\documentstyle[12pt,leqno]{article}
%\input {macro.tex}

\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm

\def\R\'esum\'e{\small\noindent\bf R\'esum\'e. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\rational{{\cal Z}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{cor}{Corollary}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}
\newtheorem{corf}{Corollaire}

\newtheorem{Exer}{Exercice}
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}
\def\fexer{\end{Exer}}


\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\u {\`{u} }
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}


\begin{document}
\section{Int\'{e}gration, Lebesgue, Fubini}
\dexer
 D\e montrer que le graphe d'une application continue de $\real$ dans
$\real$ est un sous-ensemble de mesure nulle dans $\real^2$.  (On montrera que
la portion du graphe comprise entre les abcisses $-k$ et $k$ peut \eee tre
recouverte par des rectangles dont la somme des mesures est arbitrairement
petite).
\fexer

\dexer Soit $A\subset \real^N$ et soit $h$ \e gale \a $+\infty$ dans $A$ et \a 0
dans son compl\e mentaire.  D\e montrer que l'on a
$$\int_{\real^N}h(x)dx = 0 \hbox { si } \mu(A)=0,\;
\int_{\real^N}h(x)dx=+\infty
\hbox{ si } \mu(A)=+\infty.$$
\fexer

\dexer Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues telles que $f(x)=g(x)$ p.p.. 
Montrer que $f$ et $g$ sont \e gales partout.
\fexer

\dexer Soit $f$ une fonction positive sommable sur $\real$.  D\e montrer 
que $$\int_a^b f(x)dx \to \int_{\real}f(x)dx \hbox{ quand } a\to -\infty,\; b\to
+\infty.$$
G\e n\e ralisation : soit $A_n$ une suite croissante d'ensembles tels que
$\bigcup_n A_n = \real^N$.  Demontrer que $\int_{\real^N}f(x)dx=\lim_{n\to
\infty}\int_{A_n}f(x)dx. $
\fexer

\dexer \label{integralesurpetitsensembles}
Soit $f$ une fonction positive sommable sur $\real^N$ et $A_n$ des
sous-ensembles de $\real^N$ tels que $\mu (A_n) \to 0$.  D\e montrer que 
$\int_{A_n}h(x)dx\to 0$ quand $n\to \infty$.
\fexer

\dexer
Calculer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}}{n}$ \`{a}
l'aide de l'int\'{e}grale
 $\int _0^1 \frac {dx}{1+x}$.
Indications : on posera $f_n(x)=\Sigma_0^n(-1)^kx^k$ pour $x\in [0,1]$. On
trouvera un chapeau int\e grable pour les $f_n$ et on appliquera le th\e or\ee me
de Lebesgue.
%Application de la convergence monotone
\fexer

\dexer
Soit $f\in L^1(\real)$.  Calculer la limite de $n\int_1^\infty f(nx)dx$ quand $n\to
+\infty$.
\fexer

\dexer
 (Lemme de Fatou)
\newline
On rappelle la d\e finition de la limite inf\e rieure d'une suite $a_n$ de r\e els
:
$\lim\inf_{n\to \infty}a_n = \lim_{N\to \infty}\inf_{n\geq N}a_n$.  Cette limite
est une limite croissante et donc elle existe toujours dans $\real \cup
\{+\infty\}$.
\newline
i) Remarquer que si $g_n$ est une suite de fonctions sommables positives, alors
$\int \inf_n g_n \leq \inf_n \int g_n$.
\newline
ii) Soit $f_n$ une suite de fonctions \a valeurs dans $\real\cup\{+\infty\}$. On
pose
$g_N =
\inf_{n\geq N}f_n.$  Montrer que $\lim_{N\to \infty}\int g_N = \int \lim_{N\to
\infty}g_N.$
\newline
iii)  D\e duire des questions pr\e c\e dentes le lemme de Fatou :
$$\int\lim\inf f_n \leq \lim\inf \int f_n.$$
\fexer

\dexer : contrexemples.
\newline Donner des exemples de suites de
fonctions $f_n\in L^1 (0,1)$ telles que 

$\bullet$ $f_n\to f$ dans $L^1$ et $f_n(x)$ ne tend pas 
presque partout vers $f(x)$.

