
\dexer {\bf Une preuve rapide et une généralisation du principe de localisation.}
\newline
 Soit $f\in L^1(0, 2\pi)$,
$2\pi$-périodique. On note $s_{N,M}f$ la série partielle de Fourier de $f$, définie par
$$s_{N,M}f(x)=\Sigma_{k=-N}^{k=M} c_k(f)e^{ikx},$$
où $c_k(f)=\frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)e^{-ikx}dx.$ On rappelle que par le Lemme de Riemann-Lebesgue, $c_k(f)\to 0$
quand $k\to \pm \infty$. Nous allons montrer le théorème suivant, qui est une version du "principe de localisation".

\begin{thf}\index{A}{principe de localisation!généralisation}
(i) Soit $f(x)$ une fonction $2\pi$-périodique telle que
$$\frac{f(x)}{e^{ix}-1}=g(x)\in L^1(0, 2\pi).$$  Alors
$s_{N,M}f(0)\to 0$ quand $N, M \to +\infty$.\newline (ii)  Plus généralement, si $x\to \frac{f(x)-c}{x-y}\in L^1(0,
2\pi)$, alors $s_{N,M}f(y)\to c$.
\end{thf}
\noindent{\bf Remarque :} si $f$ est continue en 0, la première hypothèse entraîne $f(0)=0$. Si $f$ est continue en
$y$, la deuxième hypothèse entraîne $f(y)=c$.
\newline
\newline
On appelle l'énoncé précédent le principe de localisation car il dit, en termes informels, que "si $f$ est régulière en
$x$, alors la série de Fourier de $f$ tend vers $f(x)$ au point $x$". Bien que $s_{N,M}f$ soit définie par une formule
globale (une intégrale sur l'intervalle $[0, 2\pi]$), la série de Fourier reconnaît les points réguliers et son
comportement dépend du comportement local de $f$.  La démonstration qui suit est un exercice vraiment élémentaire grâce
à l'astucieuse démonstration due  à Ronald Coifman, de l'Université de Yale (démonstration communiquée par Yves Meyer).
 \newline\newline
1) Déduire (ii) de (i).
\newline\newline
2) Sous l'hypothèse de (i), on appelle $\gamma_k$ les coefficients de Fourier de $g$. Montrer que
$c_k=\gamma_{k-1}-\gamma_k$. En déduire que $\sum_N^M c_k \to 0$ et conclure en appliquant le Lemme de
Riemann-Lebesgue.

\fexer


\dexer  En reprenant l'argument du théorème \ref{universalitedelaconvolution}, montrer que si $T: L^2_{per}([-\pi,
\pi])\to C^0_{per}([-\pi,\pi])$ est linéaire, continu  et commute avec les translations, alors il existe une fonction
$g\in L^2([-\pi, \pi])$ telle que
 $Tf=g\ast f$, o\u "$\ast$" désigne la convolution périodique.`
\fexer


%{ \bf Exercice 3} Base de Haar \index{A}{base!de Haar}
\dexo \label{exoHaar} Base de Haar  \\
On pose $H(x) = 1$ si $0 \leq x < \frac{1}{2}$ et $H(x) = -1$ si $\frac{1}{2} \leq x < 1$. C'est la fonction de Haar.
On pose
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Dessiner les fonctions de Haar pour $l =1,2$. D{é}montrer que ces fonctions
forment un syst{è}me orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Compter les fonctions de Haar qui sont {à} support dans $[0,1]$ et qui sont constantes sur les intervalles dyadiques
de longueur $ 2^{-j}$. On appelle $S_j$ le syst{è}me qu'elles forment. Remarquer qu'elles sont toutes d'int{é}grale
nulle et d{é}duire qu'elles forment une base de $W_j$, l'espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des
intervalles de longueur $2^{-j}$ et {à} moyenne
nulle.\\
3) Montrer que les fonctions de $L^2(\R^N)\cap L^1(\R^N)$  dont  l'intégrale $\int_{\R^N}f(x)dx$  est nulle forment un
sous-espace dense de $L^2(\R^N)$. Indication: montrer que si $f\in L^2\cap L^1$, $f-\frac{\int
f(x)dx}{\hbox{mes}(B(0,R))}\indic_{B(0,R)}$ converge vers $f$ dans $L^2$  quand $R\to +\infty$ et est d'intégrale
nulle.
 4) Montrer que le syst{è}me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\RR)$. On commencera par montrer qu'une partie
de la base de Haar engendre l'espace des fonctions de $L^2(-2^j,2^j)$ d'intégrale nulle sur $(-2^j,0)$ et $(0,2^j)$.
\\
5) Nous nous pla{\c c}ons dans $L^2(\R^2)$. Soit $I(x)=\indic_{[0,1)}$, puis les trois fonctions de $L^2(\R^2)$
$$H_1(x,y)=H(x)I(y) \mbox{ , } H_2(x,y)=I(x)H(y) \mbox{ et } H_3(x,y)=H(x)H(y).$$
Ensuite on définit la ``base d'ondelettes de Haar en dimension 2'',
$$H_{i,j_1,j_2}^k (x,y) = 2^{k} H_i(2^k x - j_1,2^k y - j_2),\quad k,j_1,j_2 \in
 \ZZ, i=1,2,3.$$ Commencer par dessiner les fonctions $H_1$, $H_2$,  $H_3$.
\\
6) Compter les fonctions de Haar qui sont {à} support dans $[0,1]^2$ et qui sont constantes sur les carrés dyadiques de
coté $ 2^{-j}$. On appelle $S_j$ le syst{è}me qu'elles forment. Remarquer qu'elles sont toutes d'int{é}grale nulle et
d{é}duire qu'elles forment une base de $W_j$, l'espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des carrés
de coté $2^{-j}$ et d'intégrale nulle.
\\
7)  Montrer que le syst{è}me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\RR^2)$. On commencera par montrer qu'une partie
de la base de Haar engendre l'espace des fonctions de $L^2(-2^j,2^j)^2$ d'intégrale nulle.\\
8)  Pour une fonction $f \in L^2(\R^2)$  considérons les coefficients
$$c_{i,j_1,j_2}^k(f)=\langle f,H_{i,j_1,j_2}^k\rangle.$$
Conclure que
$$f=\sum_{i=1}^3\sum_{k,j_1,j_2 \in \relative} c_{i,j_1,j_2}^k(f) H_{i,j_1,j_2}^k$$
dans $L^2(\R^2)$. \fexo

\dexo \hfill \newline 1) Calculer
$$ \min_{a,b,c} \int_{-1}^1 {\vert x^3 -a - bx -cx^2 \vert}^2 dx,$$
et trouver
$$ \max \int_{-1}^1 x^3 g(x) dx,$$
o{\`u} g est soumis aux contraintes
$$\int_{-1}^1 g(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx =\int_{-1}^1 x^2 g(x)dx = 0;\quad
\int_{-1}^1 {\vert g(x) \vert}^2 dx =1.$$ 2) Si $x_0 \in H$ et si M est un sous-espace vectoriel ferm{é} d'un espace de
Hilbert H, {é}noncer le probl{è}me de maximum correspondant {à} $\min \{ \Vert x_0 - x \Vert,\;x \in M \}$ comme dans
la question pr{é}c{é}dente. \fexo
