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\newtheorem{Exer}{Exercice}  %Exercice
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\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !
\def\dexo{\begin{exo}\rm}    %sans
\def\fexo{\end{exo}}     
% ensembles Q R N Z C
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
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\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
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         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
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% Suppression de l'indentation
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse fonctionnelle\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD  Distributions  \\}

\vspace{1cm}
Introduction \\
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\RR$ (non nécessairement borné). \\On note $\DI={\cal C}^{\infty}_c(I)$.\\
{\bf Définition} : Soit $T$ une forme linéaire sur $\DI$, on dit que $T$ est une {\bf distribution} sur $I$ si\\ $\forall K$ compact $\subset I$, $\exists p_K \in \NN$, $\exists C_K>0$ tels que $\forall \varphi \in \DI$ avec $supp(\varphi )\subset K$ on a 
$$\vert T(\varphi ) = <T,\varphi > \vert \leq C_K \max_{i\leq p_K}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i)}(x)\vert.$$
C'est une condition de continuité.\\
On note $\DPI$ l'ensemble des distributions sur $I$.\\
{\bf Définition} Convergence dans $\DPI$: 
Soit $(T_n)_n \subset \DPI$ et soit $T \in \DPI$. On dit que $T_n$ converge vers $T$ dans $\DPI$ si $\forall \varphi \in \DI$, $T_n(\varphi ) \longrightarrow T(\varphi )$. On note alors $T_n\rightharpoonup T$.\\ \\
\dexer Distribution fonction - Identification $L^1_{loc}(\RR)\subset {\cal D}^{\prime}(\RR)$ 
\hfill \newline
Soit $f\in L^1_{loc}(\RR)$, montrer que $T_f : \varphi \mapsto \int f\varphi $ est une distribution sur $\RR$.\\
Montrer que $f\in L^1_{loc}(\RR) \mapsto T_f\in {\cal D}^{\prime}(\RR)$ est séquentiellement continue, injective mais non surjective (on pourra vérifier par exemple que $\delta_0 : \varphi \mapsto \varphi (0)$ est une distribution et montrer qu'il n'existe pas de fonction $f \in L^1_{loc}(\RR)$ telle que $\delta _0=T_f$).
\\ \\
{\bf Remarque}: On a montré que l'application $f\in L^1_{loc}(\RR) \mapsto T_f\in {\cal D}^{\prime}(\RR)$ est injective et non surjective. On peut donc "identifier" $f\in L^1_{loc}(\RR)$ avec la distribution $T_f$. On parle alors de "distribution fonction". Cela permet de donner un sens à des inclusions du type $L^1_{loc}(\RR)\subset {\cal D}^{\prime}(\RR)$, ${\cal C}^k(\RR)\subset {\cal D}^{\prime}(\RR)$, et de parler de distributions constantes etc...  
\fexer
\dexer Ordre d'une distribution
\hfill \newline
Faire l'exercice 4 page 120 du poly.
\fexer
\dexer Multiplication
\hfill \newline
1) Soit $f$ un fonction dans ${\cal C}^{\infty}(I)$ et soit $T\in \DPI$. On définit le produit $fT$ par $<fT,\varphi>=<T,f\varphi>$ pour toute $\varphi \in \DI$. Montrer que $fT \in \DPI$.\\
2) Soit $f$ un fonction dans ${\cal C}^{\infty}(I)$ et soit $g \in L^1_{loc}(I)$, montrer que $fT_g=T_{fg}$.\\
3) Soit $f$ un fonction dans ${\cal C}^{\infty}(\RR)$, vérifier que $f\delta_0=f(0)\delta_0$ dans ${\cal D}^{\prime}(\RR)$.
\fexer
\dexer Convergence d'une suite de distributions
\hfill \newline
On suppose que $T_n\rightharpoonup T$ dans $\DPI$, vérifier que $\forall k$, $T_n^{(k)}\rightharpoonup T^{(k)}$ dans $\DPI$.\\ 
Montrer que $\forall p,1\leq p\leq \infty$, $L^p(I) \subset \DPI$. Enfin, si $f_n\longrightarrow f$ dans $L^p(I)$, montrer que $f_n^{(k)} \rightharpoonup f^{(k)}$ dans $\DPI$ pour tout $k\geq 0$ (on identifie $f$ et $T_f$ grace à l'exercice 1).
