrho _n\ast u^{\prime}) \varphi dx.$$
En déduire que $\varrho _n\ast u \in H^1(\RR)$ et que $(\varrho _n\ast u)^{\prime}=\varrho _n\ast u^{\prime}$.\\
2) Soit $\zeta \in \DI$ telle que $0\leq \zeta \leq 1$, avec $\zeta \equiv 1$ pour $\vert x \vert\leq 1$ et $\zeta \equiv 0$ pour $\vert x \vert\geq 2$.\\
On pose $\zeta _n(x)=\zeta (\frac{x}{n})$ pour $n\geq 1$ et $u_n(x)=\zeta _n(x)\varrho _n\ast u(x)$ pour $x\in \RR$. \\
Vérifier que pour tout $n$, $u_n \in \DI$. \\En écrivant $u_n-u=\zeta _n(\varrho _n\ast u-u)+\zeta _nu-u$, montrer que $u_n\longrightarrow u$ dans $H^1(\RR)$.

\fexo
 \end{document}