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% ensembles Q R N Z C
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% Suppression de l'indentation
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\begin{document}

{\raggedright  Analyse fonctionnelle\hfill{}
 \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} 2008-2009}


\vspace{1.5cm}

{\centering Partiel du 27/02/2009, durée 2H\\}

\vspace{1.5cm}

NB: Seuls les notes de cours/TD et le polycopié sont autorisés.
\\ \\
{ \bf Exercice 1}  Fonction intégrable et limite en l'infini
\\ \\
Soit $f \in L^1(\RR)$ une fonction définie partout sur $\RR$ et à valeurs réelles. \\
1) On suppose que $f(x)$ admet une limite quand $x\rightarrow +\infty $. Montrer que cette limite est nulle.\\
2) On suppose que $f\in {\cal C}(\RR)$. A-t'on $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)=0}$ ?\\
3) On suppose que $f$ est uniformément continue sur $\RR$.

\hspace{0.5cm} a) Montrer que pour $\eta >0$ quelconque et $(x_n)_n\subset \RR$ telle que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow} x_n=+\infty }$, on a
$$\lim_{n\rightarrow +\infty } \int_{x_n-\eta }^{x_n+\eta } \vert f(x) \vert dx =0.$$

\hspace{0.5cm} b) A-t'on $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)=0}$ ?\\
4) On suppose que $f\in {\cal C}^{1}(\RR)$ avec $f^{\prime} \in L^1(\RR)$. A-t'on $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)=0}$ ?
\\ \\
{ \bf Exercice 2}   Espace $L^{\infty}(\RR)$ 
\\ \\
On appelle $L^\infty(\RR)$ l'espace des fonctions définies presque partout et telles qu'il existe $C>0$
tel que $\vert f(x)\vert \leq C$  pour presque tout $x$.  On note 
$$ \Vert f \Vert_{\infty} = \inf \left\{ C > 0 : \vert f(x) \vert \leq C\, \mbox{p.p.} \right\}.$$
Enfin, on pose $\Vert f \Vert_{\infty} =+\infty$ si $f\not\in L^\infty(\RR)$.\\
1) Montrer qu'on a toujours $\vert f(x)\vert \leq \Vert f \Vert_{\infty}$ p.p.\\
2) Montrer que $\displaystyle{\Vert f \Vert_{\infty }}$ est bien une norme sur $L^{\infty}(\RR)$.\\
3) Montrer que l'espace $L^{\infty}(\RR)$ muni de cette norme est un espace de Banach.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}  
\\ \\ 
Soit $f\in L^p(\RR)$ avec $1\leq p\leq \infty $. On définit, pour $x\in \RR$,
$$g(x)=\int_x^{x+1} f(t) dt.$$
1) Si $1\leq p < \infty $, montrer que la fonction $g$ est continue sur $\RR$ et que
$$\lim_{\vert x \vert\rightarrow \infty } g(x)=0.$$
2) Si $p=\infty $, que peut-on dire de cette fonction $g$ ?
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
On dira qu'une suite $(f_n)_n \subset L^1(0,\pi)$ converge faiblement vers $f \in L^1(0,\pi)$ si $\int^{\pi}_{0} f_n g \rightarrow \int^{\pi}_{0} f g $, $\forall g\in L^{\infty}(0,\pi)$.\\ \\
1) Soit $f_n(x)=\sin (nx)$. 

\hspace{0.5cm} a) Calculer $\Vert f_n \Vert_{L^1(0,\pi)}$.

