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%%%ACCENTSCIDESSOUS%%%%
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\newtheorem{Exer}{Exercice}  %Exercice
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\def\dexo{\begin{exo}\rm}    %sans
\def\fexo{\end{exo}}  
% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse Fonctionnelle\hfill{}
  \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2007-2008}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD du 22/2\\}

\vspace{2.5cm}
\dexo
\hfill \newline
Soit $A\subset \RR^N$ et soit $h$ la fonction �gale � $+\infty$ dans $A$ et � $0$ dans son compl�mentaire. Montrer en utilisant le th�or�me de convergence monotone, que 
$$\int_{\RR^N} h(x) dx = \left\{ \begin{array}{ll}
                                   0 & \mbox{si $\vert A \vert =0$}, \\
                                   +\infty & \mbox{si $\vert A \vert >0$.}
                                   \end{array}
                          \right.  $$
En d�duire que si $f$ est � valeurs dans $[0,+\infty]$ et v�rifie $\int f(x)dx < +\infty$, l'ensemble $\left\{ x\in \RR^N : f(x)= +\infty  \right\}$ est de mesure nulle.  \fexo
\dexo
\hfill \newline
Donner un exemple de suite dans $L^{1}(\RR)$ qui v�rifie l'in�galit� stricte dans le lemme de Fatou.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Donner des exemples de suites de
fonctions $f_n\in L^{1} (0,1)$ telles que

$\bullet$ $f_n$ ne tend pas vers $0$ dans $L^{1}$ et $f_n(x)$ tend vers $0$ presque partout.

$\bullet$ $f_n\to 0$ dans $L^{1}$ et $f_n(x)$ ne tend pas presque partout vers $0$. (On pourra construire une suite de fonctions "bosses roulantes" dont la largeur tend vers z�ro, mais qui balaye constamment l'intervalle $[0,1]$.)\fexo
\dexo \textit{Convergence $L^{1}$ quand il y a "conservation de la masse" (Lemme de Scheff�)}
\hfill \newline
Montrer que si une suite de  fonctions $(w_n)_n \in L^{1}$ v�rifie $w_n\geq 0$, $w_n(x)\to w(x)$ presque
partout, $w\in L^{1}$ et $\int w_n \to \int w$, alors $w_n\to w$ dans $L^{1}$. (Indication: �crire
$\int w-w_n = \int (w-w_n)^+ -\int (w-w_n)^-$ et $\int |w-w_n| = \int (w-w_n)^+ + \int (w-w_n)^-$ et appliquer le
th�or�me de Lebesgue.) \fexo
\dexo
\hfill \newline
Calculer $\lim_{n \rightarrow +\infty} \Gamma_n$, o� $\Gamma_n=\int_0^n(1-\frac x n)^ne^{\frac x 2}dx.$ 
\fexo
\dexo
\hfill \newline
 On consid�re sur $[0,1]\times [1,
+\infty[$ muni de la mesure de Lebesgue, $f(x,y)=e^{-xy}-2e^{-2xy}.$ Montrer que
$$\int_0^1\int_1^\infty f(x,y)dydx= \int_0^1 x^{-1}(e^{-x}-e^{-2x})dx>0$$ et
$$\int_1^\infty\int_0^1f(x,y)dxdy=\int_1^{\infty} y^{-1}(e^{-2y}-e^{-y})dy<0.$$
  Quelle est l'hypoth�se du th�or�me de Fubini qui n'est pas v�rifi�e ?\fexo
\dexo
\hfill \newline
 Calculer la d\'{e}riv\'{e}e \`{a} droite en z\'{e}ro de la fonction
$$t \to \int_0^1(f(x)+t^2)^{\frac{1}{2}}dx=\varphi(t),$$
o\`{u} $f$ v�rifie $0\leq f\leq 1$. Indication :  pour �valuer la limite du rapport $\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}$,
penser � utiliser le th\'{e}or\`{e}me de Lebesgue.\fexo
\dexo
\hfill \newline
Si $f\in L^{1}(\RR)$, montrer que $\tilde f(x)=\Sigma_{n\in {\ZZ}} f(x+n)\in
L^{1}([0,1])$ et que $\int_{[0,1]}\tilde f(x)dx=\int_{\RR} f(x)dx$. \fexo
\dexo On pose, pour $x>0$, $\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$. \\
1) D\'{e}montrer que $\Gamma$ est de classe
$C^\infty$ sur $\rbrack 0, +\infty \lbrack$.\\
2) D\'{e}montrer
 que $\Gamma(x)\to +\infty$ quand $x\to 0$. (Utiliser le th�or�me de convergence monotone ) \fexo
\dexo R�ciproque du th�or�me de convergence domin�e 
\hfill \newline
Soit $(f_n)_n$ une suite convergeant vers $f$ dans $L^1$.\\
1) V�rifier qu'il existe une sous-suite $(f_{n_k})_k$ telle que
$\forall k\geq 1$, $$\Vert f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\Vert_1\leq \frac{1}{2^k}.$$
2) On pose $g_k(x)= f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x)$, $G_N(x)=\sum_1^N \vert g_k(x) \vert$ et \\$G(x)=\sum_1^{\infty } \vert g_k(x) \vert$. Montrer, en utilisant le th�or�me de convergence monotone, que $G\in L^1$. 