\fexer
\dexer 
\hfill \newline
%${\cal D}^{\prime}(\RR)$.\\
Quelles sont les limites dans ${\cal D}^{\prime}(\RR)$ de $f_n(x)=\cos(nx)\II_{[0,1]}(x)$ et $g_n(x)=\sin^2(nx)\II_{[0,1]}(x)$? 
\fexer
\dexer 
\hfill \newline
Montrer que $x\delta_0^{\prime}=-\delta_0$ dans ${\cal D}^{\prime}(\RR)$.
\fexer
\dexer $T^{\prime}=0 \Rightarrow T$ est constante
\hfill \newline 
Soit $\theta_0 \in \DI$ telle que $\int_I \theta_0 = 1$.\\
1) Montrer que $\forall \varphi \in \DI$, $\exists \lambda \in \RR$, $\exists \psi \in \DI$ tels que $\varphi =\lambda \theta_0+\psi^{\prime}$.\\
2) En déduire que si $T\in \DPI$ vérifie $T^{\prime}=0$ alors $T$ est une fonction constante.\\
Remarque: on a montré que si $f\in L^1_{loc}$ vérifie $\forall \varphi \in \DI$, $\int f\varphi^{\prime} = 0$ alors $f=C$ constante p.p. \\
3) Soit $T\in \DPI$ telle que $T^{\prime}\in  {\cal C}^{\infty}(I)$, montrer que $T\in  {\cal C}^{\infty}(I)$.
\fexer
\dexer 
\hfill \newline
Les applications suivantes d{é}finissent-elles des distributions sur $\RR$
?
$$\vfi \rightarrow \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(n),\qquad \vfi
\rightarrow \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(0).$$
\fexer
\dexer 
\hfill \newline
1) Soit $\psi \in {\cal C}^{\infty }(\RR)$. Soit $Y= \II_{\RR^+}$, on pose $E=T_{Y\psi}$. V{é}rifier que $E \in {\cal D}^{\prime}(\RR)$ et montrer que pour tout $p\geq 1$,
$$E^{(p)} = T_{Y\psi^{(p)}} + \psi^{(p-1)}(0) \delta_0 + \psi^{(p-2)}(0)
\delta_0^{\prime} +...+ \psi(0) \delta_0^{(p-1)}.$$
2) Soit $\psi$ solution de $\displaystyle{\sum_{j=0}^k} a_j \psi^{(j)}(x) = 0$ pour $x \in \RR$,
o{\`u} $a_j \in \RR$ et $a_k \not=0$,
satisfaisant \\
$\psi(0)=\psi^{\prime}(0)=...=\psi^{k-2}(0)=0$ et
$\psi^{k-1}(0)=\frac{1}{a_k}$.\\
Donner l'expression de $\displaystyle{\sum_{j=0}^k} a_j E^{(j)}$ où $E=T_{Y\psi}$ et calculer $\psi$.\\
En déduire une solution dans ${\cal D}^{\prime}(\RR)$ de $E^{\prime\prime}+E^{\prime}+E=\delta_0$.
\fexer
\dexer Valeur principale
\hfill \newline
1) Soit $\fep(x)=\frac{1}{x}$ si $\vert x \vert\geq \ep$ et $\fep(x)=0$ sinon. Vérifier que $\forall \ep>0$, $\fep \in {\cal D}^{\prime}(\RR)$ et montrer que $(\fep)_{\ep}$ converge au sens des distributions pour $\ep\rightarrow 0^+$.\\
2) On définit ainsi une distribution, appelée {\bf valeur principale} de $\frac{1}{x}$, notée $vp(\frac{1}{x})$, par
$$\forall \vfi \in \DI,\quad <vp(\frac{1}{x}),\vfi>=\lim_{\ep\rightarrow 0^+} \int_{\vert x \vert\geq \ep}\frac{\vfi(x)}{x}dx.$$
Montrer que $vp(\frac{1}{x})$ est d'ordre $1$ sur $\RR$. On pourra utiliser la suite $(\vfi_n)_n\subset {\cal D}(\RR)$ construite de la façon suivante : pour tout $n$, $\vfi_n$ est impaire, $supp(\vfi_n)\subset ]-1,1[$, $\Vert \vfi_n \Vert_{\infty }=1$ et $\vfi_n(x)= 1$ si $x\in \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]$, $\vfi_n(x)=0$, si $ x\in \left[0,\frac{1}{2n}\right]\cup\left[1-\frac{1}{2n},1\right]$, 
%\begin{eqnarray*}
%\vfi_n(x) &=& 1, x\in \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right],\\
%          &=& 0, x\in \left[0,\frac{1}{2n}\right]\cup\left[1-\frac{1}{2n},1\right],
%          & & \mbox{raccord ${\cal C}^{\infty}$ dans } \left[\frac{1}{2n},\frac{1}{n} \right]\cup\left[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{2n}\right].
