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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse de Fourier \hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2009-2010 }


\vspace{0.5cm}

{\centering TD  Distributions  \\}

\vspace{0.5cm}
Introduction \\
Dans tout ce qui suit $I$ désigne un intervalle ouvert de $\mathds{R}$ (non nécessairement borné). \\
{\bf Définition} : Soit $T$ une forme linéaire sur $\D(I)$, on dit que $T$ est une {\bf distribution} sur $I$ si $\forall K$ compact $\subset I$, $\exists p_K \in \mathds{N}$, $\exists C_K>0$ tels que $\forall \varphi \in \D(I)$ avec $supp(\varphi )\subset K$ on a 
$$\vert T(\varphi ) = <T,\varphi > \vert \leq C_K \max_{i\leq p_K}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i)}(x)\vert \quad (*).$$
C'est une condition de continuité.\\
On note $\Dp(I)$ l'ensemble des distributions sur $I$.\hfill
\newline
{\bf Convergence} :Soit $(T_n)_n \subset \Dp(I)$ et soit $T \in \Dp(I)$. On dit que $T_n\rightarrow T$ dans $\Dp(I)$ si $\forall \varphi \in \D(I)$, $T_n(\varphi ) \longrightarrow T(\varphi )$.\hfill
\newline
\dexer Distribution fonction
\hfill
\newline
Soit $f\in L^1_{loc}(\mathds{R})$, montrer que $T_f : \varphi \mapsto \int f\varphi $ est une distribution sur $\mathds{R}$. 
On note $i:L^1_{loc}(\mathds{R})\rightarrow {\cal D}^{\prime}(\mathds{R})$ qui à $f$ associe la distribution $T_f$.\\
Montrer que $i$ est injective, c'est-à-dire : Soient $f,g \in L^1_{loc}(\mathds{R})$, on suppose que $\int (f-g) \varphi =0$ pour toute $\varphi \in {\cal D}(\mathds{R})$, montrer que $f=g$ p.p.\\
On identifie désormais $f$ et $T_f$ quand $f$ est $L^1_{loc}$.\\
%Montrer que $i$ n'est pas surjective. Pour cela, vérifier que $\delta_0 : \varphi \mapsto \varphi (0)$ est une distribution et montrer qu'il n'existe pas de fonction $f \in L^1_{loc}(\mathds{R})$ telle que $\delta _0=T_f$.\\
Montrer que $i$ est séquentiellement continue: si $T_n\rightarrow T$ dans $L^1_{loc}(\mathds{R})$ alors $T_n \rightarrow T$ dans ${\cal D}^{\prime}(\mathds{R})$.
\fexer
\dexer 
\hfill \newline
Montrer que la masse de Dirac en $x$ définie par $<\delta_x,\varphi>=\varphi (x)$ est une distribution sur $\mathds{R}$.\\
Montrer qu'il en est de même pour $<\delta_x^{(k)},\varphi>=(-1)^k \varphi^{(k)} (x)$ et pour le peigne de Dirac $u=\sum_n \delta_{2\pi n}$.\fexer
\dexer Formule des sauts
\hfill \newline
Soit $f$ une fonction définie sur $I=]a,b[$. On suppose qu'il existe un nombre fini de points $a_0,a_1,...,a_N$ tels que 
$a=a_0<a_1<a_2<...<a_N=b$. On suppose que pour tout $i=0,N-1$, $f\in {\cal C}^1(]a_i,a_{i+1}[)$ et que $f,f^{\prime}$ sont continues sur $]a_0,a_1]$,$[a_1,a_2]$,...,$[a_{N-1},a_N[$. \\
Montrer que $$f^{\prime}=\left\{f^{\prime}\right\}+\sum_{i=1}^{N-1} (f(a_i^+)-f(a_i^-))\delta_{a_i},$$
où $f^{\prime}$ désigne la dérivée de $f$ au sens des distributions et $\left\{f^{\prime}\right\}$ sa dérivée usuelle qui est ici une fonction continue par morceaux.\\
On peut généraliser cette formule à une suite de points $(a_i)_i$ discrète.