%, $G$ est finie p.p. et $G_N\longrightarrow G$ p.p.\\
En d�duire que la suite $(f_{n_k})_k$ converge p.p. vers une limite not�e $h$ et qu'elle a un chapeau int�grable.\\
3) Montrer que $h=f$ p.p.
 \fexo
\newpage
{ \bf Corrig�} 
\\
\dexer
\hfill \newline
1) On pose $h_j(x)=j$ si $x\in A$ et $h_j(x)=0$ sinon. La suite $(h_j)_j$ est positive, croissante et converge p.p. vers $h$. On peut donc lui appliquer le th�or�me de convergence monotone. Et, on obtient $\lim_j \int_{\RR^N} h_j= \int_{\RR^N} h$.\\
Or, $\int_{\RR^N} h_j=\int_A h_j=j\vert A \vert$. Si $\vert A \vert=0$, $\int_{\RR^N} h_j=0$ pour tout $j$ et $\int_{\RR^N} h=0$. Si $\vert A \vert>0$, $\lim_j \int_{\RR^N} h_j=+\infty=\int_{\RR^N} h$.\\
2) Si $f$ positive est sommable, on pose $A=\left\{ x\in \RR^N : f(x)= +\infty  \right\}$ et on d�finit $h$ comme en 1). Alors $\int_{\RR^N} h=\int_{A} h= \int_A f < +\infty$ car $f$ est sommable. Donc n�cessairement $\vert A \vert=0$.\fexer
\dexer
\hfill \newline
Prendre par exemple $f_n(x)= 1$ si $n\leq x\leq n+1$ et $f_n(x)=0$ sinon.\fexer
\dexer
\hfill \newline
$\bullet$ On pose $f_n(x)= n$ si $0\leq x\leq \frac 1 n$ et $f_n(x)=0$ sinon. Alors $f_n(x)$ tend vers 0 pour tout
$x\in ]0,1]$.  Par contre, $\int f_n = 1$ et donc $f_n$ ne tend pas vers 0 dans $L^{1}$.

$\bullet$ On consid�re la suite de fonctions $f_n$ d�finies sur $[0,1]$ par
\newline
$f_1 = 1$ sur [0,1]
\newline $f_2 = 1$ sur $[0, \frac 1 2]$, 0 ailleurs
\newline $f_3 = 1 $ sur $[\frac 1 2, 1]$, 0 ailleurs
\newline $f_4 = 1$ sur $[0, \frac 1 4]$, 0 ailleurs
\newline $f_5 = 1 $ sur $[\frac 1 4, \frac 1 2]$, 0 ailleurs
\newline $f_6 = 1$ sur $[\frac 1 2, \frac 3 4]$, 0 ailleurs...
\newline La formule g�n�rale est :
\newline Si $2^{k-1}\leq n<2^k$, alors $f_n=1$ sur $[\frac {n-2^{k-1}}{2^{k-1}},
 \frac {n+1-2^{k-1}}{2^{k-1}}]=[\frac n{2^{k-1 }}-1, \frac {n+1}{2^{k-1}}-1]$.\\
Cette suite de fonctions est une "bosse roulante" dont la largeur tend vers z�ro, mais qui balaye constamment
l'intervalle $[0,1]$. Elle est positive et son int�grale tend vers z�ro.  Donc $f_n \rightarrow 0$ dans $L^{1}$.  Par
contre, $f_n(x)$ ne tend jamais vers 0.  En effet, si $x$ est un point de [0,1], on peut poser par division euclidienne
$x=\frac N{2^{k-1}}+r$, avec $N<2^{k-1}$ et $r<\frac 1{2^{k-1}}$. Posons $n=N+2^{k-1}$, ce qui permet d'�crire $x$ sous
la forme $x= \frac{n-2^{k-1}}{2^{k-1}}+r$.  On voit que $f_n(x)=1$, alors que $f_{n+2}(x)=0$ par exemple.  Donc
$f_n(x)$ ne converge nulle part!