%\end{eqnarray*}
avec un raccord ${\cal C}^{\infty}$ entre $0$ et $1$ sur $\left[\frac{1}{2n},\frac{1}{n} \right]\cup\left[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{2n}\right]$ (faire un dessin).\\
3) Vérifier que $xvp(\frac{1}{x})=1$ dans ${\cal D}^{\prime}(\RR)$.\\
4) Soit $\theta_0 \in {\cal D}(\RR)$ telle que $\theta_0(0) = 1$.\\
Montrer que $\forall \varphi \in {\cal D}(\RR)$, $\exists g \in {\cal D}(\RR)$ telle que $\varphi(x)- \varphi(0)\theta_0(x)=xg(x)$, $\forall x \in \RR$.\\
5) Soit $T\in {\cal D}^{\prime}(\RR)$ telle que $xT=0$, montrer que $T=c\delta_0$ où $c$ est une constante.\\
6) Soit $T\in {\cal D}^{\prime}(\RR)$ telle que $xT=1$, montrer que $T=vp(\frac{1}{x})+c\delta_0$ où $c$ est une constante.
\fexer
\dexer 
\hfill \newline
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\RR$, on note 
$$H^1(I)= \{ f \in L^2(I):\,\,f^{\prime}\in L^2(I) \},$$
où $f^{\prime}$ désigne la dérivée au sens des distributions de $f$. $H^1$ est appelé espace de Sobolev. On peut ainsi définir par récurrence l'espace $H^m$ pour $m\geq 2$ par
$$H^m(I)= \{ f \in H^{m-1}(I):\,\,f^{\prime}\in H^{m-1}(I) \}=\{ f\in L^2:\forall k\leq m , f^{(k)}\in L^2 \}.$$
On munit $H^1$ du produit scalaire 
$$(f,g)=\int_I fg + \int_I f^{\prime} g^{\prime}.$$
\\
Montrer que $H^1$ muni de $\Vert u \Vert = \sqrt{(\Vert u \Vert_2^2+ \Vert u^{\prime} \Vert_2^2)}$ est complet.
\fexer
\newpage
Corrigé:
\dexo 
\hfill \newline
Soit $K$ compact $\subset I$ et soit $\varphi \in {\cal D}(\RR)$ avec $supp(\varphi )\subset K$ alors
$$\vert <T,\varphi >= \int f\varphi \vert  \leq  \Vert \varphi \Vert_{\infty } \Vert f\Vert_{L^1(K)},$$
donc $p_K=0$ et $C_K=\Vert f\Vert_{L^1(K)}$ conviennent. $T_f$ est linéaire et $\in {\cal D}^{\prime}(\RR)$.\\
Montrons la continuité séquentielle : si $f_n \rightarrow f$ dans $L^1_{loc}(\RR)$ alors $\forall \varphi \in {\cal D}(\RR)$, on a
$$\vert \int (f_n-f) \varphi \vert \leq \Vert \varphi \Vert_{\infty } \Vert f_n-f\Vert_{L^1(supp\varphi)},$$
donc $<T_{f_n},\varphi>\rightarrow <T,\varphi>$. D'où, la continuité séquentielle.\\
L'injectivité: supposons que $\int (f-g) \varphi =0$ pour toute $\varphi \in {\cal D}(\RR)$. Posons $h(x)=sign(f(x)-g(x))$. Alors, pour tout $R>0$, $h\in L^1(-R,R)$ et $\exists (\varphi)_n \in {\cal D}(]R,R[)$ telle que $\varphi_n\rightarrow h$ dans $L^1(-R,R)$ et p.p. avec $\vert \varphi_n \vert \leq 1$ pour tout $n$. Par le TCD, on endéduit que
$$0=\int_{-R}^{R} (f-g) \varphi_n \longrightarrow \int_{-R}^{R} \vert f-g \vert,$$
donc $f=g$ p.p.\\
Surjectivité: $\vert <\delta_0,\varphi>=\varphi(0) \vert \leq \Vert \varphi \Vert_{\infty }$, donc $\delta_0$ est bien une distribution.\\
Supposons qu'il existe $f\in L^1_{loc}(\RR)$ telle que $<\delta_0,\varphi>=\varphi(0)=\int f\varphi$. Alors on peut trouver une suite $((\varphi)_n \in {\cal D}(\RR)$ telle que $\varphi_n(0)=1$, $0\leq \varphi_n \leq 1$ pour tout $n$ et $supp \varphi_n \subset ]- 1/n, 1/n [$. Grâce au TCD, on a
$$1=\varphi_n(0)=\int_{-1}^{1} f\varphi_n\rightarrow 0.$$
D'où contradiction. 