\fexer
\dexer Formule de Poisson
\hfill
\newline
1) Soit $f(x)=\pi -x$ si $x\in [0,2\pi [$, $2\pi $-périodique sur $\mathds{R}$.\\
Vérifier que $f\in L^1_{loc}(\mathds{R})$ et montrer que dans $\Dp(\mathds{R})$ on a
$$ f^{\prime}= -1 + 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta_{2\pi n}.$$
2) On pose $c_n(f)= \frac{1}{2\pi } \int_0^{2\pi } f(x)e^{-inx} dx$, pour $n\in \mathds{Z}$ (ce sont les coefficients de Fourier de $f$). \\Calculer $c_n(f)$ pour tout $n$.\\
Puis montrer que 
$$f^{\prime}(x)= \sum_{n\not= 0} e^{inx}\quad \mbox{dans } \, \Dp(\mathds{R}).$$
3) En déduire la formule de Poisson:
$$\frac{1}{2\pi } \sum_{n} e^{inx} = \sum_{n} \delta_{2\pi n}  \quad \mbox{dans } \, \Dp(\mathds{R}).$$
\fexer
{\bf Remarque:}\\
La série à gauche est divergente au sens des fonctions mais convergente au sens des distributions vers le peigne de Dirac (série à droite) dont elle constitue le développement en série de Fourier.
\dexer Ordre d'une distribution
\hfill \newline
On appelle ordre d'une distribution sur un compact $K$ le plus petit entier positif $p_K$ tel que la relation $(*)$ soit vraie.\\
1) Montrer que l'ordre d'une fonction de $L^1_{loc}$ est zéro sur tout compact.\\
2) Soit $\mu$ une mesure bornée, c'est-à-dire une forme linéaire continue sur $\Cb(\mathds{R})$, l'espace des fonctions continues et bornées muni de la norme de la convergence uniforme. Montrer que $\mu$ est une distribution sur $\mathds{R}$ d'ordre zéro.\\
3) Montrer que si l'ordre d'une distribution $u$ sur $K$ est $p$, alors l'ordre de $u^{\prime}$ est inférieur ou égal à $p+1$. Donner un exemple où cette inégalité est stricte.\fexer
\dexer Produit $\Cinf(I)$ par $\Dp(I)$
\hfill
\newline
Soit $f\in \Cinf(I)$ et soit $T\in \Dp(I)$, montrer que $fT\in \Dp(I)$.\fexer
\dexer  
\hfill
\newline
Montrer que $x\delta_0^{\prime}=-\delta_0$ dans $\Dp(\mathds{R})$.\fexer
\dexer La masse de Dirac n'est pas une fonction
\hfill
\newline
Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f \in L^1_{loc}(\mathds{R})$ telle que $\forall \varphi \in \D(\mathds{R})$,\\ $<\delta _0,\varphi>=\varphi(0)=\int f\varphi$.\fexer
\newpage
{\bf Corrigé}
\hfill
\newline
\dexo 
\hfill \newline
Soit $K$ compact $\subset I$ et soit $\varphi \in {\cal D}(\RR)$ avec $supp(\varphi )\subset K$ alors
$$\vert <T_f,\varphi >= \int f\varphi \vert  \leq  \Vert \varphi \Vert_{\infty } \Vert f\Vert_{L^1(K)},$$
donc $p_K=0$ et $C_K=\Vert f\Vert_{L^1(K)}$ conviennent. $T_f$ est linéaire et $\in {\cal D}^{\prime}(\mathds{R})$.\\
