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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}

{\raggedright Analyse Fonctionnelle  \hfill{}
 \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2007-2008}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD Sobolev   \\}

\vspace{1cm}
%\\ 
%{\bf Exercice 1} $H^1$ est un Hilbert
%\\ \\
%Montrer que $H^1$ muni de $\Vert u \Vert = \sqrt{(\Vert u \Vert_2^2+ \Vert u^{\prime} \Vert_2^2)}$ est complet.
%\\ \\
{\bf Exercice 1} 
\\ 
On suppose que $I=]a,b[$ est borné. Soit $u\in H^1(I)$ alors il existe $(v_n)_n\subset \DI(I)$ telle que $v_n\rightarrow u^{\prime}$ dans $L^2$. On pose $u_n(x) = \int_a^x v_n(t) dt$.

\hspace{0.5cm} 1) Montrer que $u_n \in {\cal C}(\bar I)$ et que la suite $(u_n)_n$ converge uniformément vers une limite notée $w \in {\cal C}(\bar I)$.

\hspace{0.5cm} 2) Par un argument de convergence dans $\DPI$, montrer que $u=w+c$  p.p. où $c$ est une constante et que $\forall x,y$, $u(x)-u(y) = \int_y^x u^{\prime} dt$.

\hspace{0.5cm} 3) Montrer que si $I$ est borné, l'injection $H^1(I)\subset {\cal C}(\bar I)$ est continue et compacte.\\ \\
Donc on a montré que $u\in H^1$ $\Rightarrow $ $u$ continue sur $\bar I$ et $u(x)-u(y) = \int_y^x u^{\prime} dt$ m\^eme si $I$ n'est pas borné (s'en convaincre...). Ce n'est plus vrai en dim $\geq 2$.\\ \\
{\bf Admis} Densité\\
On sait que l'espace ${\cal D}(\RR)$ est dense dans $H^1(\RR)$ (vu dans le TD distributions 2). Si $I\neq \RR$, $\forall u\in H^1(I)$, $\exists (u_n)_n\subset {\cal D}(\RR)$ telle que $u_n\rightarrow u$ dans $H^1(I)$. 
\\ \\
{\bf Exercice 2}    I.P.P.
\\ 
Soit $I$ un intervalle ouvert quelconque de $\RR$. Soient $u,v\in H^1(I)$, montrer que
$$\int_y^x (uv^{\prime} + u^{\prime}v)= u(x)v(x)- u(y)v(y),\quad \forall x,y \in I.$$
Si $I$ n'est pas borné, montrer que $u\in H^1(I)\Longrightarrow \displaystyle{\lim_{\vert x \vert\rightarrow \infty,x\in I} u(x)=0}.$
\\ \\
{\bf Exercice 3} 
\\ 
On rappelle que $H^1_0(0,1)=\{ u \in H^1(I):\,u(0)=u(1)=0 \}$. Cette définition a bien un sens avec l'exercice 1.

\hspace{0.5cm} 1) Vérifier que $H^1_0(0,1)$ est un sous-espace fermé de $H^1(0,1)$.

\hspace{0.5cm} 2) Montrer que $u\mapsto \Vert u^{\prime} \Vert_2$ est une norme sur $H_0^1(0,1)$, équivalente à la norme $H^1$.

\hspace{0.5cm} 3) Soit $f\in L^2(0,1)$. Vérifier qu'il existe un unique $u\in H_0^1(0,1)$ tel que $\forall v \in H_0^1(0,1)$, $\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} = \int_0^1 fv$. Donner l'équation différentielle + conditions aux limites satisfaites par $u$. Vérifier que $u\in H^2(0,1)$.