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
1) Toute fonction de $L^1_{loc}$ est une distribution d'ordre $0$.\\
2) Evident.\\
3) Si $T\in {\cal D}^{\prime}(\RR)$ est d'ordre $p$ alors $T^{\prime}$ est une distribution d'ordre $\leq p+1$ car si $K$ est un compact de $\RR$, $\forall \varphi \in {\cal D}(\RR)$ avec $supp(\varphi )\subset K$, on a
$$\vert <T^{\prime},\varphi >=-<T,\varphi^{\prime}> \vert \leq C_K \max_{i\leq p}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i+1)}(x)\vert \leq C_K \max_{i\leq p+1}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i)}(x)\vert.$$
Soit $f=\II_{\RR^+} \in  L^1_{loc}(\RR)\subset {\cal D}^{\prime}(\RR)$ (aprés identification), alors $f$ est d'ordre $0$. Il est facile de voir que la dérivée de $f$ au sens des distributions est la masse de Dirac en $0$ donc est d'ordre $0$
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
1) Comme $f$ est ${\cal C}^{\infty}$ et $\varphi \in \DI$, $f\varphi \in \DI$ donc la définition a bien un sens. On écrit que $T\in \DPI$: $\forall K$ compact $\subset I$, $\exists p_K \in \NN$, $\exists C_K>0$ tels que $\forall \varphi \in \DI$ avec $supp(\varphi )\subset K$ on a 
$$\vert <T,\varphi > \vert \leq C_K \max_{i\leq p_K}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i)}(x)\vert.$$
Donc $$<T,f\varphi > \vert \leq C_K \max_{i\leq p_K}\max_{x\in K}\vert (f\varphi)^{(i)}(x)\vert.$$
En utilisant la formule de Leibniz, on peut facilement voir qu'il existe une constante $D_K>0$ telle que $\forall \varphi \in \DI$ avec $supp(\varphi )\subset K$, 
$$<fT,\varphi > \vert \leq D_K \max_{i\leq p_K}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i)}(x)\vert,$$
d'où $fT \in \DPI$.\\
2) Si $f\in {\cal C}(I)$ et $g \in L^1_{loc}(I)$, $fg \in L^1_{loc}(I)$ donc $T_{fg}$ a un sens et $\in \DPI$. Enfin, si $\varphi \in \DI$, $<fT_g,\varphi>=<T_g,f\varphi>=\int fg\varphi=<T_{fg},\varphi>$. D'où, $fT_g=T_{fg}$ dans $\DPI$.\\
3) Soit $\varphi \in {\cal D}(\RR)$, alors $<f\delta_0,\varphi>=<\delta_0,f\varphi>=f(0)\varphi(0)=<f(0)\delta_0,\varphi>$. Donc $f\delta_0=f(0)\delta_0$.
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
On a $<T_n^{(k)},\varphi >=(-1)^k <T_n,\varphi^{(k)}>\longrightarrow (-1)^k <T,\varphi^{(k)}>=<T^{(k)},\varphi >$.\\
On a $L^p\subset  L^1_{loc} \subset \DPI$ en identifiant $f=T_f$. On utilise H\"{o}lder:
$$\vert \int (f_n-f) \varphi \vert \leq \Vert \varphi \Vert_{p^{\prime} } \Vert f_n-f\Vert_{p},$$
d'où la convergence dans $\DPI$. On en déduit que $\forall k\geq 0$, $f_n^{(k)}\rightharpoonup f^{(k)}$ dans $\DPI$.
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
D'abord, $f_n, g_n \in L^1_{loc}(\RR) \subset {\cal D}^{\prime}(\RR)$. En calquant la démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue, on a 
$$\int f_n \varphi=\int_0^1 \cos(nx) \varphi= \frac 1n \int_0^1 \sin(nx) \varphi^{\prime}+\left[\frac 1n \sin(nx) \varphi \right]_0^1 \rightarrow 0,$$
pour toute $\varphi \in {\cal D}(\RR)$, donc $f_n\rightharpoonup 0$.\\
Enfin, $g_n=\frac 12 \II_{[0,1]} - \frac 12 f_{2n} \rightharpoonup \frac 12 \II_{[0,1]}$ dans ${\cal D}^{\prime}(\RR)$.