$\bullet$ $f_n$ ne tend pas 
 vers $f$ dans $L^1$ et $f_n(x)$ tend 
vers $f(x)$
presque partout.
\fexer

\dexer Coupes d'un ensemble mesurable.\newline
 Soit $E$ un sous-ensemble de
mesure born\'{e}e
 de $\real^N$.  D\'{e}montrer que pour tout $1\geq\alpha\geq 0$,
$E$ contient un
 sous-ensemble de mesure $\alpha$.mes($E$).
\fexer

\dexer   Convergence $L^1$ quand il y a "conservation de la masse" (Lemme de
Scheffer ?). 
\newline
Montrer que si une suite de  fonctions $w_n\in L^1$ v\e rifie $w_n\geq
0$,  
$w_n(x)\to w(x)$ presque partout, $w\in L^1$ et $\int w_n \to \int w$, alors
$w_n\to w$ dans $L^1$.  Indication: \e crire $\int w-w_n = \int (w-w_n)^+ -\int
(w-w_n)^-$ et
$\int |w-w_n| = \int (w-w_n)^+ + \int (w-w_n)^-$ et 
appliquer le th\e or\ee me de Lebesgue.
\fexer

\dexer     Crit\`{e}re d'int\'{e}grabilit\'{e} sur un 
born\'{e} $B$ de $\real^N$.
\newline
  On va montrer dans cet exercice que $f\in L^1(B)$ si et seulement si $\forall
\varepsilon\quad
\exists \eta, \quad \tt{mes}(K)\leq \eta \Rightarrow
\int_K |f|\leq \varepsilon.$ 
\newline
i) Montrer que si le crit\ee re d'int\e gration est v\e rifi\e , alors $f$ est
int\e grable.
\newline
ii)  Pour la r\e ciproque, on raisonne par contradiction et on suppose qu'il existe
$f\in L^1(B)$ telle que le crit\ee re d'int\e gration ne soit pas v\e rifi\e .
Montrer qu'il existe alors
$\varepsilon>0$  et une suite $K_n$ de sous-ensembles de
$B$ tels que 
$\int_{K_n}|f|\geq \varepsilon$ et $\mes(K_n)\leq \frac 1 {2^n}$.  
\newline On pose
$J_n=\cup_{n+1}^{\infty} K_k$.  Montrer que $\int_{J_n}|f|\to 0$ et conclure.
\newline Autre m\e thode : appliquer directement le r\e sultat de l'exercice 
\ref {integralesurpetitsensembles} !
\newline iii) (facultatif)  
Adapter le crit\`{e}re d'int\'{e}grabilit\'{e}
\`{a} $\real^N$.
\fexer

\dexer    R\e ciproque du Th\e or\ee me de Lebesgue.\newline
   On va montrer que
si
$f_n$ est une suite convergente dans $L^1$, alors il existe une sous-suite qui
converge presque partout et qui a un chapeau int\e grable.
\newline i) Montrer que si la suite $f_n$ converge vers $f$ dans $L^1$, on peut en
extraire une sous-suite  telle que $||f_{i_{n+1}}-f_{i_n}||<2^{-n}$. 
\newline ii) On pose $g_n = f_{i_{n+1}}-f_{i_n}$ ; montrer en appliquant le th\e
or\ee me  de convergence monotone que la s\e rie
$\Sigma |g_n(x)|$ appartient \a  $L^1$ et converge donc pour presque tout $x$.  En
d\e duire que $f_{i_n}$ converge presque partout.
\newline iii)  D\e duire aussi que $f_{i_n}$ a un chapeau int\e grable.
\newline iv)  Adapter le raisonnement pr\e c\e dent \a une suite $f_n$ qui est de
Cauchy dans $L^1$ pour montrer que $L^1$ est un espace complet.  
\fexer

\dexer   
 Calculer la d\'{e}riv\'{e}e \`{a} droite en z\'{e}ro de la fonction
$$t \to \int_0^1(f(x)+t^2)^{\frac{1}{2}}dx=\varphi(t),$$
o\`{u} $g$ v\e rifie $0\leq g\leq 1$.
Indication :  pour \e valuer la limite du rapport $\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}$,
penser
\a utiliser le th\'{e}or\`{e}me de Lebesgue.
\fexer

\dexer   
Calculer 
$\lim_{n\to +\infty} \Gamma_n,$ o\u $\Gamma_n=\int_0^n(1-\frac x n)^ne^{\frac x
2}dx.$
\fexer