\hspace{0.5cm} 4) Si $u\in H^2(0,1)\cap H^1_0(0,1)$ est solution du problème différentiel trouvé ci-dessus, montrer que $u$ est solution de la formulation variationnelle : $\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} = \int_0^1 fv$, $\forall v \in H_0^1(0,1)$.
\\ \\
{\bf Exercice 4} 
\\ 
Trouver $u\in {\cal C}([0,1])$ qui n'est pas dans $H^1(0,1)$. Soit $f(x)=\vert x \vert$. Calculer $f^{\prime}$ et $f^{\prime \prime}$ dans ${\cal D}^{\prime}(]-1,1[)$. $f\in H^1(-1,1)$? $f\in H^2(-1,1)$?\\ \\
\\ \\
{\bf Exercice 5} $W^{1,p}(\RR)\subset {\cal C}_0^0(\RR)$
\\ 
On note ${\cal C}_0^0(\RR)$ l'espace des fonctions continues sur $\RR$ tendant vers zéro en $\pm \infty $. On sait d'aprés la proposition 13.1 page 178 que $W^{1,p}(\RR)\subset {\cal C}_0^0(\RR)$ pour $1\leq p<\infty$.\\ \\
%Espace de Sobolev $H^1_0$ \\
%On peut définir maintenant l'espace de Sobolev $H^1_0$, si $I=]a,b[$,
%$$H^1_0(I)=\{ u \in H^1(I):\,u(a)=u(b)=0 \}.$$
%Si $a$ et $b$ sont finis, cela a un sens car $u\in {\cal C}(\bar I)$ et si $a$ ou $b$ est infini, $u$ est %continue et sa limite en l'infini est nulle. Enfin, $H^1_0(\RR)=H^1(\RR)=\overline {{\cal D}(\RR)}$.
1) Montrer l'inégalité de Young:  $\forall a,b\geq 0$, $ab\leq {\frac{1}{p}}a^p+{\frac{1}{p^{\prime}}}b^{p^{\prime}}$ où $p^{\prime}$ est l'exposant conjugué de $p$.\\ \\
On pose $G(s)=s\,\vert s \vert^{p-1}$.\\
2) Soit $v\in \DI(\RR)$, vérifier que $G(v)\in {\cal C}_c^1(\RR)$ et montrer que
$$\Vert G(v) \Vert_{\infty } \leq p\,\Vert v \Vert_{1,p}^p,$$
où $\Vert v \Vert_{1,p}=\left( \Vert v \Vert_p^p+\Vert v^{\prime}\Vert_p^p \right)^{\frac{1}{p}}$ est la norme de l'espace $W^{1,p}(\RR)$.\\
3) En déduire que l'injection $i:W^{1,p}(\RR)\longrightarrow {\cal C}_0^0(\RR)$ est continue. Est-elle compacte?\\
4) Montrer qu'il existe une constante "universelle" $c>0$ indépendante de $p$ telle que $\forall u\in W^{1,p}(\RR)$, $\Vert u \Vert_{\infty } \leq c\,\Vert u \Vert_{1,p}$. (Par exemple, $c=e^{\frac{1}{e}}$ convient...! )
\\ \\
{\bf Exercice 6} 
\\ 
Soit $V=\{ u \in
H^1(0,1)\,:\,u(\frac{1}{2}) = 0 \}$.

1) Montrer que V est un sous-espace vectoriel ferm{é} de $H^1(0,1)$ et que \\$v \rightarrow {\Vert v^{\prime}
\Vert}_{L^2}$ est une norme sur V {é}quivalente {à} la norme usuelle de $H^1$.

2) Montrer qu'il existe un unique  $u \in V$ tel que $\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} =v(0)$ pour tout $v \in V$.