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
La fonction $x\mapsto x$ est ${\cal C}^{\infty}$ donc le produit $x\delta_0^{\prime}$ a bien un sens et pour toute $\varphi \in {\cal D}(\RR)$, $$<x\delta_0^{\prime},\varphi >=<\delta_0^{\prime},x\varphi>=-<\delta_0,(x\varphi)^{\prime}>=-<\delta_0,x\varphi^{\prime}+\varphi>=-<\delta_0,\varphi>.$$
\fexo
%$\forall K$ compact $\subset I$, $\exists p_K \in \NN$, $\exists C_K>0$ tels que $\forall \varphi \in \DI$ avec %$supp(\varphi )\subset K$ on a 
%$$\vert T(\varphi ) = <T,\varphi > \vert \leq C_K \max_{i\leq p_K}\max_{x\in K}\vert \varphi^{(i)}(x)\vert.$$
\dexo 
\hfill \newline
a) Si $\vfi = \lambda\theta_0+\psi^{\prime}$, o{\`u} $\lambda \in \RR$
et $\vfi \in \DI$ alors $\int_I \vfi = \lambda \int_I \theta_0 + \int_I \psi^{\prime}$ donc n{é}cessairement
$\lambda = \int_I \vfi$. Avec ce choix de $\lambda$, trouvons
$\psi$.\\
$\exists a,b$ tels que supp$(\vfi)$$ \cup$supp$(\theta_0) \subset [a,b] \subset I$ (I connexe). Soit $\psi(x) =
\int_a^x (\vfi(t) -(\int_I \vfi)\theta_0(t)) dt$ alors $\psi^{\prime} = \vfi - (\int_I \vfi)\theta_0$ et $\psi \in
{\cal C}^{\infty}(I)$. V{é}rifions que $\psi$ est {à} support compact. Si $x \in ]-\infty,a[ \cap I$ alors $\forall t
\in [a,x]$ $\vfi(t)= \theta_0(t) = 0$ et $\psi(x) = 0$. Si $x \in ]b,\infty[ \cap I$ alors $\psi(x) = 0$ donc
supp$(\psi) \subset [a,b]$ et $\psi \in
\DI$. (On peut remarquer que le couple $(\lambda,\psi)$ est unique.)\\
b) Soit $T \in \DPI$ telle que $T^{\prime} =0$, on veut montrer que $\exists C \in \RR$ telle que $\forall \vfi \in
\DI$, $<T,\vfi> = C \int_I \vfi$,
ce qui veut bien dire que $T=C$ au sens des distributions\\
Soit $\vfi \in \DI$ alors $\exists \psi \in \DI$ telle que $\vfi = (\int_I \vfi)  \theta_0+\psi^{\prime}$ et
$<T,\vfi> = (\int_I \vfi) <T,\theta_0> + <T,\psi^{\prime}>$. Or par hypoth{è}se $<T,\psi^{\prime}> = <T^{\prime},\psi>
= 0$ donc $\forall \vfi \in \DI$, $<T,\vfi> = <T,\theta_0>\; \int_I \vfi$ donc
$C=<T,\theta_0>$ convient.\\
c) Par hypoth{è}se $T^{\prime} = v \in {\cal C}^{\infty}(I)$, c'est {à} dire $\forall \vfi \in \DI$,
$<T^{\prime},\vfi> = \int_I v\vfi$. La fonction $v$ admet une primitive au sens usuel $V$ et $v = V^{\prime}$ alors
$(T-V)^{\prime} = 0$ donc $T-V = c$ constante par b) et $T= V+c \in {\cal C}^{\infty}(I)$.
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
Les deux applications
propos{é}es sont bien lin{é}aires par rapport {à}
$\vfi$.\\
On pose $<T,\vfi> = \displaystyle{\sum_{n\geq0}} \vfi^{(n)}(n)$ pour $\vfi \in {\cal D}(\RR)$.\\
Soit $K$ un compact de $\RR$ alors $\vert K \cap \NN \vert < \infty$ et $\exists N_K$ tel que $K \cap \NN \subset
\overline{B}(0,N_K)$. Si $\vfi \in {\cal D}(\RR)$ est {à} support dans $K$, alors $\vert <T,\vfi> \vert \leq
\displaystyle{\sum_0^{N_K}} \Vert
\vfi^{(n)} \Vert_{\infty}$ donc $T \in {\cal D}^{\prime}(\RR)$.\\
Soit $<T,\vfi> = \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(0)$. Il existe $\theta \in {\cal D}(\RR)$ telle que $0 \leq \theta \leq 1$ et
$\theta \equiv 1$ sur $[-1,1]$. Soit $\vfi(x) = e^x \theta(x)$, alors $\vfi \in {\cal D}(\RR)$ et $\forall n$,
$\vfi^{(n)}(0)
= 1$ donc $T \not\in {\cal D}^{\prime}(\RR)$.