L'injectivité: supposons que $\int (f-g) \varphi =0$ pour toute $\varphi \in {\cal D}(\mathds{R})$. Posons $h(x)=sign(f(x)-g(x))$. Alors, pour tout $R>0$, $h\in L^1(-R,R)$ et $\exists (\varphi_n)_n \in {\cal D}(]R,R[)$ telle que $\varphi_n\rightarrow h$ dans $L^1(-R,R)$. La "réciproque" du TCD nous dit qu'alors il existe une sous-suite, encore notée $(\varphi_n)_n$, qui converge p.p. vers $h$. De plus on peut supposer que $\vert \varphi_n \vert \leq 1$ pour tout $n$ (quitte à tronquer, voir (*) plus loin). Par le TCD, on en déduit que
$$0=\int_{-R}^{R} (f-g) \varphi_n \longrightarrow \int_{-R}^{R} \vert f-g \vert,$$
donc $f=g$ p.p.\\
(*): Si on note $f^M=\max(-M, \min(f,M))$ ($M>0$) pour une fonction $f$ quelconque à valeurs réelles. Il est facile de voir que pour toutes $f,g$, $\vert f^M - g^M \vert \leq \vert f-g \vert$ (en effet la fonction $x\mapsto \max(-M, \min(x,M))$ est $1$-lipschitzienne, le faire si on n'est pas convaincu...).\\ Donc ici avec $M=1$, on peut remplacer $\varphi_n$ par $\varphi_n^1$. Comme $-1\leq h \leq 1$, $h^1=h$ et $\vert \varphi_n^1 - h \vert \leq \vert \varphi_n-h \vert$, donc la convergence p.p. ou la convergence $L^1$ de $ \varphi_n$ vers $h$ implique celle de $\varphi_n^1$ vers $h^1=h$.\fexo
\dexo 
\hfill \newline
D'abord, $\delta_x$ et $\delta_x^{(k)}$ sont bien des formes linéaires sur $\D(\mathds{R})$.\\
Pour toute $\varphi \in \D(\mathds{R})$, $\vert <\delta_x,\varphi>=\varphi (x) \vert \leq \Vert \varphi \Vert_{\infty}$. Donc $C_K=1$ et $p_K=0$ conviennent dans $(*)$. La masse de Dirac est une distribution.\\
Ensuite, $\forall \varphi \in \D(\mathds{R})$, $\vert <\delta_x^{(k)},\varphi >\vert =\vert \varphi^{(k)} (x) \vert \leq \Vert \varphi^{(k)} \Vert_{\infty}$. Donc ici, $C_K=1$ et $p_K=k$ conviennent et pour tout $k\in \mathds{N}$, $\delta_x^{(k)} \in \Dp(\mathds{R})$.\\
Chaque $\delta_{2\pi n} \in \Dp(\mathds{R})$ et $T_N$ est une somme finie de $\delta_{2\pi n}$ donc $T_N \in \Dp(\mathds{R})$. Avec le théorème admis, si on montre que $\forall \varphi \in \D(\mathds{R})$, la suite $(<T_N,\varphi>)_N$ converge, on saura que la limite $T \in \Dp(\mathds{R})$.\\
Soit $\varphi \in \D(\mathds{R})$, $\exists N_0 \in \mathds{N}$ tel que $supp(\varphi)\subset [-2\pi N_0, 2\pi N_0]$ et $<T_N,\varphi>=\sum_{-N}^N \varphi(2\pi n) = \sum_{-N_0}^{N_0} \varphi(2\pi n)$, $\forall N\geq N_0$. Donc la suite $(<T_N,\varphi>)_N$ est stationnaire à partir d'un certain rang. Elle converge donc vers une limite notée $<T,\varphi>$. Et on sait que $T \in \Dp(\mathds{R})$.