\fexer
\dexer
\hfill \newline
 Comme $w_n\geq 0$, on  a $  0\leq (w-w_n)^+\leq w\in L^{1} $
et donc par le th�or�me de Lebesgue $\int (w-w_n)^+\to 0$.   On d�duit de la relation $ \int (w-w_n)^+ -\int
(w-w_n)^-= \int w-w_n\to 0$ que $\int (w-w_n)^-$ tend aussi vers z�ro et finalement que la somme  des deux m\^emes
int�grales $\int |w-w_n|= \int (w-w_n)^+ +\int (w-w_n)^-$ tend vers  z�ro.\fexer
\dexer
\hfill \newline
 Notons $\II_{[0,n]}$  la fonction caract�ristique de $[0,n]$, qui vaut 1 si $x\in[0,n]$ et 0 ailleurs.
Alors
$$\Gamma_n=\int_0^{+\infty}(1-\frac x n)^ne^{\frac x 2}\II_{[0,n]}(x)dx.$$
On calcule la limite ponctuelle de l'int�grand :\\ 
Comme $(1-\frac x n)^n=e^{n\log(1-\frac x n)} \rightarrow e^{-x}$ quand $n \rightarrow
+\infty$, on voit que l'int�grand tend vers $e^{-\frac x 2}$. \\
Reste � trouver un chapeau int�grable. On sait que $1+x\leq e^{x}$, on en d�duit que $(1-\frac x n)^ne^{\frac x 2}\II_{[0,n]}(x)\leq e^{-\frac x 2}$ pour tout $x\geq 0$. On conclut par le th�or�me de Lebesgue que $\Gamma_n \rightarrow \int_0^{+\infty}e^{-\frac x 2}dx=2$.\fexer
\dexer
\hfill \newline
La fonction $f$ n'est pas sommable sinon l'ordre d'int�gration serait indiff�rent.\fexer
\dexer
\hfill \newline
On a
$$\frac {\varphi(t)-\varphi(0)}{t}=\int_0^1\frac
{t}{\sqrt{f(x)^2+t^2}+\sqrt{f^2(x)}}dx=\int_0^1 k_t(x)dx.$$ On voit que $k_t(x)=1$ si $f(x)=0$ et $k_t(x) \rightarrow  0$ quand
$t \rightarrow  0$ si $f(x)\neq 0$. Donc $k_t(x) \rightarrow \II_{\{f(x)=0\}}$, la fonction caract�ristique de l'ensemble des points
o� $f(x)$ s'annule. Ceci nous donne la limite ponctuelle. Cherchons un chapeau int�grable. On voit imm�diatement que
$|k_t(x)|\leq 1$. Donc, par le th�or�me de Lebesgue, $k_t\to \II_{\{f(x)=0\}}$ quand $t \rightarrow 0$ dans $L^{1}(0,1)$.  D'o� $\varphi'(0^+)=\int \II_{\{f(x)=0\}}=\lambda(\{x,f(x)=0\}).$ \fexer
\dexer
\hfill \newline
Par le th�or�me de la convergence monotone, on a
$$\int_0^1\Sigma_{n\in\ZZ} |f(x+n)|=\Sigma_{n\in
\ZZ}\int_0^1|f(x+n)|dx=\Sigma_{n\in\ZZ}\int_n^{n+1}|f(x)|dx= \int_{{\RR}}|f(x)|dx.$$ La s�rie
$\Sigma_{n\in \ZZ}|f(x+n)|$ converge donc pour presque tout $x$ et il en de m\^eme pour la s�rie $\Sigma_{n\in
\ZZ}f(x+n)$. Celle-ci a $\Sigma_{n\in\ZZ}|f(x+n)|$ comme chapeau int�grable.  Par le th�or�me de
Lebesgue, elle est  donc convergente dans $L^{1}$ et on obtient la formule demand�e.\fexer
\dexer
\hfill \newline
1) $\forall t>0$, $x \mapsto e^{-t}\, t^{x-1}$ est ${\cal C}^{\infty}$ sur
${\RR}^{+\star}$ et pour $x>0$ fix{�}, $t \mapsto e^{-t}\, t^{x-1} \in
L^1(]0,+\infty[)$. Enfin, $\forall [a,b] \subset ]0,+\infty[$ et pour tout $x
\in [a,b]$, on a,
$$\vert e^{-t}\, t^{x-1} \vert \leq \II_{(0,1)} e^{-t}\, t^{a-1} +
\II_{(1,+\infty)} e^{-t}\, t^{b-1} \in L^1(0,+\infty).$$ Par le
th{�}or{�}me de continuit{�} des int{�}grales d{�}pendant d'un
param{�}tre, on conclut que $\Gamma$ est continue sur $]0,+\infty[$.\\
$\forall k$, $\frac{\partial}{\partial x^k} (e^{-t}\, t^{x-1}) = e^{-t}(\log
t)^k t^{x-1}$ et
$$\vert \frac{\partial}{\partial x^k} (e^{-t}\, t^{x-1}) \vert \leq \II_{(0,1)}
e^{-t}\vert \log t\vert^k t^{a-1} + \II_{(1,+\infty)} e^{-t}\vert \log t
\vert^k t^{b-1} \in L^1(0,+\infty),$$ $\forall x \in [a,b] \subset ]0,+\infty[$.