\fexo
\dexo 
\hfill \newline
1) $Y\psi \in L^1_{loc}(\RR)$ donc $E \in {\cal D}^{\prime}(\RR)$. Calculons les d{é}riv{é}es au sens des distributions de $E$ et
montrons par r{é}currence que
$$E^{(p)} = T_{Y\psi^{(p)}} + \psi^{(p-1)}(0) \delta_0 + \psi^{(p-2)}(0)
\delta_0^{\prime} +...+ \psi(0) \delta_0^{(p-1)}.$$ On calcule d'abord $E^{\prime}$,
\begin{eqnarray*}
<E^{\prime},\vfi> &=& - <E,\vfi^{\prime}> = - \int_0^{\infty} \psi
\vfi^{\prime},\\
                  &=& \int_0^{\infty} \psi^{\prime} \vfi + \psi(0) \vfi(0),\\
                  &=& <T_{Y\psi^{\prime}},\vfi> + <\psi(0) \delta_0,\vfi>.
                  \end{eqnarray*}
Donc le propri{é}t{é} est vraie pour $p=1$, on la suppose vraie jusqu'au rang $p$ et d{é}montrons la pour $p+1$. On a
\begin{eqnarray*}
<E^{(p+1)},\vfi> &=& -<E^{(p)}, \vfi^{\prime}> = - \int_0^{\infty} \psi^{(p)} \vfi^{\prime} - <\psi^{(p-1)}(0)
\delta_0, \vfi^{\prime}> -...- <\psi(0)
\delta_0^{(p-1)}, \vfi^{\prime}>,\\
&=& \int_0^{\infty} \psi^{(p+1)} \vfi + <\psi^{(p)}(0) \delta_0, \vfi> + < \psi^{(p-1)}(0) \delta_0^{\prime}+...+
\psi(0) \delta_0^{(p)},\vfi>.
\end{eqnarray*}
D'o{\`u} le r{é}sultat.\\
2) Soit $\psi$ solution de $\sum_{j=0}^k a_j \psi^{(j)}(x) = 0$ pour $x \in \RR$, o{\`u} $a_j \in \RR$ et $a_k \not=0$,
satisfaisant \\
$\psi(0)=\psi^{\prime}(0)=...=\psi^{k-2}(0)=0$ et $\psi^{k-1}(0)=\frac{1}{a_k}$
alors $\psi \in {\cal C}^{\infty}(\RR)$.\\
Ici $E^{(j)} = T_{Y\psi^{(j)}}$, $\forall j \leq k-1$ car $\psi^{(p)}(0) = 0$, $\forall p \leq k-2$, et
$$E^{(k)} = T_{Y\psi^{(k)}} + \psi^{(k-1)}(0) \delta_0 = T_{Y\psi^{(k)}} +
\frac{1}{a_k} \delta_0.$$ Donc $\sum_{j=0}^k a_j E^{(j)} + a_k E^{(k)} = \delta_0$ par hypoth{è}se sur
$\psi$. \\
On cherche $\psi$ telle que
\[ (\star) \quad \left\{ \begin{array}{lll}
\psi^{\prime\prime} + \psi^{\prime} + \psi = 0 \\
\psi(0) = 0 \\
\psi^{\prime}(0) = 1
\end{array} \right. \]
Les solutions g{é}n{é}rales du syst{è}me ($\star$) sont donn{é}es par
$$\psi(x) = e^{-\frac{x}{2}} (a e^{i\frac{\sqrt{3}}{2}x} + b
e^{-i\frac{\sqrt{3}}{2}x}),\quad a,b \in \CC.$$ Ici les donn{é}es initiales impliquent que $a = -b =
\frac{1}{i\sqrt{3}}$, donc $\psi(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-\frac{x}{2}} \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)$ et $E = T_{Y\psi}$
convient. 
\fexo
 \end{document}