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
$f$ est une fonction continue partout sauf aux points $a_i$ en lesquels elle a une limite à droite et à gauche finie donc c'est une fonction localement intégrable sur $I$ et une distribution.\\
Soit $\varphi$ une fonction test, par définition 
$$<f^{\prime},\varphi>=-<f,\varphi^{\prime}>=-\int_I f\varphi^{\prime}=-\sum_{i=0}^{N-1}\int_{a_i}^{a_{i+1}}f\varphi^{\prime}.$$
Sur chaque sous-intervalle $(a_i,a_{i+1})$, on effectue une intégration par parties: $\int_{a_i}^{a_{i+1}}f\varphi^{\prime}=-\int_{a_i}^{a_{i+1}}f^{\prime}\varphi +[f\varphi]_{a_i}^{a_{i+1}}$. Puis on regroupe les termes:
$$\int_I f\varphi^{\prime}=-\sum_{i=0}^{N-1}\int_{a_i}^{a_{i+1}}f^{\prime}\varphi+\sum_{i=0}^{N-1}[f\varphi]_{a_i}^{a_{i+1}}.$$
En tenant compte du fait que $\varphi(a_0)=\varphi(a_N)=0$, on obtient
$$\int_I f\varphi^{\prime}=-\int_I f^{\prime}_{usuel}\varphi+\sum_{i=1}^{N-1}(f(a_i^-)-f(a_i^+))\varphi(a_i).$$
D'où $<f^{\prime},\varphi>=\int_I f^{\prime}_{usuel}\varphi+\sum_{i=1}^{N-1}(f(a_i^+)-f(a_i^-))\varphi(a_i)$, que l'on peut écrire
$$<f^{\prime},\varphi>=<\left\{f^{\prime}\right\},\varphi>+<\sum_{i=1}^{N-1}(f(a_i^+)-f(a_i^-))\delta_{a_i},\varphi>.$$
C'est exactement la formule demandée. NB: $\left\{f^{\prime}\right\}$ est localement intégrable par hypothèse donc définit bien une distribution "fonction".\fexo
\dexo 
\hfill \newline
1) $f$ est bornée sur $\mathds{R}$ donc elle est localement intégrable et définit donc une distribution sur $\mathds{R}$. C'est aussi une fonction $\Cinf$ par morceaux, de dérivée usuelle $=-1$ sur $\mathds{R}-2\pi \mathds{Z}$. Le saut de $f$ en $2\pi n$ vaut $f(2\pi n^+)-f(2\pi n^{-})=2\pi$. Donc la formule des sauts donne ici
$$f^{\prime}=-1+\sum_{-\infty}^{\infty} 2\pi \delta_{2\pi n}.$$
2) D'abord $c_0(f)=0$ et si $\vert n \vert \geq 1$, on trouve $c_n(f)=\frac{1}{in}$ en intégrant par parties.\\
On pose $S_N(x)=\sum_{-N}^N c_n(f)e^{inx}$. Alors $S_N$ est une fonction $2\pi$-périodique et $S_N\in L^2(0,2\pi)$. Donc $S_N \in L^1_{loc}(\mathds{R})\subset \Dp(\mathds{R})$.\\
On sait que $S_N\rightarrow f$ dans $L^2(0,2\pi)$. En utilisant la périodicité, il est facile de voir que $S_N$ converge vers $f$ dans $L^1_{loc}(\mathds{R})$. D'aprés l'exercice 1, on en déduit que $S_N\rightarrow f$ dans $\Dp(\mathds{R})$. Enfin, $S_N^{\prime} \rightarrow f^{\prime}$ dans $\Dp(\mathds{R})$ puisqu'on peut dériver tout passage à la limite dans $\Dp$.\\ Or, $$S_N^{\prime}=\sum_{n\neq 0,n=-N}^N e^{inx},$$
donc 
$$f^{\prime}(x)= \sum_{n\in \mathds{Z}^{\star}} e^{inx}\quad \mbox{dans   } \Dp(\mathds{R}).$$
3) En utilisant 1) et 2), on a
$$-1+\sum_{-\infty}^{\infty} 2\pi \delta_{2\pi n}=f^{\prime}=\sum_{n\neq 0} e^{inx}.$$
D'où,
$$2\pi \sum_{-\infty}^{\infty} \delta_{2\pi n}= 1+\sum_{n\neq 0} e^{inx}=\sum_{-\infty}^{\infty} e^{inx},$$
dans $\Dp(\mathds{R})$.\fexo
\dexo 
\hfill \newline
1) On a vu dans l'exercice 1 que $p_K=0$ convient. Comme l'ordre est toujours positif, c'est nécessairement zéro.\\
2) Par hypothèse, pour tout $\varphi \in \D(\mathds{R})$,  $\vert <\mu,\varphi> \vert \leq C \Vert \varphi \Vert_{\infty}$ puisque la mesure est continue. Donc ici encore $\mu$ définit une distribution d'ordre zéro.\\
3) Soit $u \in \Dp(I)$ d'ordre $p$, alors $\forall K$ compact $\subset I$, $\exists C_K>0$ tels que $\forall \varphi \in \D(I)$ avec $supp(\varphi )\subset K$ on a 
$$\vert u(\varphi ) = <u,\varphi > \vert \leq C_K \max_{i\leq p}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i)}(x)\vert.$$
Alors par définition de $u^{\prime}$,
$$\vert <u^{\prime},\varphi > \vert= \vert <u,\varphi^{\prime} > \vert \leq C_K \max_{i\leq p+1}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i)}(x)\vert,
$$
donc l'ordre de $u^{\prime}$ est inférieur ou égal à $p+1$ sur $K$.\\
N'importe quelle fonction régulière répond à la question posée ou bien aussi $\mathds{1}_{\mathds{R}^+}$ d'ordre zéro de dérivée $\delta_0$ qui est aussi d'ordre zéro.