3) Interpréter le probl{è}me r{é}solu, d{é}terminer explicitement $u$ et calculer $ u^{\prime \prime}$ au sens des
distributions. $u \in H^2(0,1)$ ?? 
\\ \\
{\bf Exercice 7} 
\\ 
V{é}rifier que $v \rightarrow {\Vert v^{\prime}
\Vert}_{L^2}$ est une norme sur $H^1(0,+\infty)$. Est-elle {é}quivalente {à} $\Vert v \Vert_{H^1}$ ?
\newpage
Corrigé exercice 6\\
Soit $V=\{ u \in H^1(0,1)\,:\,u(\frac{1}{2}) = 0 \}$.\\
1) Comme $id : H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est continue, $u \mapsto u\left(\frac{1}{2}\right)$ est continue
sur $H^1(0,1)$ et $V$ est ferm{é} dans
$H^1(0,1)$.\\
${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2}$ est bien une semi-norme sur $V$ et si pour un $v \in V$, ${\Vert v^{\prime}
\Vert}_{L^2} = 0$ alors $v$ est constante sur $(0,1)$ et de $v\left(\frac{1}{2}\right) = 0$, on en d{é}duit que $v = 0$. Donc, on a bien {à} faire
{à} une norme sur $V$. On a {é}videmment ${\Vert
v^{\prime} \Vert}_{L^2} \leq {\Vert v \Vert}_{H^1}$.\\
Pour l'autre sens, on utilise $u(x)=\int_{\frac{1}{2}}^x u^{\prime} dt$ car $u(\frac{1}{2}) = 0$. On applique Cauchy-Schwarz, on obtient $\vert u(x)\vert^2\leq \vert x-{\frac{1}{2}} \vert \,\Vert u^{\prime} \Vert_2^2 \leq 
 \Vert u^{\prime} \Vert_2^2$. On intègre sur $(0,1)$, on a ${\Vert u \Vert}_{2}\leq \Vert u^{\prime} \Vert_{2}$. Les deux normes sont donc bien équivalentes sur $V$.\\
2) Soit $a(u,v) = \int_0^1 u^{\prime}v^{\prime}$, alors $a$ est une forme bilin{é}aire sym{é}trique continue sur $V$ et
$v \mapsto v(0)$ est continue sur $V$ puisque $id : H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est continue sur
$H^1(0,1)$. Du th{é}or{è}me de Lax-Milgram (ou bien Riesz), on d{é}duit qu'il existe un unique $u \in V$ tel que
$a(u,v)=v(0)$, $\forall v \in V$.\\
3) $\DI(]0,1[) \not\subset V$ donc on ne peut pas exactement raisonner comme dans l'exercice pr{é}c{è}dent, mais on
peut remarquer que $\DI(]0,\frac{1}{2}[)\cup \DI(]\frac{1}{2},1[) \subset V$ (en prolongeant ces fonctions par $0$ {à}
$]0,1[$ tout
entier).\\
Soit donc $\vfi \in \DI(]0,\frac{1}{2}[)$ alors $a(u,\vfi) = \int_0^{\frac{1}{2}} u^{\prime}\vfi^{\prime} = \vfi(0) =
0$, c'est {à} dire $<u^{\prime},\vfi^{\prime}> = 0 = - <u^{\prime \prime},\vfi>$ et ceci $\forall \vfi \in
\DI(]0,\frac{1}{2}[)$, donc $u^{\prime \prime} = 0$ dans $\DPI(]0,\frac{1}{2}[)$ et donc dans
$L^2(0,\frac{1}{2})$.\\
On obtient par un m{\^e}me raisonnement, $u^{\prime \prime} = 0$ dans $\DPI(]\frac{1}{2},1[)$ et donc dans
$L^2(\frac{1}{2},1)$. Donc finalement $u \in H^2(0,\frac{1}{2})\cap H^2(\frac{1}{2},1)$. On peut alors faire des
int{é}grations par parties sur les deux sous-intervalles $(0,\frac{1}{2})$ et $(\frac{1}{2},1)$. Si $v \in V$ alors
\[ \begin{array}{cclclcl}
0&=& -\int_0^{\frac{1}{2}} u^{\prime \prime}v&=& \int_0^{\frac{1}{2}}u^{\prime}v^{\prime}
-[u^{\prime}v]_0^{\frac{1}{2}}&=&
\int_0^{\frac{1}{2}}u^{\prime}v^{\prime} + u^{\prime}(0)v(0),\\
\\
0&=& -\int_{\frac{1}{2}}^1 u^{\prime \prime}v&=& \int_{\frac{1}{2}}^1 u^{\prime}v^{\prime}
-[u^{\prime}v]_{\frac{1}{2}}^1&=& \int_{\frac{1}{2}}^1 u^{\prime}v^{\prime} - u^{\prime}(1)v(1).
\end{array} \]
On ajoute ces deux {é}galit{é}s, alors $a(u,v) + u^{\prime}(0)v(0) - u^{\prime}(1)v(1) = 0$ $\Longrightarrow$
$\left(1+u^{\prime}(0)\right)v(0) = u^{\prime}(1)v(1)$, $\forall v\in V$. Donc n{é}cessairement $u^{\prime}(0) = -1$ et
$u^{\prime}(1) = 0$. Donc on a r{é}solu
\[ \left\{ \begin{array}{lcl}
u^{\prime \prime} &=& 0 \,\,\,\mbox{sur }(0,\frac{1}{2})\\
u\left(\frac{1}{2}\right) &=& 0\\
u^{\prime}(0) &=& -1
\end{array} \right. \qquad \mbox{et}\qquad \left\{ \begin{array}{lcl}
u^{\prime \prime} &=& 0 \,\,\,\mbox{sur }(\frac{1}{2},1)\\
u\left(\frac{1}{2}\right) &=& 0\\
u^{\prime}(1) &=& 0
\end{array} \right. \]
de solutions respectives  :
\begin{eqnarray*}
u(x) &=& - x + \frac{1}{2} \quad \mbox{sur}\,\, [0,\frac{1}{2}]\\
u(x) &=& 0 \quad \mbox{sur}\,\, [\frac{1}{2},1]
\end{eqnarray*}
On voit tout de suite que $u \not\in H^2(0,1)$ (sinon elle serait ${\cal C}^1$). \\
Au sens des distributions, on a $u^{\prime} = -\ind_{(0,\frac{1}{2})} \in L^2(0,1)$ et $u^{\prime
\prime} = \delta_{\frac{1}{2}} \not\in L^2(0,1)$.\\ \\
Corrigé exercice 7\\
 $v \rightarrow {\Vert v^{\prime}
\Vert}_{L^2}$ est une semi-norme sur $H^1(0,+\infty)$. Si ${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} = 0$ alors $v^{\prime} =
0$ p.p. et donc $v$ est une constante. Or la seule constante de $L^2(0,+\infty)$ est la constante nulle donc c'est bien
une norme sur $H^1(0,+\infty)$. On a {é}videmment
${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} \leq {\Vert v \Vert}_{H^1}$.\\
Soit $u_n(x) = n-x$ si $x \leq n$ et $u_n(x) = 0$ sinon. Alors $u_n \in H^1(0,+\infty)$, ${\Vert u_n^{\prime}
\Vert}_{L^2}^2 = n$ et ${\Vert u_n \Vert}_{L^2}^2 = \frac{n^3}{3}$ donc les deux normes ne peuvent pas {\^e}tre
{é}quivalentes sur $H^1(0,+\infty)$.
 \end{document}