\hspace{0.5cm} b) Montrer que $\forall\varphi \in {\cal C}_{c}^{1}(]0,\pi[)$, $\int^{\pi}_{0} f_n \varphi \rightarrow 0$. En déduire que $\forall g\in L^{\infty}(0,\pi)$, $\int^{\pi}_{0} f_n g \rightarrow 0$.\\ \\
2) Comparer la convergence et la convergence faible dans $L^1(0,\pi)$.
\\ \\
%\newpage
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Définition: Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit $T:E\rightarrow F$ une application linéaire continue. On dira que $T$ est compacte si l'image par $T$ de la boule unité fermée de $E$ est d'adhérence compacte dans $F$.\\ \\
Soit $1\leq p \leq \infty $, on considère l'espace ${\cal C}^{1}([0,1])$
que l'on munit de $\Vert u \Vert= \Vert u \Vert_p + \Vert u^{\prime} \Vert_p.$\\
1) Vérifier que $L^p(0,1)\subset L^1(0,1)$.\\
2) On note $i_p$ l'application identité $id:({\cal C}^{1}([0,1]),\Vert \,\, \Vert)\rightarrow ({\cal C}([0,1]),\Vert \,\, \Vert_{\infty})$. Montrer qu'elle est continue.\\
3) Montrer que si $p>1$, l'application $i_p$ est compacte.\\
4) Pour $p=1$, l'application $i_1$ est-elle compacte ? (raisonner avec des suites).
\\ \\
{ \bf Exercice 6}  
\\ \\ 
On considère l'espace
$$ \Cp (\RR)=\left\{ u\in {\cal C}^{1}(\RR):\,u,u^{\prime}\in L^1(\RR)\right\},$$
que l'on munit de $\Vert u \Vert= \Vert u \Vert_1 + \Vert u^{\prime} \Vert_1$.\\ \\
Soit $u\in \Cp(\RR)$ et soit $(\varrho_n)_n$ une suite régularisante, c'est-à-dire, $\varrho_n(s)=n\varrho (ns)$ où $\varrho \in {\cal C}_{c}^{\infty}(\RR)$, $\varrho \geq 0$, $supp(\varrho )\subset ]-1,1[$ et $\int \varrho dt =1$.\\ 
1) Montrer que $\varrho_n \ast u \in \Cp(\RR)$ et que $(\varrho_n \ast u)^{\prime}=\varrho_n \ast u^{\prime}$ pour tout $n$.\\
2) Soit $\zeta \in {\cal C}_{c}^{\infty}(\RR)$ telle que $\forall x\in \RR$, $0\leq \zeta(x) \leq 1$ et $\forall x\in [-1,1]$, $\zeta (x)=1$. Enfin, on suppose que $\zeta (x)=0$ pour $\vert x \vert \geq 2$.\\
Pour tout entier $n>0$, on pose $\zeta _n(x)=\zeta (\frac xn)$ et $u_n(x)=\zeta _n(x) (\varrho_n \ast u(x))$.\\
Vérifier que $u_n \in {\cal C}_{c}^{\infty}(\RR)$ et montrer que $u_n\longrightarrow u$ dans $\Cp(\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 7}  
\\ \\  
Soit $(f_n)_n$ une suite équiintégrable de fonctions de $L^1(B)$ où $B$ désigne une partie bornée de $\RR$.\\
On suppose de plus que la suite $(f_n)_n$ converge en mesure vers une certaine fonction $f$, c'est-à-dire que pour tout $\eta >0$,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty } \mu ([\vert f-f_n \vert\geq \eta ])=0,$$
où $[\vert f-f_n \vert\geq \eta ]$ désigne l'ensemble $\left\{ x:\vert f(x)-f_n(x) \vert\geq \eta \right\}$ et $\mu$ est la mesure de Lebesgue.\\
1) Montrer que $\forall \delta >0$, $\forall \eta >0$, $\exists N\in \NN$ tel que $\forall p,q\geq N$,
$$\mu ([\vert f_p-f_q \vert\geq \eta ])\leq \delta.$$
2) Montrer que la suite $(f_n)_n$ est de Cauchy dans $L^1(B)$.\\
3) Montrer que $f\in L^1(B)$ et que $f_n\longrightarrow f$ dans $L^1(B)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 8}  
\\ \\ 
Soient $1\leq p < q <\infty$ et $F$ l'ensemble 
$$F=\left\{ f\in L^p \cap L^q : \Vert f \Vert_q\leq 1\right\}.$$
Montrer que $F$ est femé dans $L^p$.\\
Soit $(f_n)_n\subset L^p \cap L^q$ et soit $f\in L^p$. On suppose que $f_n\longrightarrow f$ dans $L^p$ et qu'il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $n$, $\Vert f_n \Vert_q\leq C$.\\
Montrer que pour tout $r\in [p,q[$, $f\in L^r$ et que $f_n\longrightarrow f$ dans $L^r$.
 \end{document}