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
Si $f\in \Cinf(I)$, par définition de $fT$: $<fT,\varphi>=<T,f\varphi>$, pour tout $\varphi \in \D(I)$.\\
Et on a, puisque $T$ est une distribution, $\forall K$ compact$\subset I$, $\exists C_K>0$, $\exists p_K \in \mathds{N}$ tels que $\forall \varphi \in \D(I)$ avec $supp(\varphi)\subset K$,
$$\vert <fT,\varphi> \vert \leq C_K \max_{0\leq n \leq p_K} \Vert (f\varphi)^{(n)} \Vert_{L^{\infty}(K)}.$$
Rappel: formule de Leibniz : $(f\varphi)^{(n)} = \sum_{i=0}^n C_n^i f^{(n-i)}\varphi^{(i)}$. D'où
$$\vert (f\varphi)^{(n)}(x) \vert \leq \sum_{i=0}^n C_n^i \Vert f^{(n-i)} \Vert_{L^{\infty}(K)}\Vert \varphi^{(i)} \Vert_{L^{\infty}(K)}.$$
On pose, par exemple, $$a_K=\max_{n=0,p_K} \max_{i=0,n} C_n^i \Vert f^{(n-i)} \Vert_{L^{\infty}(K)}.$$ Alors
$$\Vert (f\varphi)^{(n)} \Vert_{L^{\infty}(K)}\leq na_K \max_{i=0,n} \Vert \varphi^{(i)} \Vert_{L^{\infty}(K)}.$$
On en déduit que 
$$\vert <fT,\varphi> \vert \leq C_K a_K p_K \max_{i=0,p_k} \Vert \varphi^{(i)} \Vert_{L^{\infty}(K)},$$
si $supp(\varphi)\subset K$. Donc $fT \in \Dp(I)$.
 \fexo
\dexo 
\hfill \newline
Soit $\varphi \in \D(\mathds{R})$ alors $<x\delta_0^{\prime},\varphi>=<\delta_0^{\prime}, x\varphi>= -<\delta_0, (x\varphi)^{\prime}>$.
Donc $<x\delta_0^{\prime},\varphi>=-<\delta_0, x\varphi^{\prime}+\varphi>=-<\delta_0,\varphi>$.
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
On sait déjà que $\delta_0$ est bien une distribution.\\
Supposons qu'il existe $f\in L^1_{loc}(\mathds{R})$ telle que $<\delta_0,\varphi>=\varphi(0)=\int f\varphi$. Alors on peut trouver une suite $(\varphi_n)_n \in {\cal D}(\mathds{R})$ telle que $\varphi_n(0)=1$, $0\leq \varphi_n \leq 1$ pour tout $n$ et $supp \varphi_n \subset ]- 1/n, 1/n [$ (faire un dessin). Grâce au TCD, on a
$$1=\varphi_n(0)=\int_{-1}^{1} f\varphi_n\rightarrow 0.$$
D'où contradiction. 
\fexo
 \end{document}