\dexer   
Soit $f$ une fonction sommable.   D\e montrer que $\lim_{\alpha\to
+\infty}\alpha\mes(\{x,\;|f(x)|\geq
\alpha\}) =0$.  
\fexer

\dexer   
 On pose, pour $x>0$, 
$\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$.  D\'{e}montrer que $\Gamma$
est de classe $C^\infty$ sur $\rbrack 0, +\infty \lbrack$.  D\'{e}montrer
 que $\Gamma(x)\to +\infty$ quand $x\to 0$.
Pour la deuxi\`{e}me question, penser \`{a} utiliser le lemme de 
convergence monotone !
\fexer

\dexer     Si $f\in L^1(\real)$, montrer que $\tilde f(x)=\Sigma_{n\in\rational}
f(x+n)\in L^1([0,1])$ et que $\int_{[0,1]}\tilde f(x)dx=\int_{\real}f(x)dx$.
\fexer

\dexer   (Fubini, changement de coordonn\'{e}es en "polaires")
D\'{e}montrer que $\int_{\real}
e^{-x^2}dx=\sqrt \pi$.  On prendra le carr\'{e}
de cette int\'{e}grale, le consid\'{e}rera par Fubini comme une int\'{e}grale sur
$\real^2$ que l'on calculera en coordonn\'{e}es polaires.  Penser \a justifier
rigoureusement le changement de coordonn\e es effectu\ea dans l'int\e grale \a
l'aide du th\e or\ee me de changement de variables.
\fexer

\dexer     (Propri\e t\e s de la convolution)\newline
a)  Si $f$ et $g$ appartiennent \`{a} $L^1(\real^n)$, alors $f\ast g$ 
d\'{e}finie par $$f\ast g(x) = \int_{\real^n}f(x-y)g(y)dy$$ aussi, et
$\vert\vert f\ast g\vert\vert _{L^1} \leq 
\vert\vert f\vert\vert _{L^1}\vert\vert g\vert\vert _{L^1}.$
(Application directe du th\'{e}or\`{e}me de Fubini.)

\skipaline
b)  On appelle $L^1_{loc}(\real^n)$ l'ensemble des fonctions $L^1$
sur tout born\'{e} de $\real^n$.  Montrer que si $f\in L^1_{loc}(\real^n)$, et
si $g\in L^1(\real ^n)$ est nulle en dehors d'un born\'{e}, alors on peut
d\'{e}finir $f\ast g$ et $f\ast g \in L^1_{loc}$.

\skipaline
c)  Si $f\in L^1_{loc}(\real^n)$, $\varphi \in C_0^m(\real^n)$, alors
$f\ast \varphi \in C^m(\real^n)$ et, $$\forall \vert \alpha\vert \leq m,
\quad \partial^\alpha(f\ast\varphi) = f\ast \partial^\alpha \varphi .$$
\fexer

\dexer (Un contrexemple \a m\e diter au th\e or\ee me de d\e rivation sous le
signe somme).  Soit $\varphi$ une fonction continue sur $[0,1]$.  On consid\ee
re, dans $[0,1]\times [0,1]$ la fonction $f$ d\e finie par $f(x,\lambda) =
\phi(x)$ si $x\leq \lambda$ et $f(x,\lambda)=0$ sinon.  On pose
$F(\lambda)=\int_0^1f(x,\lambda)dx$. Pour chaque $\lambda$, la d\e riv\e e
partielle existe sauf en un point, et elle est major\e e par une fonction
sommable fixe : la fonction 0. D\e terminer la d\e riv\e e de $F$.
\fexer