Donc le th{�}or{�}me de d{�}rivation sous le signe somme montre que
$\Gamma$ est ${\cal C}^k$ sur $]0,+\infty[$, $\forall k$, donc est ${\cal
C}^{\infty}$ sur $\RR^{+\star}$.\\
2) Quand $x \longrightarrow  0$, le th�or�me de convergence monotone nous dit que
$$\Gamma (x)\geq \int_0^1e^{-t}t^{x-1}dt\to \int_0^1 \frac
{e^{-t}}{t}dt=+\infty.$$
\fexer
\dexer
\hfill \newline
1)Si $f_n\to f$ dans ${L}^{1}$, alors elle est de Cauchy et v�rifie
$$\forall \varepsilon >0,\;\exists N,\;\forall n,m\geq N,\;\; \Vert f_n-f_m\Vert_1\leq \epsilon .$$
En particulier pour $\epsilon =\frac{1}{2}$, $\exists n_1$ tel que $\forall n,m\geq n_1$, $\Vert f_n-f_m\Vert_1\leq \frac{1}{2}$. \\
Ensuite, pour $\epsilon =\frac{1}{2^2}$, $\exists n_2> n_1$ tel que $\forall n,m\geq n_2$, $\Vert f_n-f_m\Vert_1\leq \frac{1}{2^2}$ et $\Vert f_{n_2}-f_{n_1}\Vert_1\leq \frac{1}{2}$. Et on recommence, etc...Il existe donc une suite $(n_k)_k$ strictement croissante telle que $\Vert f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\Vert_1\leq \frac{1}{2^k}$.
\newline
2)   On a $\int G_N=\Sigma_{k=1}^N\|g_k\|_{1}\leq \Sigma 2^{-k}=1$. La suite $(G_N)_N$ est positive et croissante donc la s�rie $G(x)$ est positive et
converge partout (�ventuellement vers l'infini).  Par le th�or�me de convergence monotone, $\int G(x)dx=\Sigma_k
\int |g_k(x)|dx= \Sigma_k \|g_k\|_{1}\leq 1$.  D'o� $G \in {L}^{1}$ et on d�duit que la s�rie de r�els
$G(x)=\Sigma_k |g_k(x)|$ est finie p.p. et converge pour presque tout $x$.  Il en est donc de m�me pour la s�rie $g(x)=\Sigma_k g_k(x)$. Comme $f_{n_{k+1}}=f_{n_1}+\Sigma_1^kg_i$, on en d�duit que $(f_{n_k})_k$ converge p.p. vers $g+f_{n_1}$.\\
3) La s�rie $\Sigma_k g_k(x)$ a $G$ pour chapeau int�grable donc $|f_{n_1}|+G$ est un chapeau int�grable pour la suite $(f_{n_k})_k$.  Par le th�or�me de Lebesgue, elle converge vers $g+f_{n_1}$ dans ${L}^{1}$.  Par unicit� de la limite, on en d�duit que $f=g+f_{n_1}$ p.p.\\

Remarque:  Adaptation � la d�monstration de compl�tude de ${L}^{1}$ : Si $f_n$ est une suite de Cauchy dans ${
L}^{1}$, on peut d�finir $g_k$ comme pr�c�demment et appliquer exactement le m�me raisonnement pour prouver que la
s�rie $\Sigma_k g_k(x)$ converge pour presque tout $x$ et a donc une limite ponctuelle $g(x)$.  On d�duit alors du
th�or�me de Lebesgue que $(f_{n_k})_k$ converge vers $f=g+f_{n_1}$ dans ${L}^{1}$.  Il est alors imm�diat (in�galit�
triangulaire) que toute la suite $(f_n)_n$ converge vers $f$.\fexer
 \end{document}