\documentclass[11pt,a4paper]{article}
%\documentclass[11pt,a4paper]{book}
\usepackage[french]{babel}
%%%ACCENTSCIDESSOUS%%%%
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{times}

%\usepackage{A4w}
%\newcommand{\R}{{\bf R}}
\newcommand{\Bel}{\widehat{B}_{2l}}
\newcommand{\Bem}{\widehat{B}_{2m}}
\newcommand{\Bemp}{\widehat{B}_{2m+2}}
%\newcommand{\ld}{\lambda_D}
\newcommand{\La}{\lambda}
%\newcommand{\l2om}{L_{\omega}^2}
%\newcommand{\l2ab}{L^2(a,b)}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\dd}{\Delta}
\newcommand{\bbl}{B_L}
\newcommand{\lik}{\lambda_{i}}
\newcommand{\likk}{\lambda_{i,k}}
\newcommand{\xik}{x_{i,k}}
\newcommand{\vfi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\psieps}{\psi_{\varepsilon}}
\newcommand{\grad}{\nabla}
\newcommand{\Ep}{E^{\prime}}
\newcommand{\lun}{{\ell}^1}
\newcommand{\linf}{{\ell}^{\infty}}
\newcommand{\vois}{{\cal V}(x)}
\newcommand{\Cab}{{\cal C}[a,b]}
\newtheorem{lem}{Lemma}
\newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{theor}{Theorem}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{defi}{D\'efinition}
\newtheorem{rem}{Remarque}
% ensembles Q R N Z C
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

% Numerotation des pages / la derniere
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}%
        {\thepage \slash \pageref{LastPage}}
\renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot}
\makeatother

% Suppression de l'indentation
\setlength{\parindent}{0pt}


\begin{document}

{\raggedright  Analyse fonctionnelle\hfill{}
 \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2006-2007}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD    Espaces de Hilbert - Approximation polyn\^omiale \\}

\vspace{1.5cm}

Notation : On note $\PP_n$ l'ensemble des polyn\^omes � coefficients r�els de degr� $\leq n$ et $\PP = \bigcup_n \PP_n$.
\\ \\
{\bf Exercice 1} Polyn\^ome de meilleure approximation 
\\ \\
Soit $E$ un espave vectoriel norm� r�el qui contient $\PP_n$.\\
1) Montrer que $\forall f \in E$, il existe au moins un 
polyn\^ome $p_n \in \PP_{n}$ tel que \\
$\Vert f-p_n \Vert= \inf_{q \in \PP_{n}} \Vert f-q \Vert$. Donner des exemples 
d'espaces $E$ dans lesquels on est s\^ur que $p_n \rightarrow f$.\\
{\bf D�finition} : $p_n$ est appel� polyn\^ome de meilleure approximation (p.m.a.) de $f$.\\
2) Soit $E=L^1(-1,1)$ et soit $f(x)= sign(x)$, v�rifier que $p_0(x)=\alpha \in [-1,1]$ r�alise 
la meilleure approximation de $f$ dans $\PP_0$, donc il n'y a pas toujours unicit� de $p_n$.\\
\\ \\
{\bf Exercice 2} Cas hilbertien - Polyn\^omes orthogonaux 
\\ \\
Soit $(a,b)$ un intervalle quelconque de $\RR$. Soit $\om : ]a,b[ \rightarrow \RR$ une fonction "poids" 
c'est-�-dire continue, strictement positive, et 
telle que $\forall n \in \NN$, $x \mapsto x^n\om(x) \in L^1(a,b)$.\\
On pose $L_{\omega}^2 = \{ f : f\sqrt{\om} \in L^2(a,b) \}$ que l'on munit de $(f,g)= \int_a^b fg \om dx$. \\

%On admet provisoirement que $L_{\omega}^2$ est un espace de Hilbert.
\hspace{0.5cm} 1) V�rifier que $\PP \subset L_{\omega}^2$ et que $L_{\omega}^2$ est un espace de Hilbert.

\hspace{0.5cm} 2) Montrer qu'il existe une unique suite de polyn\^omes $(P_n)_n$ telle que $P_0\equiv 1$, $\forall n \geq 1$, 
$d�P_n=n$, $P_n$ est unitaire et $\forall q \in \PP_{n-1}$, $(P_n,q)=0$.

\hspace{0.5cm} 3) Montrer que cette suite satisfait la relation de r�currence,\\
$P_n(x) = (x-\La_n)P_{n-1}(x)- \mu_n P_{n-2}(x)$, $\forall n \geq 2$, o� 
$$\mu_n = \displaystyle{\frac{\Vert P_{n-1} \Vert^2}{\Vert P_{n-2} \Vert^2}}\quad \mbox{ et } \quad  
\La_n = \displaystyle{\frac{(xP_{n-1},P_{n-1})}{\Vert P_{n-1} \Vert^2}}.$$

\hspace{0.5cm} 4) Pour $n \geq 1$, montrer que les $n$ racines du polyn\^ome $P_n$ sont r�elles distinctes et dans $]a,b[$. On pourra commencer par v�rifier que $P_n$ a au moins une racine d'ordre impair dans $]a,b[$. (Supposer le contraire).

\hspace{0.5cm} 5) V�rifier que $\forall f \in L_{\omega}^2$, $\exists ! \;q_n \in \PP_{n}$ tel que 
$\Vert f-q_n \Vert = d(f,\PP_n)$. Donner son expression en fonction de $f$ et des $P_n$.\\
Remarque : $q_n$ est le polyn\^ome de meilleure approximation de $f$ dans $L_{\omega}^2$.\\

\hspace{0.5cm} 6) On suppose que l'intervalle $(a,b)$ est born�. Montrer que 
$\PP$ est dense dans $L_{\omega}^2$ (attention, le poids n'est pas forc�ment d�fini au bord de l'intervalle). En d�duire que la suite de polyn\^omes orthogonaux $({P_n})_n$ constitue une famille totale de $L_{\omega}^2$. Soit $f \in L_{\omega}^2$ et soit $(q_n)_n$ sa suite de p.m.a. dans $L_{\omega}^2$, v�rifier que $q_n \rightarrow f$ dans $L_{\omega}^2$.\\ 
Remarque : Tous les polyn\^omes orthogonaux "connus" forment des familles totales des espaces $L_{\omega}^2$ correspondant. \\

\hspace{0.5cm} 7) Exemple :  polyn\^omes de Legendre\\
On se place sur $[-1,1]$ et on consid�re $\om \equiv 1$. On pose $R_n(x) = \displaystyle{ \frac{d^n}{dx^n} [(x^2-1)^n] }$. 
V�rifier que $R_n$ est un polyn\^ome de degr� $n$ et montrer que $(R_n,R_m)=0$ si $m<n$. Calculer $(R_n,R_n)$. 
En d�duire une expression des polyn\^omes orthogonaux et orthonormaux de Legendre. \\

\hspace{0.5cm} 8) Un exemple o� cela ne "marche" pas.\\
Soit $\om(x)= x^{-\log x}$,  v�rifier que $\om$ est un poids sur $(0,+\infty)$.\\ 
Soit $f(x) = \sin(2\pi\log x)$. Montrer que $f \in L_{\omega}^2(0,+\infty)$ et que $\forall n \in \NN$,\\ $(x^n,f)=0$. En d�duire que la suite de polyn\^omes orthogonaux $({P_n})_n$ associ�e � $\om$ n'est pas totale dans ce $L_{\omega}^2(0,+\infty)$.
 


 \end{document}