\newpage
\section {Rappel des principaux th\e or\ee mes}
\begin{thf} (Beppo Levi, ou convergence monotone)
\newline
Si $f_n$ est une suite croissante de fonctions d\e finies sur $\real^N$ et \a
valeurs dans $\real^+\cup \{+\infty\}$, on a
$$\int \lim_{n\to\infty}f_n(x)dx=\lim_{n\to \infty}\int f_n(x)dx\leq +\infty.$$
\end{thf}
\begin{corf}
Soit $u_n(x)$ une suite de fonctions d\e finies sur 
$\real^N$ et \a valeurs dans $\real^+\cup\{+\infty\}$.  On peut alors l'int\e grer
terme \a terme, c'est-\a -dire que 
$$\int \Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)dx = \Sigma_{n=1}^{\infty}\int u_n(x)dx \leq
+\infty.$$
\end{corf}
\begin{thf}(Th\e or\ee me de Lebesgue)\newline
Soit $f_n(x)$ une suite de fonctions qui converge presque partout vers une
fonction $f$.  On suppose qu'il existe une fonction positive sommable fixe $h$
telle que pour tout $n$, $|f_n(x)|\leq h(x)$ pour presque tout $x$.  Alors
$$\int|f_n(x)-f(x)|\to 0, \; \; \int f_n(x)dx\to \int f(x)dx.$$
\end{thf}
\begin{thf}  (R\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue).\newline
Si $f_n\to f$ dans $L^1$, alors il existe une sous-suite $f_{n_k}$ de la suite 
$f_n$ qui converge presque partout vers $f$ et un chapeau int\e grable $h$ tel que
$\forall k, \; |f_{n_k}(x)|\leq h(x)$ p.p..
\end{thf}
\begin{thf} (Th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme)
Soient $I$ un intervalle de $\real$ et $A$ un sous-ensemble de $\real^n$. On se
donne une fonction $f$ d\e finie sur $A\times I$ v\e rifiant les trois hypoth\ee
ses  suivantes.
\newline
(a) Pour tout $\lambda\in I$, la fonction $x\to f(x,\lambda)$ est sommable sur $A$.
\newline
(b) La d\e riv\e e partielle $\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)$
existe en tout point de $A\times I$.
\newline
(c) Il existe une fonction $h$ positive et sommable sur $A$ telle que l'on ait 
$|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)|\leq h(x)$ pour tous $x$ et
$\lambda$. Alors la fonction $F$ d\e finie par
$$F(\lambda)=\int_A f(x, \lambda)dx$$ est d\e rivable dans $I$ et on a
$$F'(\lambda) = \int_A \frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,\lambda)dx.$$
\end{thf}
\begin{thf} (Fubini)\newline
Soit $f(x,y)$ une fonction d\e finie dans $\real^p\times\real^q$.  
\newline
(a) Si $f$ est \a valeurs dans $\real^+\cup\{+\infty\}$, on a l'\e galit\ea
suivante, o\u les trois membres d\e finissent un \e l\e ment de
$\real^+\cup\{+\infty\}$,
$$\int_{\real^{p+q}}f(x,y)dxdx=\int_{\real^p}(\int_{\real^q}f(x,y)dy)
=\int_{\real^q}(\int_{\real^p}f(x,y)dx)dy.$$
Si $f$ est sommable dans $\real^{p+q}$, les trois membres de l'\e galit\ea pr\e
c\e dente ont un sens et sont \e gaux.  Plus pr\e cis\e ment, dire que le
troisi\ee me membre a un sens signifie :
\newline $\bullet$ pour presque tout $y$, la fonction $x\to f(x,y)$ est sommable
dans $\real^p$,
\newline $\bullet$ la fonction $\varphi(y)=\int f(x,y)dx$ qui est ainsi d\e finie
presque partout est sommable dans $\real^q$.
\end{thf}
\begin{thf} (de changement de variable)\newline
Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ deux ouverts de $\real^n$ et $\Varphi$ un diff\e
omorphisme entre $\Omega_1$ et $\Omega_2$. On notera $J_\Varphi(x)$ le d\e
terminant de la matrice jacobienne de $\Varphi$ au point $x$.  Soit $f$ une
fonction d\e finie sur $\Omega_2$.
\newline (a) Si la fonction $f$ est \a valeurs dans $\real^+\cup \{+ \infty\}$, on a
l'\e galit\ea suivante, o\u les deux membres  ont un sens dans
$\real^+\cup\{+\infty\},$
$$\int_{\Omega_2}f(y)dy=\int_{\Omega_1}f(\Varphi(x))|J_\varphi(x)|dx.$$
\newline (b)  Si $f$ est \a valeurs complexes, elle est sommable dans $\Omega_2$
si et seulement si $f(\Varphi(x))J_{\Varphi}(x)$ est sommable dans $\Omega_1$, et
les deux membres de l'\e galit\ea pr\e c\e dente sont alors \e gaux.
\end{thf}












\end{document}